1252

В примере 3.1 при решении задачи использовались три линейных конечных элемента. Попытаемся теперь решить задачу, применяя

вязок не остается. Для квадратичного элемента и заданных зна­

чений Фо = 0, ф2= 1 имеется один неизвестный параметр фг Учиты­

вая краевые условия, имеем

(16/3 + 8/15) = (8/3 -1/15) ф„

и, таким образом,

Ф1== 0.4432.

При аппроксимации кубическим многочленом появляются два не­ известных параметра ф[ и (р, и результирующая система двух

уравнений имеет решение

Ф! = 0.2889, ф2 = 0.6101.

В случае использования квадратичного элемента можно вычислить

Ф при х — 1/3 и х = 2/3. Сравним полученные результаты.

Отметим, что аппроксимация одним кубическим элементом дает гладкое решение, существенно лучшее, чем получаемое исполь­ зованием трех линейных элементов.

Рассмотренный пример показывает, что процесс получения матриц элементов для элементов высших степеней не отличается от использовавшегося для линейных элементов. Кроме того, лучшие результаты, как правило, удается получить даже при несколько

меньшем числе неизвестных. В данном примере ансамблирование

типичной матрицы для нескольких элементов высших степеней не проводилось, и такое ансамблирование предлагается провести читателю в качестве упражнения — применяемая здесь методика

аналогична описанной в предыдущей главе. Однако можно сразу заметить, что внутренние узлы элемента связаны только с дру­ гими узлами того же элемента и, следовательно, могут быть

исключены на элементном уровне. Этот факт достаточно полезен

при вычислениях, поскольку тогда приведенную матрицу элемента ке для элементов высших степеней из данного примера можно

с помощью дополнительных вычислений представить просто как

(2х2)-матрицу. Чтобы усвоить эту процедуру, читателю реко­ мендуется решить упражнение 4.3.

Упражнения

4.1. Уравнение

d (k d(p/dx)/dx-\- аср+ Q= О

решается методом взвешенных невязок с аппроксимацией по Галеркину. Найти

решение, б) На элементном уровне выразить значение ф* во внутреннем узле через значения ф0 и ф2 в граничных узлах. Как следствие получить новую (2х2)-матрицу элемента, оперирующую только с граничными узловыми значе­

4.5. Найти функцию Q, такую, что Ф= Ро+ Р1* + Р г * 2 является решением уравнения

k d2y/dx2+ аф + Q = О,

4.6.В упражнении 1.2 найти распределение изгибающего момента, исполь­ зуя сначала два квадратичных, а затем два кубических элемента. Сравнить ответы с полученными другими методами в предыдущих главах.

4.7.Снова рассмотреть одномерный пример стационарной теплопроводности из упражнения 2.5, используя а) два квадратичных элемента, б) два куби­

ческих элемента и в) смешанную конечно-элементную пару, состоящую из одного квадратичного и одного кубического элементов. Сравнить полученные в каждом случае ответы с точным решением.

4.5. Иерархические формы высших степеней для одномерных элементов с С°-гладкостью

4.5.1. Общие замечания

При введении в гл. 3 конечно-элементных базисных функций параметры ат в разложении (4.5) отождествлялись с узловыми

значениями аппроксимации ф, т. е. полагалось ат= фт . В пре­

уравнений. При этом для последовательности аппроксимаций имеем

На каждом шаге уточнения к результатам предшествующего ре­ шения просто добавляется слагаемое атNmJ где

В этом параграфе будет предложен способ генерирования ко­

нечных элементов высших степеней, учитывающий некоторые

преимущества метода аппроксимации гладкими функциями из

гл. 2. Теперь базисные функции будут определяться не с помо­

щью условий вида (4.9), а посредством аддитивного уточнения.

Такие базисные функции мы будем называть иерархическими.

Хотя в общем случае добиться строгой диагональности ап­

проксимирующих уравнений трудно или невозможно, попытаемся по возможности ослабить зависимость между различными этапами аппроксимации. Такой подход в вычислительном отношении пред­

почтителен, поскольку неизбежно возникающие в процессе реше­ ния больших задач значительные ошибки округления не будут существенно влиять на качество окончательного решения в силу последовательного уменьшения значимости ат с ростом т .

4.5.2. Иерархические многочлены

Рассмотрим еще раз генерирование базисных функций для элемента общего вида, изображенного на рис. 4.3. Ясно, что ли­

нейное представление на этом элементе может быть получено

только с помощью базисных функций, приведенных на рис. 4.2, а (см. формулы (4.12а)), и не может быть улучшено, поскольку

отождествление общих узлов смежных элементов гарантирует

С°-гладкость. Можно получить иерархическую форму представ­

ления на этом элементе, используя для модификации линейного

представления некоторый квадратный многочлен.

Если ае2Щ представляет эту модификацию и функция N\ от

локальной координаты элемента £ определена как квадратичный многочлен вида

уравнений. В ряде случаев это можно осуществить или точно, или с хорошим приближением.

Во многих обсуждавшихся в предыдущих главах задачах ком­

Qe

Если могут быть найдены системы базисных функций, содержащих соответствующие многочлены, для которых такие интегралы обращаются в нуль при 1ф т , то требуемая ортогональность до­

стигнута и система алгебраических уравнений распадается.

Примером такой системы многочленов, обладающей свойством

ортогональности на отрезке — является множество мно­

гочленов Лежандра Рр ($>), и базисные функции могут быть вы­ ражены через интегралы от этих многочленов. Многочлен Ле­ жандра степени р определен формулой

ортогональность производных этих функций— свойство весьма по­ лезное при вычислениях. Графики этих функций и их производных приведены на рис. 4.4.

Пример 4.2. Снова рассмотрим задачу, обсуждавшуюся в при­

мере 4.1, но на этот раз для составления матриц элементов ис­

пользуем иерархический подход. Применим базисные функции,

Рис. 4.4. Почти ортогональные иерархические базисные функции элемента и их производные.

Заметим теперь, что матрица каждой последующей аппроксима­ ции содержит матрицы предыдущих аппроксимаций, причем за­

висимость между ними слабая. (Для данного^примера имеет^место

приближенная ортогональность квадратичной и кубической ап­

проксимаций, однако полной ортогональности здесь нет, поскольку

многочлены Лежандра обеспечивают, вообще говоря, только орто­ гональность производных, что проявляется в отсутствии членов

вычисления матриц и уменьшение влияния точности вычисления

последовательных параметров.

Упражнения

4.8.Повторить упражнение 4.1, используя иерархические квадратичные и кубические элементы.

4.9.В упражнении 1.2 найти распределение изгибающего момента, исполь­ зуя сначала два квадратичных, а затем два кубических иерархических эле­ мента. Сравнить ответы с результатами, полученными в упражнении 4.6.

4.10.Повторить упражнение 4.7, используя иерархические элементы.