1252

где по предположению k = A E постоянно. Аналогично he

n = \ m d t ,

о

где интеграл может быть вычислен для любого известного рас­ пределения Q = Q{x).

Рассматривая полученные выше соотношения в общем виде, можно заметить здесь аналогию с одним физическим фактом. Дело в том, что

KeijUj=z — Е Аиj/he

точно представляет силу, действующую в узле элемента и обу­ словленную перемещением Uj одного конца, тогда как другой ко­ нец остается неподвижным. Действительно, этот факт мог бы быть отправной точкой для получения решения. Для нашего конкрет­

ного примера (см. рис. 3.9, в) будем считать, что Q изменяется

линейным образом (см. рис. 3.9, а). Используя предложенный

в упражнении 3.6 метод, интерполируем Q тем же самым спосо-

Проинтегрировав, получим, что Selm= 0, если l,m=£i,j, и

S^ = S*, = № Sea = SejC= /1 7 6 .

Как может проверить читатель, ансамблированная система урав­

*) Интересно отметить, что во многих одномерных задачах метод Галеркина приводит к нахождению точного решения в узлах независимо от возмож­ ности плохого приближения где-нибудь в другом месте. Это заманчивое свой­ ство суперсходимости обсуждается в [1] [см. также Даутов Р. 3. Суперсхо­ димость МКЭ в сеточных нормах.— Ж. выч. матем. и матем. физ., 1982, т.

получаемые значения между узлами являются только прибли­ женными. Неиспользованное уравнение системы теперь дает

АЕ du/dx\x=0 = 3hQ/2, что тоже является точным значением. Фи­

зически эта величина представляет силу, которая должна быть

приложена для предотвращения перемещения при х = 0.

Если та же самая задача решается методом конечных разно­

стей, то соответствующие уравнения можно записать в виде

симация центральной разностью. Эта система очевидным образом

представляющегося утомительным процесса ансамблирования. Это, конечно, верно, но, с другой стороны, вычисления по методу конечных элементов позволят нам весьма просто решать задачи,

где ЕА зависит от х, и получать гораздо более точную аппрок­

симацию для производной на границе (упражнение 3.3). Услож­

нение выкладок не представит затруднений, если используется

программа для ЭВМ. Для простых случаев с постоянным размером

элементов нет нужды также повторять процесс ансамблирования.

Упражнения

1/2 < х ^ 1. Сравнить решение с точным распределением температуры. Решить ту же задачу методом конечных разностей.

3.12. Найти смещения в аксиально нагруженном стержне из примера 3.4 при k = \ -\-x/Lx. Использовать метод конечных элементов с четырьмя линей­ ными элементами.

22, № 5; Андреев А. Б. Харти М. Е., Лазарев Р. Д. Сверхсходимость гради­ ента в методе конечных элементов для некоторых эллиптических и параболи­

ждественно удовлетворять соответствующему однородному дифференциальному уравнению.

3.7. Обобщение конечно-элементных алгоритмов на двумерные и трехмерные задачи

3.7.1. Общие замечания

Одномерные примеры типа рассматривавшихся в предыдущем

параграфе не представляют существенного практического интереса,

так как во многих случаях для них легко найти точные решения.

Однако, как уже было отмечено, для дву- и трехмерных задач

ситуация существенно отлична, поскольку для них точное реше­

ние возможно лишь в случае простейших областей и краевых условий. Как правило, для практически важных задач неизбежно

численное решение.

В многомерном случае выбор конечно-элементных базисных

функций связан с рядом трудностей. В качестве одного из воз­

можных подходов ранее было предложено использовать кусочно­ линейные функции с разбиением области на треугольники (см.

рис. 3.2). Теперь рассмотрим этот подход более детально и изучим

возможность использования прямоугольных элементов с соответ­

ствующими базисными функциями. Будет обсуждено также обоб­

щение этих простых элементов на случай трех измерений. Известно,

что общие задачи, где требуется С°-гладкость базисных функций,

могут быть проанализированы с помощью использования этих простых элементов. Это, конечно, ограничивает круг рассматри­ ваемых нами задач такими, где в слабой форме аппроксимацион­ ных соотношений (3.156) под знаком интеграла стоят только пер­

вые производные. Другие более сложные виды базисных функций

иэлементов будут подробно обсуждаться в следующей главе.

3.7.2.Линейный треугольник

Треугольник является чрезвычайно полезной фигурой для лю­ бого двумерного анализа, так как с помощью семейств треуголь­ ников можно легко и достаточно точно представить области с

криволинейными границами весьма сложной формы. Для типич­

ного треугольного элемента е, узлы которого /, /, k пронумеро­ ваны в направлении против часовой стрелки и совпадают с вер­ шинами треугольника (см. рис. 3.26), будем искать базисную

функцию Nei(x, у), принимающую значение единица в узле i и

равную нулю в узлах / и k. Кроме того, соответствующая гло­

бальная базисная функция N( должна быть непрерывной при

переходе через границы элемента и отличной от нуля только на элементах, ассоциируемых с узлом i. Это требование непрерывности

можно обеспечить, предположив линейность Neit т. е. приняв, что

Задав базисные функции для треугольника, легко вычислить

все необходимые матрицы элементов для любой подходящим обра­ зом определенной задачи, в слабую формулировку которой входят

только первые производные.

На рис. 3.10 изображена типичная область, разбитая на тре­

угольные элементы с узлами в вершинах. Криволинейные левая и правая стороны аппроксимируются отрезками прямых. Это мо­

жет быть, например, профиль плотины, для которого требуется

исследовать возникающие напряжения или распределение темпе­

ратуры. Задача такого типа ведет к стандартной системе уравне­

ний (3.6). Не конкретизируя задачу и краевые условия, заметим,

что для приведенного конечно-элементного разбиения еще до учета

краевых условий матрица системы К будет иметь разреженную форму, показанную на рис. 3.11. Кружками обозначены ненуле­ вые компоненты, возникающие из-за связи элементов (напомним,

Отметим, что, как и для конечно-разностного метода, матрица

является разреженной и ленточной. Поэтому для решения системы алгебраических уравнений требуется меньший объем вычислений, чем в случае полностью заполненной матрицы; уменьшаются и требования к памяти ЭВМ.

Если применяемая процедура решения [2] использует ленточ-

ность структуры матрицы К, то узлы должны быть занумерованы таким образом, чтобы обеспечить минимум ширины ленты: это

увеличит вычислительную эффективность процесса решения. В общем случае должно быть очевидным, что если максимальная разница в номерах узлов любого элемента равна b— 1 , то матрица К будет иметь ширину полуленты Ь. На рис. 3.10 видно, что такая мак­

матрица К имеет ширину полуленты 6 .

Предполагая существование некоторой стандартной формулы для определения вкладов К]т и /\ каждого элемента, отметим, что

1 ) для каждого элемента такие вычисления должны быть про­

ведены только один раз;

2 ) один раз найденные вклады каждого элемента могут быть непосредственно учтены в соответствующем месте глобальной мат­

рицы, а затем (если применяется ЭВМ) стерты из памяти. Таким образом, важен также порядок, в котором нумеруются

элементы. На рис. 3.12 показано, как влияет вклад первых че­ тырех элементов на матрицу системы К для задачи, представлен­ ной на рис. 3.10.

Из рис. 3 . 1 2 следует, что вычисление конкретной строки ансамблированной матрицы заканчивается после того, как будут

1 2 3 4 5 6 7

Рис. 3.12. Процесс ансамблирования элементов 1—4, изображенных на рис. 3.10. Заштрихованная область соответствует информации, которую следует запомнить, если матрица симметрична.

учтены все элементы, содержащие вершину с номером, соответ­

ствующим данной строке. Таким образом, чтобы получить урав­

нение для узла 1 , используется только элемент 1 . Для построения

уравнений для узлов 2 и 3 привлекается вся информация от эле­

ментов 2 и 3. Этот «волновой» фронт ансамблирования распро­

страняется равномерно, если элементы вовлекаются в вычисления

упорядоченным образом. В результате исключение переменных

удается проводить о окончанием формирования строк. Эффектив­

ные конечно-элементные программы основаны на использовании процедур фронтального решения [3], позволяющих минимизиро­ вать хранимую информацию и число выполняемых арифметических операций. При этом важен порядок, в котором нумеруются эле­ менты (но не узлы).

3.7.3. Билинейный прямоугольник

Простой прямоугольный элемент может быть получен следующим образом. С каждым элементом ассоциируем четыре узла, распо­ ложенных в вершинах прямоугольника. Базисные функции узлов

получаем в виде произведения двух одномерных линейных базис­

ных функций, как показано на рис. 3.13. Например, с узлом i

элемента е ассоциируем базисную функцию элемента (относительно

осей координат с началом в узле г)

Такой элемент называется билинейным, поскольку в это выраже­

ние кроме линейных членов входит произведение ху. Выражение (3.28) для N1 автоматически удовлетворяет обычному требованию,

что iVf принимает значение единица в узле i и значение нуль во всех других узлах элемента е.

При аналогичном определении глобальной базисной функции N(

в соседних элементах становится очевидным, что при переходе

через границы элемента обеспечена С°-гладкость N Нетрудно вы­

писать выражения для базисных функций элемента, ассоциируе­

мых с другими узлами /, k, / элемента е. Более систематические

методы получения базисных функций прямоугольного элемента приводятся в гл. 4.

Прямоугольные элементы этого типа удобны при разбиении

областей типа квадрата или прямоугольника. Треугольные эле­

менты предпочтительнее при представлении областей более слож­

ной формы, когда при том же числе узлов требуется точно учесть

сложную геометрию границы (рис. 3.14, а и б). Еще одним спо­

собом учета сложной формы границы было .бы использование сме­

шанной конечно-элементной сетки, состоящей из прямоугольных

элементов внутри области и треугольных элементов вблизи гра­

ницы, как показано на рис. 3.14, в. Подробнее эта задача более точного представления границы будет рассмотрена в гл. 5 .

3.7.4. Трехмерные элементы линейного типа

Проведенное выше обсуждение в принципе нетрудно распро­

странить на трехмерный случай и определить аналогичные базис­

ные функции, обеспечивающие С°-гладкость при переходе между

х

Рис. 3.15. Трехмерные элементы, а — тетраэдр с четырьмя узлами; б — «кирпич» с восемью узлами.

соседними гранями. Например, на рис. 3.15 изображены два про­ стых трехмерных элемента, для которых базисные функции могут

быть получены с помощью тех же процессов, которые были опи­ саны для двумерного случая. Таким образом, для имеющего че­ тыре узла тетраэдра на рис. 3.15, а с узлом i будем ассоцииро­

вать базисную функцию элемента