1252

ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ

6.1.Введение

Впредыдущих главах было показано, что при исследование

многих физических систем требуется найти функцию, являющуюся

решением дифференциального уравнения, которое описывает пове­ дение рассматриваемой системы. В ряде случаев для конкретной

интересующей нас задачи можно установить естественный вариа­ ционный принцип. Тогда для получения решения может быть

принят альтернативный подход, состоящий в отыскании функции,

доставляющей стационарное значение некоторому функционалу. Если будут установлены такие вариационные принципы, то мы

сразу получим новые методы построения приближенных решений. При этом можно воспользоваться развитыми в предыдущих главах методами базисных функций или конечных элементов и попытать­

ся получить стационарное значение функционала относительно

изменения неизвестных параметров.

Некоторые физические задачи могут быть непосредственно

сформулированы в виде вариационных. Очевидным примером

является требование минимизации потенциальной энергии для получения равновесия механической системы. Однако вид естес­

твенного вариационного принципа не всегда очевиден. В действи­

тельности такой вариационный принцип может не существовать для многих непрерывных задач, допускающих корректную фор­ мулировку с помощью дифференциальных уравнений. По этой причине изложение будет начато с выяснения того, в каких ситуа­ циях естественный вариационный принцип может быть получен из дифференциального уравнения. Затем будет выяснено, как сконструировать вариационные формулировки, если естественного

вариационного принципа не существует. Такие формулировки

будут основываться на использовании либо метода множителей Лагранжа, вводящего в рассмотрение дополнительные переменные,

6.3.Рассмотреть функционал

вид естественного краевого условия на Г<?, если допустимые функции удовле­ творяют условию ф = ф на Г Ф = Г — Гд.

6.3.Конструирование естественных вариационных принципов

6.3.1.Симметричный оператор

Впоследнем параграфе было показано, что если задан вариа­

ционный принцип для некоторого функционала, то всегда можно получить соответствующее уравнение Эйлера. Однако часто пове­

дение физической системы первоначально описывается дифферен­ циальным уравнением, и тогда представляет интерес попытаться выяснить возможность вариационной формулировки задачи. Огра­

ничимся рассмотрением линейных дифференциальных уравнений,

так как общие правила для нелинейных уравнений весьма сложны

[2]. Линейное дифференциальное уравнение в общем случае может

быть записано в виде

ным относительно этого множества функций, если для любого

элемента 0 изданного множества

Пример 6.3. Рассмотрим оператор — d2/dx2 на отрезке оси х

0 ^ .x ^ .L x и соответствующем множестве функций, обращающихся

d \ld x 2 <^d [а (х) d2yjdx2]/dx = 0 при x = Lx?

и так как 6ф произвольно, то согласно условию стационарности П получаем

т. е. в точности нужное нам дифференциальное уравнение.

До сих пор в этой главе не обсуждался характер стационар­

ности П (т. е. будет ли иметь место максимум, минимум или

просто седловая точка). Однако в данном случае можно пока­

зать, что для любой допустимой функции % равенство (6.15)

где функция ф удовлетворяет уравнению (6.19) и доставляет стационарное значение П. Если оператор 2 положительно опре­

делен, то при изменении % в правой части этого равенства члены,

содержащие ф и if, остаются постоянными, тогда как первый член

будет всегда положителен, исключая случай %= Ф» когда его зна­

чение равно нулю. Следовательно, здесь мы имеем

ством (6.15) функционал можно переписать в виде

П (ф) = $ [4- (ф-^ ф — Ч ^Ф + ф .2 » + Рф] dQ +

Q

+члены, содержащие только ф. (6.22)

Вряде случаев можно также записать

^ (Ф ^ф — ф ^ф ) dQ = 2 J оГ ф dr + члены, содержащие только ф,

где оЛГ — некоторый линейный оператор. Таким образом, приве­ денный выше вариационный принцип эквивалентен требованию, чтобы в случае фиксированной функции ф новый функционал

принимал стационарное значение на множестве функций ф, удов­ летворяющих равенству (6.10). Теперь вариационный принцип

не требует задания в явном виде функции ф, удовлетворяющей уравнению (6.14). Функционал (6.24) аналогичен функционалу

(6.1). Поэтому, как и ранее, можно выяснить вид естественных

краевых условий и таким образом расширить множество допусти­

мых функций.

Замечание. Как правило, в случае, когда 3 содержит про­

изводные порядка 2d, краевое условие типа (6.10) будет естест­

венным краевым условием, если <М содержит производные по­ рядка не ниже d.

Пример 6.4. Рассмотрим задачу об определении малых откло­

нений нагруженной упругой струны с закрепленными концами. Отклонения струны описываются уравнением (пример 6.1)

Td2y/dx2 + w(x) = 0, 0

с краевыми условиями ф = 0 при х = 0 и ф = 0 при x = Lx. Если

ф = 0 удовлетворяет всем краевым условиям задачи, подлежащий

минимизации функционал будет иметь вид

Lx

П (<р) = J [— (Т/2) ф d2(p/dx2— шф] dx.

о

Интегрируя по частям, получаем

LLx

П(ф ) = — [ф dq>/dx]0x+ ^ [(Г/2) (d<pldx)2— а>ф] dx,

Пример 6.5. Вернемся к двумерной задаче стационарной тепло­ проводности, рассмотренной в примере 6.2. Этот процесс описы­

что оператор 3 положительно определен относительно множества функций, удовлетворяющих однородной форме этих условий, а

именно условиям

Ф = 0 на Гф, А<Эф/дп = 0 на Га,