1252

но при конечно-элементных вычислениях особенно удобен подход Гаусса— Лежандра, так как в нем требуется наименьшее число

вычислений для точного нахождения интегралов от многочленов.

5.2.3.Квадратурные формулы Гаусса в случае двух

итрех переменных

Вслучае двух переменных мы сталкиваемся с задачей вычис­

-1 -1

Так как интегрирование проводится по прямоугольнику, простей­

шим подходом здесь будет осуществление численного интегриро­

вания независимо по переменным £ и г). Таким образом, начиная с вычисления внутреннего интеграла и используя формулы пре­ дыдущего параграфа, получаем

Формулы этого типа называются мультипликативными и ши­ роко используются при двумерных и трехмерных конечно-элемент­

ных вычислениях. Читатель заметит, однако, что описанный выше процесс интегрирования будет точен и для членов, появляющихся

O', =0.059715 071 7 Р,= (Ш0 1420641 f*2= 0.797 426 985 3 /Зг = 0.101 Z865073

Рис. 5.10. Положения узлов и значения весов для треугольников.

дополнительно к полному многочлену степени р от независимых переменных £, т], £. Следовательно, можно попытаться получить

формулы, которые будут точны для полных многочленов некото­

рой степени и требуют несколько меньшего числа узлов, чем мультипликативные формулы. В ряде случаев такие формулы действительно могут быть получены [5]1).

В случае двух переменных для треугольных областей опять

может быть принят прямой подход. Таким -образом, в случае

одного узла (п = 0) имеются три неизвестные, определяющие ко­

ординаты (£0, rio) и вес W0. Ясно, что в этом случае полный мно­

гочлен первой степени можно проинтегрировать точно. При п = 2

точно может быть проинтегрирован многочлен степени 3 и т. д.

Координаты узлов и значения весов для п = 0, 1, 2, 3, при­

ведены на рис. 5.10 [6]. Снова возможно обобщение на трехмер­

5.15.В упражнении 5.9 показать, как с помощью квадратуры Гаусса получить компоненты матрицы ке и правой части \е.

5.16.Вывести формулу интегрирования, дающую точный результат для

жева элемента с девятью узлами определяет целое семейство формул инте­ грирования.

Рис. 5.11. Отображение рассматриваемой области.

Рис. 5.12. Изменения х вдоль границы в переменных (£, т]).

ленную непрерывную функцию, граничные значения которой от­ личаются от требуемых на линейную функцию.

Мы не приводим никаких аналитических выражений для осуществляющих это отображение функций, поскольку выкладки три­

виальны, если хорошо понят сам принцип построения (см. упраж­

нения 5.19 и 5.20).

Аналогичная интерполяция для координаты у приводит к функ­

ции Д(£, г]) из (5.2), что и заканчивает построение отображения.

Такой процесс может быть обобщен на случай использования

интерполяции многочленами высших степеней. Например, если

помимо выполнения краевых условий требуется, чтобы какое-либо конкретное множество точек (х, у) принадлежало некоторым про­ образам прямых, параллельных осям координат в плоскости (£, ri),

Рис. 5.13. Построение функции отображения с помощью процесса линейного составления.

то использованную выше линейную интерполяцию следует заме­

нить квадратичной интерполяцией.

Эта процедура в принципе позволяет отобразить область про­

извольной формы (возможно, разбитую на подобласти или элементы произвольного вида) на квадрат (или на семейство квадратов). Чтобы получить такое отображение, необходимо с помощью соот­

решения могут быть получены с помощью глобальных функций

или— в случае необходимости — подразбиения на регулярные эле­ менты стандартного типа. В действительности отображение такого

рода позволяет использовать и конечно-разностную процедуру типа введенной в гл. 1 в простой регулярной области плоскости (£, г]). С помощью этой процедуры удается устранить основные недостатки конечно-разностного метода, поскольку задачу в об­ ласти сложной формы можно решить непосредственным примене­ нием конечно-разностного метода к соответствующим образом пре­

образованному дифференциальному уравнению на получающемся

квадрате в плоскости (£, г]).

5.3.3. Отображения с помощью решения дополнительных уравнений

Задачу построения отображения, сведенную в предыдущем

параграфе к определению координат х или у (рис. 5.12) на квад­

Решение уравнений (5.33) на квадратной области с заданными

значениями х и у на границах можно найти с помощью простых конечно-разностных (или эквивалентных конечно-элементных) ал­

горитмов. Вид уравнений (5.33) гарантирует, что получаемые ре­ шения х и у являются гладкими и обладают надлежащей струк­

турой *).

Возможно, покажется удивительным, что описанный здесь метод отображения может применяться на практике, поскольку при его использовании требуется дополнительно решить систему из двух уравнений, прежде чем отыскивать основное решение. Однако эти дополнительные вычисления проводятся на весьма простой области,

и для некоторых сложных областей и уравнений преимущества

могут оказаться значительными. Все описанные ранее достоинства

отображения с помощью составных функций остаются в силе.

Интересно отметить, что отображения этого и аналогичных типов часто используются при конечно-разностном решении задач в слож­ ных областях [8]. Если координаты х и у вычисляются на регу­

Наука, 1976.— Прим, ред.

лярной сетке в области (£, rj), то для нахождения величин типа

дх/dl можно использовать простые конечно-разностные формулы,

и поэтому матрицы Якоби (см. (5.4)), необходимые для преобра­ зования исходной задачи, могут быть найдены непосредственным

образом.

Упражнения

5.17.С помощью соотношений (5.33) сложная область типа изображенной

лученной после отображения области непосредственно применить метод конеч­ ных разностей. Рассмотреть вопрос об. аппроксимации краевых условий в слу­ чае заданного на границе потока тепла (равенство (1.66)).

б'Лв. Повторить упражнение 5.17, используя метод конечных элементов и элементы с четырьмя узлами. (При вычислении якобиана можно использовать конечно-разностные выражения.)

5.19. Рассмотреть процесс отображения с помощью составных функций, иллюстрируемый рис. 5.13. Положить

Л М В = ( 1 - Е ) / 2 , ^ (В = 0 + 0 /2 ,

Р (I, ц) = х (|) |ч__! No (л)+ * (BI4 -1 Ni (В.

R (I. tj)= * 15-т,—1 Nо (0 Nо (B+ *l6-i. ч— 1 * i (В No (т|)+

+ * — 1. 4=1 No (В N1 ft)+ * |5=4- I Ni (I) (л)

ипоказать, что искомое отображение задается функцией

Х= Р & г\) + Р(г\, В-ЖЕ.Т1)-

5.20.Требуется найти распределение температуры ф в прямоугольном эле­ менте Q* с четырьмя узлами, на сторонах которого заданы показанные на рисунке краевые условия (коэффициент теплопроводности равен единице). По­

казать, что если на Qe функция ф взята в виде

с узлом 2, то ф точно удовлетворяет заданным краевым условиям на прямых х = 0 и у = 0, Используя это представление для <р и метод взвешенных невязок.

Рис. 5.14. Конечно-элементная сетка для исследования магнитного поля в об­ ласти железо — воздух, а — при краевом условии, наложенном на большом, но конечном расстоянии; б — при краевом условии, наложенном на бесконечности

сиспользованием бесконечных элементов.

саппроксимацией по Галеркину, получить аппроксимацию значения ф2. Срав­ нить результат со значением ф2, полученным стандартной конечно-элементной

билинейной интерполяцией для ф на Q*, а также с точным значением ф2 = 3.

5.3.4. Бесконечные элементы

Одним из наиболее интересных и практически полезных видов

отображений является то, при котором бесконечная область пере­

водится в конечную.

Во многих ситуациях, одна из которых показана на рис. 5.14, область решения задачи простирается до бесконечности. В иллю-