1252

При втором подходе мы пытаемся работать непосредственно

с областью, простирающейся до бесконечности. Здесь существуют разнообразные методы — от использования аналитического реше­

ния, справедливого на больших расстояниях, до простейшего

метода, когда бесконечная область отображается в конечную. Эта

последняя возможность и обсуждается в данном разделе. Сначала рассмотрим возможность отображения одномерной

области (или элемента), начинающейся в некоторой точке с коор­

динатой х0, содержащей промежуточную точку с координатой xQ и

продолжающегося до бесконечности в хг (рис. 5.15, а), в область

—1 < £ < 1 (рис. 5.15, б). Определим отображение формулой

Теперь отображение (5.35) можно непосредственно записать через х0 и XQ как

л: = (2х0— XQ) N% + X Q N % = ^ 1+ xQ, (5.38)

и требуемое отображение, таким образом, полностью определено.

Хотя в (5.36) могут быть использованы многие другие виды

функций, важно, чтобы выбранные для реализации отображения

функции удовлетворяли соотношению

Это условие тождественно выполняется для функций, определен­ ных равенствами (5.36). Необходимость этого условия следует из

Рис. 5.16. Бесконечные элементы в двумерном случае, а — фактическая область; б — полученный при отображении бесконечный элемент.

где число членов опять зависит от степени использованного мно­

гочленного представления. (Читатель заметит, что если, как и

чтобы получить таким образом правильное конечно-элементное

решение, нужно знать, как ведет себя решение на достаточно

большом удалении и где приближенно начинается затухание.

Если одномерное отображение бесконечного элемента найдено,

то распространить его на случай двух (или трех) измерений не

составляет особого труда.

Рассмотрим, например, конечно-элементную область, выделен­ ную штриховкой на рис. 5.16, а, и в частности сторону типич­

ного линейного треугольного элемента, которая определяется

узлами 0 и 3 и к которой примыкает бесконечный элемент е.

Сначала рассмотрим отображение прямой, проходящей через

узел 0 и точку Q и образующей сторону бесконечного элемента. Ясно, что здесь можно применить одномерное отображение и

записать (используя (5.38))

y = (tyo— Уо) Np-\-yQ^e = tjpNp + yQ^Q,

где координаты (xP, yP) точки P определяются, как и выше. Нетрудно видеть, что относительно системы координат (X , У)

с началом в 0 имеем

и, следовательно, прямая, проходящая через Р, 0 и Q, соответ­ ствует получающемуся при отображении направлению оси £.

Если теперь положение точки S определено (при соответствую­ щем начале затухания R), то очевидно, что можно записать полное отображение бесконечного элемента е:

Для представления изменения произвольной неизвестной функции в плоскости (£, л) снова можно использовать многочленные базис­ ные функции, причем нетрудно видеть, что вдоль прямых 0— 1 и 3—2 (и, следовательно, вдоль всех прямых л = const) получаются выражения вида (5.45), где г — расстояние от соответствующим образом определенного полюса.

Возвращаясь к примеру, представленному на рис. 5.14, отме­ тим, что там такой полюс, если он фиксирован вблизи центра области, фактически определяет представление, тождественное на

Упражнения

исравнить полученную аппроксимацию с найденной в примере 5.2.

5.4.Построение сетки и заключительные замечания

Вэтой и предыдущей главах было показано:

1)как построить произвольные базисные функции в виде многочленов высших степеней для семейства прямоугольных и

треугольных конечных элементов;

2)как с помощью алгоритмов отображения достаточно точно

представить глобальную область почти любой сложной формы

ввиде ансамбля таких элементов;

3)как достаточно просто вычислить матрицы элементов по­

средством численного интегрирования.

Такие понятия, как отображение и численное интегрирование, применяются, конечно, не только при конечно-элементной аппрок-

4

Рис. 5.17. Построение сетки с помощью отображения, а — фактическая область Q; б — отображенная область с нанесенной на нее сеткой в плоскости (£, т]); в — результирующая сетка на Q.

симации, и, следовательно, излагавшийся по этой теме материал

является общезначимым. Например, составное отображение

и составная интерполяция (разд. 5.3.2) в действительности впер­ вые были введены для описания сложных форм кузовов автомо­

билей, а численное интегрирование было изобретено задолго до

метода конечных элементов или других методов взвешенных не­

вязок. Здесь имеется, однако, один дополнительный момент, кото­ рый может представить интерес для читателя. Он состоит в том, что идеи отображения использовались не для получения конечно-

элементной аппроксимации, а прежде всего просто для построения сеточного разбиения области достаточно общей формы. Очевидно,

что построение такого разбиения вручную потребовало бы значи­

тельных вычислительных усилий.

С помощью различных процедур мы добились отображения

областей достаточно произвольной формы в квадраты. В резуль­

тате получались функции отображения, задающие на фактической плоскости координаты (х> у) посредством формул

Ясно, что построение равномерной сетки в квадратной области

(£, л) весьма просто. Для каждого узла такой сетки можно не­

посредственно вычислить координаты эквивалентной точки в по­ лучаемой при отображении плоскости, так что мы располагаем всеми необходимыми средствами для построения сетки элементов произвольной формы. Такой процесс с использованием весьма

простого отображения параметрического типа иллюстрируется

рис. 5.17. Отметим, что все виды рассматривавшихся здесь ото­

бражений широко используются в практических программах авто­

матического построения сетки.

Литература

[1]Courant R. Differential and integral calculus. Vol. II,— London: Blackie and Sons, 1936. [Имеется перевод: Курант P. Курс дифференциального и инте­ грального исчисления. Том 2.— 2-е изд.— М.: Наука, 1970.]

[2]Zienkiewicz О, С. The finite element method.— 3rd ed.— New York: McGraw-Hill, 1977.

[3]Froberg С. E, Introduction to numerical analysis.— Reading: AddisonWesley, 1965.

[4]Крылов В, И. Приближенное вычисление интегралов.— 2-е изд.— М.:

x) См. также Дьяконов E. T. О некоторых модификациях проекционно­ разностных методов.— Вестник МГУ, сер. вычисл. матем. и киберн., 1977, т. 1, № 2, с. 3— 19.— Прим, ред.