1252

Рис. 6.1. Сравнение приближенного и точного решений задачи из примера 6.7,

Решение этой системы для трехэлементной аппроксимации имеет

вид

ах= —0.0448, а2= 0.8598, а3= 0.2311.

На рис. 6.1 оно сравнивается с точным решением и соответст­ вующими одно- и двухэлементной аппроксимациями.

Упражнения

6.20.Вновь рассмотреть задачу об отклонении аксиально нагруженного стержня, решавшуюся в примере 3.4. Найти решение, используя метод мно­ жителей Лагранжа с подходящей системой непрерывных базисных функций.

6.21.Выяснить физический смысл множителя Лагранжа Я в упражнении

6.20и заново решить задачу с помощью модифицированного вариационного принципа, в котором Я заменяется тождественно равной ему величиной.

6.22.Вернувшись к примеру 2.5, найти приближенное решение, исполь­ зуя ту же самую систему базисных функций и модифицированный вариацион­ ный принцип (6.48).

6.6. Общие вариационные принципы

Метод множителей Лагранжа ведет к очевидной процедуре получения вариационного принципа для общего дифференциаль­ ного уравнения вида

где оператор £? не обязательно обладает свойствами, обеспечи­ вающими существование естественного вариационного принципа.

Рассматривая выписанное выше уравнение как ограничение, можно получить вариационную формулировку для этого уравнения,

просто полагая

и требуя, чтобы функционал П принимал стационарное значение

относительно всех вариаций 6ф и 8А, на множестве функций ср,

удовлетворяющих краевым условиям задачи.

Взяв вариацию, что дает

существует только для линейных задач [5].

Опять видно, что этот вариационный принцип введен ценой удвоения числа переменных, входящих в любое приближенное

и выполнить те же шаги, что и при выводе соотношений (6.38) — (6.42), то можно показать, что в данном случае окончательная система уравнений принимает вид

Очевидно, что эта система полностью распадается на отдель­ ные уравнения и сначала можно независимо решить систему для

параметров ат , являющихся неизвестными в аппроксимации ср и

где а — параметр штрафа. Используя, как ранее, трехэлементную аппроксимацию

Ф= аг+ а^с+ а3х2,

выберем постоянные + , а2, а3 таким образом, чтобы получить стационарное значение относительно вариаций по аи а2, а3,

т. е. потребуем, чтобы

<311/5+ = 5П/5+ = дП/да3= Or

Подставляя аппроксимацию и дифференцируя, получаем уравнения

дП/да2= J (а2 + 2а3х + atx + а2хг+ а3х3) dx +

+ а (2 + + 2 + + 2а3— 2) = О,

1

5П/5а3 — J (2а2х + Аа3х2+ + * 2 + + * 3 + а3х*) dx +

+ а (2+ + 2а 2+ 2а3— 2) = О

и после вычисления интегралов приходим к системе линейных

уравнений Ka = f, где

решения с возрастанием р. Этот факт демонстрируется также в сле­

дующей таблице, где показана сходимость трехэлементных аппро­

Рис. 6.2. Влияние увеличения параметра штрафа на приближенное решение зада­ чи из примера 6.8.

Упражнения

6.23. Методом штрафных функций получить распределение изгибающего момента для балки из упражнения 1.2. Использовать аппроксимацию, удо­ влетворяющую краевому условию при х = 0, но не удовлетворяющую автома­ тически краевому условию при х = 1 . Исследовать влияние увеличения пара­ метра штрафа а.

6.24.Использовать метод штрафных функций для решения задачи круче­ ния из примера 2.5. Применить аппроксимацию многочленом, удовлетворяю­ щую заданному краевому условию при у = ± 2 , но не удовлетворяющую авто­ матически краевому условию при х = ± 3 . Исследовать влияние увеличения параметра штрафа а на оценку крутящего момента и максимального значения касательного напряжения.

6.25.Вернувшись к упражнению 2.7, найти распределение температуры методом штрафных функций. Использовать аппроксимацию, удовлетворяющую только краевым условиям на сторонах х = ± \ .

6.8.Метод наименьших квадратов

В§ 6.6 было показано, как использовать метод множителей

Лагранжа для построения общего вариационного принципа, рас­ сматривая дифференциальное уравнение как ограничение, нало­ женное во всех точках области. Ясно, что ту же самую процедуру можно использовать применительно к описанному в предыдущем параграфе методу штрафных функций. Действительно, если ре­

шается уравнение

то решение можно определить с помощью отыскания стационар­ ного значения функционала

ряют на Г заданным краевым условиям. Интересно, что так как

параметр а теперь является просто множителем, то нет необхо­

димости в его дальнейшем рассмотрении и он может быть опущен. Подставляя аппроксимацию ф стандартного вида, нетрудно видеть,

Следовательно, этот подход непосредственно дает векторное урав­

ровок, которые можно использовать для построения приближенных решений. Вариационный принцип наименьших квадратов может быть записан для произвольного дифференциального уравнения без введения дополнительных переменных. Однако, вычислив ва­ риацию для конкретного примера, читатель заметит, что уравне­ ние Эйлера будет теперь некоторой производной от исходного

меняется конечно-элементная аппроксимация. Хотя в ряде слу­ чаев могут выявиться серьезные недостатки, чаще всего их удается преодолеть переходом к смешанной формулировке и заменой ис­

ходного уравнения системой уравнений более низкого порядка. Это, однако, опять приводит к необходимости введения дополни­

тельных переменных.

Пример 6.9. Рассмотрим одномерную задачу линейной стацио­

нарной теплопроводности, обсуждавшуюся в примере 3.3. Описы­

вающее физический процесс уравнение имеет вид

метод наименьших квадратов и конечно-элементную аппроксимацию

м

ф= 2 . Ф . Л ,;

т— 1

тогда компоненты матрицы К системы (6.65) равны 1

Klm= $ (d'-Njdx*) (cPNjdx*) dx.

о

Таким образом, для того чтобы появляющиеся здесь интегралы были определены, базисные функции должны обладать (^-глад­

костью. Если мы хотим использовать линейные элементы, которые имеют С.°-гладкость, то необходимо использовать смешанный под­

ход, принятый в примере 3.3, и заменить выписанное выше урав­

нение двумя уравнениями первого порядка

Хотя анализ метода наименьших квадратов описан только для одного уравнения, он непосредственно обобщается на систему

уравнений. В данном случае необходимо потребовать, чтобы функ-

п (ч>) = 5 (J?q> + р )г (J?q> + р) dQ

О

достигал минимума. Используя сетку с показанными на рис. 3.7, а

четырьмя равными элементами и линейными базисными функ­

циями, можно построить конечно-элементные аппроксимации по

правилу

где ф0 = <75 = 0 в силу краевых условий. Подставив эти разложе­

ния в приведенное выше выражение, можно показать, что П(<р) принимает минимальное значение, когда

KO = f,

где

Ф Г = (фи ф2. Фз. ф4. Фб).

dx.

Можно заметить, что, как и следовало ожидать, теперь доста­ точно, чтобы базисные функции имели С°-гладкость. Приведен­ ные матрица элемента и правая часть для типичного элемента е на рис. 3.7, 6 принимают вид

Упражнения

6.26.Методом наименьших квадратов непосредственно получить решение задачи из примера 6.9, используя введенные в упражнении 4.12 конечные эле­ менты с (^-гладкостью.

6.27.Методом наименьших квадратов найти конечно-элементное решение задачи об отклонении балки из упражнения 6.15.

6.9.Заключительные замечания

Вэтой главе было показано, как сформулировать вариацион­ ные принципы для широкого класса задач и с помощью этих

принципов получить дискретные аппроксимирующие уравнения.

Действительно, такие уравнения тождественны уравнениям, по­

лучаемым прямым применением аппроксимации по Галеркину,

описанной в гл. 2 и 3. Дает ли введение описанных здесь допол­

нительных понятий какие-либо преимущества? Ответ будет (от­

части) утвердительным по следующим соображениям.

1. Существование функционала гарантирует, что матрица си­

стемы уравнений, из которой находятся параметры задачи, явля­

ется симметричной. Как неоднократно отмечалось, это выгодно

в вычислительном отношении. С другой стороны, симметричность

матрицы системы дискретных уравнений всегда влечет существо­

вание вариационного функционала.

2.Этот функционал часто представляет конкретную физиче­

скую величину (например, энергию поля). Если минимизация та­

кого функционала ведет к точному решению, то гарантировано,

что приближенное значение функционала будет оценкой сверху для минимального его значения. Иногда в ряде случаев это поз­ воляет установить границы погрешности.

3.Понимание взаимосвязей между дифференциальными урав­ нениями и вариационными функционалами открывает новые пер­

спективы в построении приближенных методов.

Литература

[1]Courant R. Differential and integral calculus, Vol. II. London: Blackie and Son, 1936. [Имеется перевод: Курант P. Курс дифференциального и инте­ грального исчисления. Том 2. —- 2-е изд. — М.: Наука, 1970.]

[2]Вайнберг М. М. Вариационные методы исследования нелинейных опе­ раторов. — М.: Гостехиздат, 1956.