1252

“<*>-$[-*l(*3 H4 (*S)-H<s+

где ф— произвольная функция, удовлетворяющая полным неодно­ родным краевым условиям. Используя формулу Грина, второй интеграл можно переписать следующим образом:

Снова применяя формулу Грина к первому интегралу и пре­ небрегая членами, не зависящими от <р, находим, что искомая функция доставляет стационарное значение функционалу

П (ф) = J [(6/2) (ду/дх)2+ (6/2) (ду/ду)2— Qcp] dQ-\- $ щ dV

а

на множестве функций, удовлетворяющих полным неоднородным

краевым условиям. В действительности это множество допустимых функций может быть расширено, так как с помощью вычисления

первой вариации 6П (как в примере 6.2) краевое условие на Г^

ванне порядка 2 (т. е. d = 1), то краевое условие, включающее дифференцирование порядка 1, является естественным (см. заме­

чание перед примером 6.4).

Упражнения

6.8. На балку длиной Lx с защемленными концами действует нагрузка w(x) на единицу длины; весом балки пренебрегают. Если R = E I — жесткость балки на изгиб, то отклонение ср удовлетворяет уравнению

d2 [R (х) d2y/dx2]/dx2= w(*)

принимают вид d2<p/dx2 = d3y/dx3 = 0}

6.9. Если описанная в предыдущем упражнении балка покоится на упру­ гом основании жесткостью k (> 0), то дифференциальное уравнение прини­ мает вид

d2 [R (х) d2yldx2ydx2+ fop= w(x).

6.4. Приближенное решение дифференциальных уравнений методом Релея — Ритца

Результаты предыдущего параграфа могут быть использованы

для получения метода приближенного решения дифференциаль­ ного уравнения (6.9) с общими линейными краевыми условиями

(6.10) при условии, что 3 — симметричный линейный оператор

относительно множества функций, удовлетворяющих условию (6.11).

Этот метод решения, аналогичный введенному в гл. 2 и 3, впер­ вые был использован Релеем, а затем обобщен Ритцем. Опреде­ лим некоторую функцию ф, удовлетворяющую краевым условиям

задачи, т. е. такую, что

и краевые условия на Г автоматически выполняются для всех значений постоянных а1У а2, . . . , ЯмСуть метода Релея — Ритца состоит теперь в получении для

П (Ф) = J [ ( Ф -ф ) {4- 2 (ф — Ч»)+ < ?* + р}] dQ (6.28)

стационарного значения относительно параметров ах% я2, . . . , ат.

Формально можно показать [3], что если оператор 3 положи­ тельно определен, то этот процесс сходится в том смысле, что

Нш [ (ср— $)2dQ = 0, и из неравенства (6.21) следует, что в этом

что полученные здесь уравнения относительно параметров тож­

дественны найденным в гл. 2 (формулы (2.33)) для решения этой

задачи методом Галеркина (т. е. при W ^ N j). Таким образом,

мы делаем вывод, что аппроксимации, получаемые методами Релея —

Ритца и Галеркина для решения уравнений (6.9) и (6.10), будут

тождественны, если оператор 3 симметричен, т. е. если сущест­ вует вариационная формулировка задачи. Метод Галеркина, естественно, может быть использован вне зависимости от того, можно ли найти такую вариационную формулировку, и, следова­

тельно, имеет более широкую область применения.

задаче, положительно определен относительно множества функ­

ций 0, таких, что 0 = 0 при л; = 0, dQ/dx= 0 при х=*1. Тогда

согласно (6.22) эта задача эквивалентна нахождению функции ф, удовлетворяющей краевым условиям и минимизирующей функ­ ционал

1

использование формулы Грина дает равенство

Уравнения (6.47а) и (6.47в) показывают, что функция ф, достав­

ляющая стационарное значение П1э является искомым решением,

тогда как уравнение (6.476) определяет соответствующее значе­

ние К. Так к а к — кду/дп на Г равно потоку тепла через гра­

ницу, то мы получаем в этом случае физическую интерпретацию

значения множителя Лагранжа. Эта идентификация множителя Лагранжа позволяет сформулировать модифицированный вариа­

ционный принцип, когда К с самого начала заменяется тождест­

венно равной ему величиной. Таким образом, для данного при­

мера можно искать стационарное значение не функционала (6.44),

афункционала

п<«=Ят(ж)'+т(|г)’- ‘Н “М фф-йхг. (6“8>

где ф опять не обязательно удовлетворяет каким-либо краевым

условиям. Если приближенное решение ф строится в обычной форме разложения по базисным функциям и стационарное зна­

чение П(ф) отыскивается относительно вариаций по параметрам

в этом разложении, то можно показать, что использование нового принципа возвращает нас к задаче с исходным числом неизвест­ ных параметров. Таким образом, этот метод может быть пред­ почтительнее в вычислительном плане.

Вариационные принципы в такой формулировке используются

во многих различных приложениях, причем особенно широко они

применяются в строительной механике [4].

дом взвешенных невязок, причем разложение по базисным функ­ циям не удовлетворяло априори краевым условиям задачи. Попы­ таемся теперь получить решение, используя то же самое разло­