1252

Купражнению 3.18.

3.16.Решить задачу кручения из примера 1.5, используя сетку из 12 тре­ угольных элементов (см. рисунок). Повторить вычисления для сетки из шести квадратных элементов. Сравнить полученные значения для крутящего момента

снайденными другими методами в предыдущих главах.

3.17.Методом конечных элементов решить задачу кручения кругового

цилиндра. Использовать сетку с четырьмя треугольными элементами (см. рисунок).

3.18.Методом конечных элементов найти стационарное распределение тем­ пературы ф в изображенном на рисунке секторе круга. Использовать показан­ ные треугольную сетку и краевые условия. Повторить задачу, заменив треуголь­ ные элементы 2 и 3 одним прямоугольным элементом.

3.19.В разд. 3.8.2 найти вектор нагрузки элемента, если Q не берется

постоянным на прямоугольном элементе, а интерполируется через значения

вать аналогичную интерполяцию для”^ вдоль каждой стороны элемента, соеди­ няющей узлы, которые принадлежат граничной кривой Гд.

3.9. А нали з д вум ерны х задач теории уп ругости в напряж ениях с Использованием треугольны х элем ентов

Двумерная задача теории упругости в напряжениях уже была исследована в § 2.7 в качестве примера задачи с двумя неизвест­ ными функциями, определяемыми из системы двух дифференци­ альных уравнений. Здесь будет рассматриваться та же самая задача, но с заменой использованных ранее базисных функций кусочно-линейными базисными функциями, локально определен­ ными на треугольных элементах с узлами в вершинах. Эта задача

является классической, так как в 1956 г. именно в ней впервые был применен метод конечных элементов [4]. Принятая здесь формулировка все еще широко используется, хотя во многих при­ ложениях простой треугольный элемент заменяется некоторыми

более сложными элементами, о которых пойдет речь в следующей

главе.

Следуя обозначениям разд. 2.7.1, определим поле перемещений

но на этот раз для представления и и v будут использованы одни

и те же конечно-элементные функции. Опуская произвольную

функцию ф, которую, как было показано, можно включить в

общую конечно-элементную формулировку, имеем

и тем самым удовлетворим соотношениям (2.90); тогда уравнения метода взвещеннух невязок (2.92) можно записать в виде

Эта система уравнений равносильна стандартной системе алгеб­

раических уравнений

где матрица К и правая часть f получаются суммированием

вкладов отдельных матриц элементов и соответствующих векто­ ров нагрузки элементов с компонентами

в том случае, когда какая-либо сторона элемента образует часть

граничной кривой Г0.

Приведенное представление является достаточно общим и применимо к элементам произвольной формы. Однако мы огра­ ничимся рассмотрением частного случая треугольных элементов с узлами в вершинах, для которых базисные функции были

Используя соотношение (3.55) и вспоминая, что для таких эле­

ментов dNeJdx = Pf и dNуду = yeit находим

Аналогичные выражения имеют место для В/ и В|, и, таким об­ разом, на элементе эти матрицы постоянны. Если теперь пред­ положить, что упругие свойства не меняются на элементе (это

где Ае— площадь элемента е. Аналогичным образом, считая объ­ емные силы X И граничную нагрузку t постоянными на элементе,

на всей области. Если определить эту матрицу в общем виде

£>п £>12 D13

D = £>22 ^23

Симметрично D33

то приведенную матрицу элемента к1 можно получить по фор­

муле (3.62):

Производя здесь умножение матриц, находим’, что

Читатель может проверить, что в силу свойств базисных

функций сумма элементов каждой строки в к1 тождественно равна

нулю. Этот факт можно использовать для простой проверки пра‘ вильности проведенных вычислений.

Упражнения

3.20. Решить задачу об отклонении балки из упражнения 2.19. ЗаменИтЬ исходное дифференциальное уравнение четвертого порядка системой двух ура04 нений второго порядка и применить конечно-элементную аппроксимацию но Галеркину.

3.21. Составить систему линейных алгебраических уравнений, получа*0' щуюся при применении процедуры конечно-элементной аппроксимации р0 Галеркину к задаче о нагруженной пластине (пример 2.10),

3.10.Является ли метод конечных разностей частным случаем метода конечных элементов!

ных элементов приводила к уравнениям, которые или тождест­

венно совпадали с уравнениями, полученными с помощью конечно­

разностной аппроксимации в гл. 1, или были чрезвычайно близки

нений метода взвешенных невязок с локально определенными

лось независимо.

Ясно, что такая аппроксимация может быть получена посред­ ством метода коллокации, когда в качестве весовой функции

берется дельта-функция Дирака, т. е.

ные точно таким же образом, как и конечно-разностные выра­

жения.

При данное выше определении необходимо, чтобы в точке х{1

[и не содержат других точек разрыва.— Ред.\. Это условие легко, выполнить даже для разрывных функций.

для которой, согласно методу взвешенных невязок,

Аппроксимация функции ф системой пересекающихся дуг пара­ бол (рис. 3.19, а) эквивалентна использованию системы базисных функций, показанных на рис. 3.19,6.

Чтобы доказать выполнение условия (3.67) предположим, что Wt совпадает с постоянной в окрестности разрыва. Тогда, под­

ставляя Nт в оператор, имеем

— Игл

е -► О * ' V X D 1

6

Рис. 3.19. Аппроксимация функции одной переменной (а), использующая базисные функции в виде дуг парабол (б).

и соответственно

Приведенный выше способ получения конечно-разностных вы­

ражений может быть обобщен на дву- и трехмерные задачи.

В каждом конкретном случае можно показать, что стандартные конечно-разностные методы можно интерпретировать как частные случаи метода взвешенных невязок, однако получение конечно­

разностных аппроксимаций описанным выше способом не реко­ мендуется из-за его сложности. Тем не менее мы доказали то,

что нам требовалось, а именно что конечно-разностная методоло­

гия является лишь частным случаем общей методологии конечно­

элементной аппроксимации с помощью взвешенных невязок.

Мы не будем здесь больше говорить об этом и лишь отметим,

что во всех приведенных выше примерах конечно-элементная ап­

проксимация по Галеркину давала по меньшей мере столь же точные результаты, что и аналогичные конечно-разностные соот­

ношения. Этот факт в сочетании с простотой учета краевых усло­

вий Неймана, без сомнения, является одной из причин всесто­

ронней разработки и использования конечно-элементной аппрок­

симации по Галеркину. С другой стороны, необходимо отметить,

что простота записи конечно-разностных выражений для однород­

ных ситуаций и отсутствие процесса ансамблирования делают

метод конечных разностей весьма популярным среди многих поль­ зователей.

3.11. Заключительные замечания

Эта глава вместе с двумя предыдущими служит введением в

круг основных идей, необходимых для понимания современных

процессов конечно-элементной аппроксимации. Теперь читатели могут строить дискретные аналоги новых задач с использованием

конечных элементов простейшего вида и таким образом опери­ ровать с весьма широким кругом практических задач. Следуя методике, намеченной в § 2.8, этот процесс может быть распро­ странен на нелинейные задачи. Методы решения таких задач

Рис. 3.20. Треугольные элементы, используемые при анализе напряжений в пло­ тине.

достаточно разработаны, и за подробностями читателю рекомен­ дуется обратиться к соответствующей литературе [5].

В заключение этого параграфа приведем несколько примеров

практического применения конечно-элементных аппроксимаций,