1252

К упражнению 1.18.

1.7. Задачи для областей неправильной формы

Рассмотренные в последнем параграфе примеры имели границы,

состоящие из отрезков прямых, которые пересекались прямо­

угольной сеткой в точках, также являвшихся узлами сетки. Од­

нако в случае криволинейной границы такая ситуация не имеет

места и полученные ранее конечно-разностные выражения для производных вблизи границы должны быть модифицированы.

а

---------Г р а н и ч н а я к р и в а я

s /v Т

R

х

Рис. 1.9- Конечно-разностная сетка в окрестности криволинейной границы.

Предположим, что для некоторой задачи граничная кривая

пересекает прямоугольную конечно-разностную сетку, как пока­

рых граница пересекает прямые PQ и PS соответственно. Исполь­ зуя формулу Тейлора, можно записать

с погрешностью О(Аде), т. е. точность аппроксимации второй про­

изводной в окрестности границы хуже, чем во внутренних узлах

сетки. Аналогичным образом можно получить аппроксимации для

д(р/ду\Р и д\/ду2\р. Таким образом, если мы пытаемся решить

уравнение теплопроводности

в области с криволинейной границей, вдоль которой заданы зна­ чения функции ср (де, у), то аппроксимацию (1.63) можно приме­

нить в точках, не соседствующих с границей, тогда как в точках

типа точки Р на рис. 1.9 соответствующей конечно-разностной аппроксимацией будет уравнение

где значения сру и qv заданы краевыми условиями.

Ситуация становится более трудной, если краевые условия

задачи дают информацию о производной функции вдоль криво­ линейной границы, например если при решении уравнения тепло­ проводности (1.73) на некоторой части Г? криволинейной грани­

в этой книге, и интересующемуся им читателю следует обратиться

кдругим работам [6]1).

1.8.Нелинейные задачи в Многомерном случае

Водномерном случае уже было показано, что метод конечных разностей с одинаковым успехом может быть применен и к ли­

дачу стационарной теплопроводности в поперечном сечении прямо­

угольного блока, теплопроводность которого зависит от темпера­

туры, то необходимо решить нелинейное уравнение

Применение метода конечных разностей с использованием аппро­

Учитывая соответствующие краевые условия, эту систему можно

решить подходящим итерационным методом, однако ясно, что вы­

числительные затраты будут на этот раз значительно больше.

1.9. Аппроксимация и сходимость

Мы надеемся, что одно- и двумерные решения обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производ­ ными, полученные в этой главе процедурами конечно-разностной аппроксимации, продемонстрировали возможности дискретизации. Представляющаяся затруднительной (или по крайней мере мате­

матически сложной) задача решения дифференциального уравне­

ния сводится к чисто алгебраической задаче решения системы алгебраических уравнений. Если число уравнений велико, то это решение нелегко найти вычислениями вручную, но его всегда

можно получить на ЭВМ при определенных затратах времени и средств. Очевидно, что эти затраты можно уменьшить с помощью

оптимизации алгоритмов, нахождения численного решения, и в

этом направлении уже предприняты существенные усилия [7]2).

Здесь важен тот факт, что возможность решения существует, хотя для этого и приходится прибегнуть к аппроксимации. Ранее

*) См. также Самарский А. А., Андреев В. Б. Разностные методы для эллиптических уравнений.— М.: Наука, 1 9 7 6 .— Прим. ред.

2) См;- также книгу А. А. Самарского и Е. С. Николаева, цитированную на с. 30.— Прим ред.

1.10. Заключительные замечания

Материал этой главы ограничен рассмотрением решения крае­

вых задач методом конечных разностей. Мы сосредоточили наше

внимание на задачах, включающих производные первого и вто­

рого порядков, хотя читатель уже должен заметить возможность

распространения методики на общие дифференциальные уравнения,

включающие производные более высоких порядков. Например, обыкновенное дифференциальное уравнение четвертого порядка

можно аппроксимировать путем двукратного использования выра­

жений вида (1.29). Для произвольной конечно-разностной сетки

(см. рис. 1.2) можно записать

Подставляя сюда

и другие разностные выражения, получаем пятиточечную аппрокси­

мацию

d*<p/dx*|( » (Фл-а— 4фг+1 + 6ф,— 4ф,_х + Ф,_*)/Ддс*. (1.81)

Такого рода аппроксимации, как и многие другие, позволяют

весьма расширить область применимости метода конечных разнос­ тей, и известно немало примеров его успешного использования для самых различных задач. Однако трудности аппроксимации

криволинейных границ, а также заданного на границе градиента остаются. В последующих разделах этой книги будут даны рецеп­ ты их преодоления путем использования отображения или нере­

гулярных сеток. С другой стороны, иные более общие процедуры,

которые будут обсуждаться ниже, позволят, как мы увидим, легко исключать такие трудности.

Упражнения

балка имеет единичную длину и защемлена в обоих концах так, что y=dq>/dx=

ления при Аде = 1/6 и затем использовать экстраполяцию Ричардсона. Сравнить

единичной равномерной поперечной нагрузки на единицу площади. Малое

1 .22. На конечно-разностной сетке с шагом А* четвертая производная

разностную сетку и значения температуры в точках границы. Рассмотреть трудности, которые возникли бы при конечно-разностном подходе, если крае­ вое условие вдоль криволинейной границы заменить условием дф/дл = 0.

Литература

[4]См., например, [2].

[5]Детальный анализ этой задачи содержится в работе Sokolnikoff I. S.

Mathematical theory of elasticity.— New York: McGraw-Hill, 1956.

[6] Этот метод подробно описан в книге Crandall S. Н. Engineering ana­

lysis.— New York: McGraw-Hill, 1956.

[7] Относительно дальнейших сведений см. Wait R. The numerical solution of algebraic equations.— New York: Wiley-Interscience, 1979.

Рекомендуемая литература

Fried I. Numerical solution of differential equations.— New York: Academic

МЕТОДЫ ВЗВЕШЕННЫХ НЕВЯЗОК.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ БАЗИСНЫХ ФУНКЦИЙ

2.1. Введение. Аппроксимация базисными функциями

Как будет показано в этой главе, ключ к проблеме числен-

ного решения дифференциальных уравнений лежит в возможности получения методов аппроксимации функций. В методе конечных

разностей основное внимание уделялось определению значений

неизвестной функции ср(х) в конечном числе точек х. Проводя

процесс аппроксимации функций более систематически и общо, можно развить и другие методы численного решения дифферен­ циальных уравнений.

Предположим, что требуется аппроксимировать заданную функ­ цию ср в некоторой области Q, ограниченной замкнутой кривой Г.

В задачах, описываемых дифференциальными уравнениями, необ­

ходимо найти решение, удовлетворяющее определенным краевым

условиям. Поэтому попытаемся сначала построить аппроксимации,

таким образом, чтобы получить хорошее приближение. Базисные функции этого типа иногда называют функциями формы или проб­ ными функциями.

Способ определения ф и системы базисных функций автома­

тически обеспечивает тот факт, что аппроксимация обладает свой­

ством ф|г = Ф |г для любых значений параметров ат. Ясно, что

система базисных функций должна быть выбрана таким образом,

чтобы гарантировать улучшение аппроксимации при возрастании

числа М используемых базисных функций. Очевидное условие подобной сходимости аппроксимации таково: система базисных функций должна обладать тем свойством, что комбинация ф +