1252

я=о x=Lx

6

Рис. 1.1. Примеры непрерывных задач, а — двумерная задача теплопроводности; б — одномерная задача теплопроводности.

уравнения нужно решить относительно трех зависимых перемен­

правило, могут быть использованы два различных типа краевых

условий.

Краевое условие этого вида часто называют краевым условием

Дирихле.

В случае второго условия, применяемого на остальной части границы Г^, задаются значения потока тепла q (л:, у, t) в направ-

лении нормали к границе п. Тогда можно записать

Теперь задача полностью определена уравнениями (1.2), (1.4), (1.5) и (1.6), и решением этой системы уравнений в принципе

( | ' 7 )

для которого опять требуется задать начальные и краевые условия.

из уравнения (1.8) получаем обыкновенное дифференциальное уравнение

шить аналитически, однако мы широко используем его (и ана­

логичные уравнения) для иллюстрации применения процедур дискретизации. Это позволит продемонстрировать точность приб­

Только что описанная задача теплопроводности является типич­

ным примером многих физических ситуаций, и действительно,

описывающему распределение потенциала в безвихревом течении

идеальной жидкости.

2.Течение жидкости через пористую среду. Здесь полагается

Q = 0 и k отождествляется с проницаемостью среды. Тогда гидро­

динамический напор ф удовлетворяет уравнению (1.8).

3.Малые деформации мембраны под действием поперечной нагрузки. При k = l и величине Q, определенной как отношение интенсивности поперечной нагрузки к натяжению мембраны, урав­

нение (1.8) служит для описания поперечного отклонения мем­

браны ф.

Читателю, знакомому с различными физическими и инженерными задачами, встречаются и другие приложения, и время от времени в этой книге будут рассматриваться различные приложения при­ веденного выше дифференциального уравнения, а также другие системы дифференциальных уравнений.

Хотя в таких случаях полное исследование происхождения и вывода таких уравнений может не всегда быть очевидным всем читателям, можно надеяться, что процедуры математической

задача, т. е. требуется определить функцию ф (х ), удовлетворяю­

такого рода задачи является задача вычисления распределения температуры ф (х) в плите толщиной Lx из материала с коэффи­

циентом теплопроводности k\ на плоскостях х = 0 и x = Lx, огра­

ничивающих плиту, сохраняются заданные значения темпера-

Типичные почни сетки

Рис. 1.2. Построение конечно-разностной сетки на отрезке 0<.x<.Lx.

туры ф0 и q>Lx соответственно, и в плите генерируется тепло со

скоростью Q(x) на единицу толщины. Дифференциальное урав­ нение для этой задачи задается уравнением (1.9), которое при

предположении, что теплопроводность материала постоянна, сво­

дится к уравнению

всего производится дискретизация независимой переменной х, т. е.

строится множество (или сетка) L + 1 дискретных равноотстоящих

нении членов, содержащих дифференцирование, членами, в кото­ рых используются только алгебраические операции. Этот про­ цесс по необходимости включает аппроксимацию и может быть выполнен путем использования конечно-разностных аппроксима­

ций для производных функции. Обсудим теперь способ, которым

могут быть осуществлены такие аппроксимации.

Нетрудно видеть, что погрешность Е такой аппроксимации зада­

ется выражением

и так как Е пропорциональна Алг, то говорят, что эта погреш­

ность равна О (Ал:). Так указывается порядок погрешности. Из этого выражения нельзя получить точную величину погреш­

ности, так как фактическое значение 0, неизвестно, однако

Рис. 1.3 дает графическую интерпретацию полученной аппрокси­ мации. Первая производная от <р(лг) в x = xt равна наклону каса­

тельной к кривой у —ф(х) в этой точке, т. е. наклону пря­ мой АВ. Аппроксимация разностью вперед равна наклону пря­

мой АС, и нетрудно видеть, что с уменьшением шага сетки Ах

наклон этой прямой аппроксимирует наклон прямой АВ. Аналогичным образом, пользуясь разложением по формуле

Тейлора, получим

Графическое представление аппроксимации разностью назад можно

видеть на рис. 1.3; теперь наклон прямой АВ аппроксимируется

наклоном прямой AD.

Для обеих аппроксимаций разностями (вперед и назад) по­

то более точное представление для первой производной можно

получить вычитанием равенства (1.236) из равенства (1.23а).

Результирующее уравнение

может быть использовано для получения аппроксимации цент­ ральной разностью

ление должно быть лучше, чем аппроксимации разностями вперед и назад. Это тоже видно на рис. 1.3, где графическая интерпре­

тация состоит в том, что наклон прямой АВ аппроксимируется

наклоном прямой DC. Складывая разложения в ряд Тейлора

и, таким образом, вторую производную можно аппроксимировать выражением

Погрешность Е этой аппроксимации имеет порядок О (Ал:2), причем

Эти аппроксимации первой и второй производных достаточны

для наших последующих целей. Аппроксимации (возрастающей

сложности) производных более высоких порядков, если они потре­ буются, можно получить аналогичным образом. Вкратце это будет рассмотрено далее; см. § 1.10.

1.3.2. Решение дифференциального уравнения методом конечных разностей

Записывая уравнение (1.11) в типичной точке сетки хь имеем точное равенство

и, используя аппроксимацию (1.29) для второй производной, при­

ходим к уравнению

Уравнение такого типа получается в любой внутренней точке xt (1= 1, 2, ., L— 1) конечно-разностной сетки. Выписав все эти уравнения (с изменением знака и с учетом краевых условий (1.12)),

лолучим

Если ф— вектор-столбец, представляющий собой транспонирован­

ную вектор-строку (ф1( ф2, ф£_х), то эту систему уравнений как одно векторное

Таким образом, исходная задача определения неизвестной непрерывной функции ф(х) заменяется задачей решения вектор­ ного уравнения относительно дискретного множества значений

Конечно-разностный метод, следовательно, дает информацию

о значениях функции в узлах сетки, но не дает никакой инфор­ мации о значениях функции между этими точками. В действитель­ ности дифференциальное уравнение аппроксимируется только в дискретном числе точек, а не на всем интервале.

специально разработанный для таких систем уравнений [ 2 ] 1). Необ­

ходимо заметить, что полученное решение <р только аппроксими­

рует точное решение исходной задачи, так как аппроксимация

состоит в замене уравнения (1.31) уравнениями (1.32). Однако тот факт, что погрешность аппроксимации имеет порядок 0(Дх2),

указывает на уменьшение погрешности при уменьшении шага сетки и получение все более точного решения 2).

Практическое использование конечно-разностного метода теперь

будет продемонстрировано путем применения намеченной выше

d2y/dx2\l— ф£= О

и, согласно аппроксимации (1.29), может быть выражено в конеч­

но-разностной форме так:

— фа + 2-д- Ф, — О,

2^-фа— Ф1 = I

с решением q>, = 0.2893, <ра = 0.6107.

*) Этот метод называется методом прогонки (см. Бахвалов Н. С. Числен­ ные методы: Анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения. 2-е и зд .-М .: Наука, 1975, а также Самарский А. А. Введение в численные

И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. Том 2 . - 2-е и зд .-М . Физматгиз, 1962).— Прим. ред»