1252

на Гф. Определяя весовые функции по правилу

согласно методу взвешенных невязок для уравнения равновесий

внапряжениях имеем

-$ (дах/дх+ доХу/ду + Х) W[>idQ+

где a — DJ?q>. Используя формулу Грина (равенство (2.50)), эти

соотношения можно преобразовать к виду

Если теперь ограничить выбор весовых функций требованием

то приведенные выше уравнения можно записать в компактной форме

т. e. получаем уравнения метода взвешенных невязок для (2.82).

Таким образом, условие задания граничной нагрузки, получаю­

Последние соотношения эквивалентны векторному уравнению

Использование в данном случае аппроксимации по Галеркину приводит к симметричной матрице К, для которой подматрица Kte задается выражением

быть использован для решения многих плоских задач теории

упругости. В самом деле, при соответствующем определении пе­ ремещений, напряжений и деформаций такой подход может быть распространен на любые ситуации в линейной теории упругости.

В следующем примере будет рассмотрено применение этого

метода к одной типичной задаче. Однако, прежде чем переходить к этому иллюстративному примеру, целесообразно сделать еще одно замечание, относящееся к уравнению (2.91). Это уравнение может быть получено, исходя из принципа виртуальной работы [7], согласно которому все точки тела находятся в состоянии

— соответствующие деформации, то из принципа виртуальной работы следует, что

Применяя это соотношение к рассматриваемой задаче, где исполь­

и т. д. для представления перемещения и в направлении х и ба­ зисные функции

можно видеть, что краевое условие нулевого перемещения на сторонах у = dh 1 автоматически выполняется. Тогда уравнения метода взвешенных невязок имеют вид (2.91), а именно (в пред­ положении равенства нулю внешних сил)

Рис. 2.12. Сравнение точного и приближенного решений из примера 2.10. На ПРЯ“ мых х = ± \ показано нормальное напряжение (а) и касательное напряжение (б).

Упражнения

2.19. Уравнение из упражнения 1.20, описывающее отклонение балки, находящейся под действием нагрузки и покоящейся на упругом основании,

может быть разбито на два уравнения второго порядка

компоненты скорости и, v в направлениях х, у и потенциал скорости <р удов­

и=х

У

К упражнению 2.21.

2.8. Нелинейные задачи

Как было отмечено в § 1.5, при моделировании физических

задач описывающие физический процесс дифференциальные урав­

нения и/или краевые условия по своей природе часто оказы­ ваются нелинейными. До сих пор в этой главе обсуждалось при­

менение метода взвешенных невязок к линейным задачам. Однако

с равным успехом этот метод может быть использован и для ре­

шения нелинейных задач. В последнем случае применение обычной процедуры метода взвешенных невязок приводит не к стандарт­ ной системе уравнений (2.94), а к системе нелинейных уравнений, которую можно записать в виде

Как было отмечено в гл. 1, уравнения этого типа могут быть решены с помощью подходящего итерационного метода.

Вывод векторного уравнения (2.101) можно продемонстриро­

вать опять на примере задачи двумерного стационарного распро­ странения тепла в материале, теплопроводность которого зависит

от температуры. Описывающее этот процесс дифференциальное

уравнение имеет вид

где /е (ф)— заданная функция. Общеупотребительными краевыми условиями здесь являются условие Дирихле

и условие Неймана

Отыскивая приближенное решение в виде

м

где \|з и Nт, как обычно, выбраны таким образом, чтобы автома­ тически обеспечить выполнение краевого условия на Гф , и исполь­

зуя соотношения (2.49) — (2.54), приходим к системе уравнений

метода взвешенных невязок

dWf/dx) k (ф) д(р/дх+ (dWс/ду) k (ф) дц>/ду dxdy—

Эта система нелинейных уравнений требует итерационного реше­

ния, для чего могут быть использованы многие стандартные ме­

тоды. Следуя рассмотренному в § 1.5 методу простой итерации,

можно исходить из некоторого начального приближения

и отвечающего ему приближенного решения ф°, а затем получить

улучшенное решение а1 из линейного уравнения

где

Кш (а°) = \ { 4r k<Ф°>d~W + ^ W k 6°) - ^ r ) dxdy, (2Л08)

Q

f4 = \W tQ d xd y-\ W~qdY-

- 5 № * < ? • > § + ^ * ( ^ ^ ‘“ ■4'- <2IW>

Далее общая итерационная схема

применяется до тех пор, пока процесс не сойдется в пределах

заданной точности приближения.

Пример 2.11. Рассмотрим одномерную задЯНу теплопроводно­ сти с генерированием тепла в области, где теплопроводность зави­

сит от температуры. Такая задача, описываемая уравнением

ного выполнения описанных выше шагов. Например, для системы базисных функций

Nт — хт (1 —х), пг= 1, 2,

разложение

м

ф = 2 атХт(1—*)

т=1

автоматически удовлетворяет краевым условиям при * = 0 и * = 1 .

Применяя метод взвешенных невязок, получаем систему уравнений

1

J \d(kdy/dx)/dx+ 10*} Wldx = 01 / = 1, 2,

о

которая при использовании 2-элементной аппроксимации и метода поточечной коллокации сводится к уравнению вида (2.101), где

К (а0) =

и решением является

1.666671

а1

1.66667J*

Эти значения используются для построения матрицы

"2.06061 — 0.037037"

и решением тогда будет

"1.644771

а2

1.5091l j

Рис. 2.13. Сравнение точного решения и решения, полученного 2-элементной по* точечной коллокацией, задачи из примера 2.11.

На рис. 2.13 поведение полученной таким образом 2-элементной аппроксимации сравнивается с точным решением задачи.

Упражнения

2.22. Используя метод Галеркина, повторить вычисления примера 2.11 и сравнить достигнутую точность с точностью метода поточечной коллокации и метода конечных разностей из примера 1.4.

2.23. В упражнении 1.11 найти решение методами поточечной коллокации

иГалеркина.

2.24.Используя метод Галеркина, найти решение упражнения 1.12.

2.25.Повторить упражнение 1.13, используя методы поточечной коллока­ ции и Галеркина.

2.9.Заключительные замечания

Вэтой главе для решения обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными был предложен процесс аппроксимации базисными функциями, который является