1252

ных функций элемента. В общем случае при отображении квад­ ратного элемента достаточно использовать только четыре или

самое большее восемь узлов для получения отображенного эле­ мента разумно общей формы. В первом случае получается эле­ мент с прямолинейными сторонами, а во втором — элемент со

сторонами в виде произвольных парабол.

Следует позаботиться о том, чтобы используемое параметри­

ческое отображение не вырождалось. Это происходит в том слу­ чае, если в преобразуемой области якобиан (определитель мат­

рицы Якоби) меняет знак. Известно, что при использовании че­

тырехугольных элементов такое вырожденное отображение полу­

чается в том случае, когда внутренний угол элемента превосхо­

дит 180° или когда при использовании квадратичного отображе­

ния расстояние между центральным и угловым узлами меньше

трети длины стороны четырехугольника.

Полученные ранее соотношения (5.4) и (5.6) могут быть ис­ пользованы и при параметрическом отображении, хотя теперь

техника вычислений такова, что обращение матрицы Якоби, на­ хождение ее определителя, а также интегрирование, необходимое

для вычисления компонент матриц элементов, должны выполняться

численно. Возможные процедуры численного интегрирования об­

суждаются в следующем параграфе.

В практических приложениях весьма популярны элементы изопараметрического типа. Область решения задачи можно раз­ бить на элементы соответствующего размера и формы с опреде­

лением необходимых узловых координат. Выполнение требования

ки, то криволинейные границы достаточно точно аппроксими­ руются с помощью изопараметрических элементов. Как правило, внутри области нет необходимости использовать элементы с кри­

волинейными границами, и стороны элементов обычно составляются

из отрезков прямых. В этом случае требуется задавать только координаты угловых узлов, а координаты промежуточных узлов можно автоматически вычислить с помощью интерполяции.

Параметрическое отображение можно использовать и для тре­

угольных элементов (см. упражнения 5.8—5.11), а также для

всех видов обсуждавшихся в предыдущей главе трехмерных эле­ ментов. В действительности наиболее широко оно используется именно в трехмерных задачах. На рис. 5.5 показано использова­

ние криволинейных шестигранных элементов для представления рассматриваемой области в некоторых трехмерных задачах.

Необходимо отметить, что параметрическое отображение об-

Рис. 5.5. Использование криво­

61линейных шестигранных элемен­ тов в некоторых трехмерных за­ дачах. а — представление части сферы с использованием семи квадратичных элементов; б — различные представления ароч­

точек от прямой линии и т. д. Такой подход, однако, чрезмерно

сложен для практического использования.

и проверить результат с помощью точного вычисления интегралов.

5.6. Показать, что матрица, обратная матрице Якоби J в (5.4), имеет вид

а также доказать соотношения

5.7. Для представления показанной на рисунке области Qe используется один элемент с четырьмя узлами. Построить изопараметрическое отображение Qe на квадратный билинейный элемент — 1^ g,r] ^ 1. Найти стационарное распределение температуры (р на Q* при указанных на рисунке краевых условиях.

Построить отображение произвольного треугольного элемента с тремя узлами на этот элемент.

5.9.Возвращаясь к разд. 3.8.1, найти интегральные выражения для ма­

трицы элемента ке и правой части fe с помощью отображения произвольного треугольного элемента с тремя узлами на описанный в упражнении 5.8 равно­ бедренный прямоугольный треугольник.

5.10. На рисунке изображен квадратичный треугольный элемент с шестью узлами. Показать, что базисные функции этого элемента можно записать так:

5.2. Численное интегрирование

5.2.1. Общие замечания

При получении матриц элементов для элементов высших сте­ пеней возрастает сложность подынтегральных выражений, что делает алгебраические выкладки весьма громоздкими. Если, кроме

того, используется отображение области, изменяющее ее форму,

то для вычисления производных, входящих в эти выражения,

требуется обращение матриц Якоби (см. (5.4)) и интегралы ста­

новятся столь сложными, что точно вычислить их почти невоз­ можно. В таких случаях приходится прибегать к численному

интегрированию, при котором стандартный интеграл типа (5.8) заменяется квадратурной суммой.

При построении таких квадратурных сумм на одно-, дву- и

трехмерных областях используется простое суммирование значе-

ний подынтегрального выражения, вычисленных в специальных

точках области (в узлах) и умноженных на соответствующие веса, а именно

1

можно аппроксимировать значение подлежащего вычислению ин­

теграла, и если подставить в это выражение значения коэффициен­ тов, полученные решением системы (5.12), то в итоге получится

приближенное равенство вида (5.10а). Этот результат иллюстри­

руется рис. 5.6, где показано использование известной аппрокси­ мации по правилу трапеций. Здесь берете^ £„ = — 1, £* = 1, и

обсуждавшихся в предыдущем параграфе формул Ньютона — Котеса в случае трех узлов можно точно проинтегрировать только

многочлен степени 3. Такой метод вычисления интеграла обычно

называется квадратурой Гаусса— Лежандра.

б — два узла, точность при р = 3; в обоих случаях заштрихована аппроксимация площади под кривой.

Для конкретных значений п можно вычислить координаты

узлов и веса. Так, для п = 0 уравнения (5.19) записываются как

нии в центре области. Этот метод точен для многочленов первой

Эту нелинейную систему уравнений решить труднее, однако

Этот метод можно использовать для точного интегрирования

многочлена степени 3.

Полученное таким же образом решение шести уравнений, от­

^ 0= ^ а = 5 /9 « 0.5555555556, Г ^ в/Э ^ О .вввЗ З ввЗ вв .

Значения координат узлов (точек интегрирования) и соответ-

ствующих весов в формулах Гаусса—Лежандра для достаточно