1252

значений в каждом из углов гарантирует однозначное линейное изменение вдоль любой стороны элемента.

Найти базисные функции высших степеней не составит ника­

кого труда, если узлы элемента находятся в вершинах прямо­ угольной сетки. Например, для квадратичного элемента можно

получить базисную функцию, соответствующую произвольному

узлу сетки на рис. 4.5, б, перемножив отвечающие этому узлу

стандартные одномерные базисные функции-от х и у.

Действительно, если каждой точке сопоставить двойной индекс

(г, s) (для квадратичного элемента r = 0, 1, 2; s = 0, 1, 2), то

соответствующую узлу (г, s) базисную функцию элемента можно

записать как

Приведенное выше соотношение является весьма общим: таким образом могут быть получены базисные функции элемента произ­

вольной степени. На рис. 4.5, в показано соответствующее обоб­

щение для кубического элемента. Отметим, что Ners будет равно

единице только в узле (г, s) и тождественно равно нулю во всех

других узлах элемента.

Само собой разумеется, что для многочленных базисных функ­

ций элемента этого типа и произвольной степени обеспечена неп­

рерывность глобальных базисных функций при переходе между

соседними элементами, поскольку здесь ассоциируемого с каждой

элементами связаны только узлы вдоль сторон каждого элемента.

-------------- Степень 1

2

/

3

к

Рис. 4.6. а — треугольник Паскаля, где заштрихованные элементы образуют пол­ ный кубический многочлен; б — члены, образующие кубический лагранжев эле­ мент; в — члены, образующие кубический серендипов элемент.

серендиповых элементов. Здесь узлы размещаются (по мере воз­

можности) на границах элемента, а базисные функции получа­

ются умножением членов степени р по одной переменной на ли­

нейные члены по другой переменной. Тогда на границах вид

аппроксимации ф совпадает с получаемым для лагранжевых эле­

ментов и, таким образом, сохраняется С°-гладкость аппроксимации. Определим теперь две локальные нормированные координаты

Рис. 4.7. Нормированные координаты (£, ц) для прямоугольника в плоскости

(*. У)-

где точка (хес, уес)— центр элемента в системе координат (х, у). Получение стандартной базисной функции серендипового типа для квадратичного элемента показано на рис. 4.8. Этот процесс

почти не нуждается в пояснениях. Сначала, взяв соответствующий

многочлен Лагранжа второй степени по одному направлению и* умножив его на линейную функцию по другому направлению,

непосредственно найдем базисные функции для узлов в серединах

сторон. Это позволяет получить на сторонах многочлен нужной степени, и автоматически будет выполнено условие, что ассоции­ руемая с конкретным узлом базисная функция должна принимать

значение единица в этом узле и равняться нулю во всех других узлах.

Для углового узла этот простой процесс не дает нужного ре­ зультата, поскольку вдоль одной из сторон базисная функция будет отлична от нуля и поэтому в среднем узле этой стороны будет получаться ненулевое значение. Однако линейная комбина­ ция билинейной базисной функции (3.45) и только что построен­

ных для узлов в серединах сторон квадратичных базисных функ­ ций позволяет легко получить необходимую функцию.

Семейство серендиповых элементов показано на рис. 4.9, и

ниже приведены базисные функции для первых трех его членов.

О1 2

Рис. 4.8. Систематическое генерирование серендиповых базисных функций для прямоугольных элементов.

причем базисные функции, отвечающие оставшимся средним узлам

сторон, получаются из этих выражений простой перестановкой

переменных ^ и г). Члены, входящие тогда в аппроксимацию ф* на

типичном кубическом серендиповом элементе, показаны в треуголь­ нике Паскаля на рис. 4.6, в.

Здесь целесообразно отметить, что число многочленных ком­ понент, которые могут быть получены с помощью использования

свободы типа описываемой в следующем разделе.

4.6.2.Базисные функции иерархического типа

При имеющемся наборе одномерных иерархических базисных функций генерирование иерархических базисных функций для пря­ моугольных элементов почти тривиально, поскольку:

1) функции для угловых узлов совпадают со стандартными

Отождествление (или увязывание) значений иерархических пе­ ременных, ассоциируемых с каждой стороной элемента, с теми же самыми значениями на соседнем элементе убудет автоматически

обеспечивать единственность аппроксимации Ф вдол*> этой стороны и гарантировать С°-гладкость. Приемлемым оказывается любое

произведение одномерной иерархической функции с локальной

переменной вдоль стороны элемента, скажем £, и линейной (или

иерархической) функции от другой локальной переменной элемента, скажем т]; многочленные компоненты (любой Степени) могут быть получены образованием таких простых произведений. Например,

которую можно использовать для добавления члена £2т]2 в выра­

жение для ср.

Следует, между прочим, отметить, что при использовании иерархических элементов добавление многочленных компонент

и, следовательно, аппроксимация может давать наибольшие по­ грешности.

Вопрос о введении таких уточнений на конечно-элементной

сетке затрагивается в последней главе, где обсуждаются так на­

зываемые процессы адаптивного уточнения.

Нумерация узлов и иерархических параметров в некоторой логической последовательности представляет интересную вычисли­ тельную задачу, поскольку обозначение, соответствующее иерар­

хической степени свободы, может быть ассоциировано как со

стороной элемента, так и с самим элементом.

4.7. Двумерные базисные функции для треугольников

4.7.1. Стандартные базисные функции; координаты площади1)

Если рассмотреть семейство треугольников произвольного вида

(рис. 4.11) при условии, что узлы располагаются согласно модели

треугольника Паскаля (рис. 4.6), т. е. в точках пересечения се­

мейства прямых, проведенных параллельно сторонам треугольника, то каждый раз число полученных таким образом узлов оказывается

как раз достаточным, чтобы генерировать семейство полных мно­ гочленов. Это обстоятельство в сочетании с простотой достаточно

хорошей аппроксимации областей произвольной формы набором

треугольников объясняет популярность выбора треугольных эле­ ментов при решении задач с двумя пространственными переменными.

Прежде чем переходить к обсуждению деталей, касающихся

возможных базисных функций, желательно определить для таких элементов «естественную» систему координат. Такая удобная си­

стема координат L0, Lt и L2 может быть определена для элемента

просто записью линейной зависимости между этими координатами и декартовыми координатами в виде

*) В отечественной литературе используются также термины «треугольные координаты» или «барицентрические координаты»,— Прим, перев.