1252

FINITE ELEMENTS

AND APPROXIMATION

O.C. Zienkiewicz

K . Morgan

University of Wales, Swansea, United Kingdom

A Wiley-Interscience Publication

John Wiley & Sons

New York Chichester Brisbane Toronto Singapore

1983

ББК 22.193 356

УДК 519.63+519.65

Зенкевич О., Морган К.

356 Конечные элементы и аппроксимация: Пер. с англ.— М.:

Мир, 1986.—318 с., ил.

Книга одного из крупнейших английских специалистов по методу конечных элементов О. Зенкевича, написанная им совместно с его учеником и коллегой К. Морганом, служит введением в круг основных понятий численной аппроксимации, используемых при практическом решении дифференциальных уравнений.

дифференциальных уравнений. Многочисленные примеры и упражнения способст­ вуют усвоению материала.

Для специалистов по вычислительной и прикладной математике, физиков, инженеров, а также для студентов и аспирантов университетов и втузов.

Редакция литературы по математическим наукам

Copyright © 1983 by John Wiley & Sons, Inc. All Right Reserved. Authorized translation from English language edition published by John Wiley & Sons, Inc.

© перевод на русский язык, «Мир», 1986

ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

Метод конечных элементов в настоящее время является одним

из самых распространенных методов решения прикладных задач, например изучения тепловых процессов, прочностных расчетов, проблем динамики жидкости. Наглядность метода и сравнительная простота его применения в случае областей сложной формы сделали

его весьма популярным среди широкого круга прикладников, в

частности инженеров. На его основе создан и успешно эксплуати­ руется ряд промышленных систем прикладных расчетов.

Первоначально метод конечных элементов был предложен инже­

нерами, нашел широкое применение на практике, но значительное время оставался вне поля зрения математиков. После подробного

математического его исследования оказалось, что при негладких входных данных задачи метод конечных элементов часто сходится быстрее, чем метод конечных разностей, а иногда вообще обладает оптимальной скоростью сходимости.

Один из авторов, Ольгерд Зенкевич, относится к числу осново­

положников метода конечных элементов, описание которого зани­ мает центральное место в книге. Она адресована прежде всего инже­

нерам, и поэтому в ней, как пишут авторы, «сделана попытка дать изложение, которое при разумной строгости было бы доступно тем, кто знаком лишь с основами математического анализа». И хотя понятия «разумной строгости» анализа вычислительных алгоритмов у математиков и у инженеров отнюдь не совпадают (например, в

книге вообще не уделяется внимания устойчивости решения по отношению к вычислительной погрешности), мы редко вмешива­

теля с методом конечных элементов книга содержит материал, инте-

ресный и для специалистов. Здесь следует прежде всего указать установление взаимосвязи между методом конечных элементов, методом конечных разностей и другими приближенными методами

решения дифференциальных уравнений. Однако главная ее цен­ ность — систематическое и подробное описание метода, иллюстри­

рованное многочисленными примерами и позволяющее читателю войти в курс предмета.

Н. С. Бахвалов

Москва март 1985 г.

Посвящается Элен и Элизабет

ПРЕДИСЛОВИЕ

В настоящее время метод конечных элементов является мощным

средством приближенного решения дифференциальных уравнений, описывающих различные физические процессы. Многообразны его применения в технике и научных исследованиях, и можно с полным

основанием сказать, что без него (и его служанки ЭВМ) многие задачи не могли бы быть решены. Однако, несмотря на столь широкое

распространение метода, у пользователей, обучавшихся по стандар­ тным студенческим курсам и даже по спецкурсам, зачастую наблю­ дается непонимание используемых в нем идей. Наша книга адресо­

вана такой аудитории и может быть положена в основу учебных

курсов для студентов и аспирантов: в течение последних лет в Уэльском университете студентам, специализирующимся по граж­ данскому строительству, читался курс, построенный на материале

отдельных разделов этой книги, и, по нашему мнению, такой курс

воспринимался без особого труда. При работе над текстом авторы

учитывали интересы инженеров и физиков, так что содержание книги рассчитано на всех, кто изучает этот предмет.

Прошло около 25 лет с того момента как был введен в обращение термин «метод конечных элементов». В то время его идейным источ­ ником было исследование механических конструкций и аналогии с такого рода дискретными проблемами использовались для реше­ ния непрерывных задач. По мере углубления понимания основного процесса становилась очевидной его связь с другими приближен­ ными методами (такими, как методы Релея, Ритца и Галеркина), и достигнутая общность привлекла к этой области внимание мате­

матиков. К сожалению, многие из их работ написаны на языке, малопонятном для представителей иных специальностей. Поэтому

в нашей книге сделана попытка дать изложение, которое при разум­

ной строгости было бы доступно тем, кто знаком лишь с основами

математического анализа.

НЕПРЕРЫВНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И НЕОБХОДИМОСТЬ ЧИСЛЕННОЙ ДИСКРЕТИЗАЦИИ. КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ

1.1. Введение

При поиске количественного описания физического явления

инженер и физик обычно вводят в рассмотрение некоторую систему обыкновенных дифференциальных уравнений или уравнений с частными производными, справедливую в определенной области, и налагают на эту систему подходящие краевые и начальные условия.

На этой стадии математическая модель замкнута, и для практических

применений требуется только найти решение для конкретного мно­

жества числовых данных. Здесь, однако, возникают основные труд­

ности, так как точному решению существующими математическими методами поддаются лишь уравнения самого простого вида внутри геометрически тривиальных границ. Обыкновенные дифференци­

альные уравнения с постоянными коэффициентами являются одним

из немногих примеров, для которых имеются стандартные процеду­ ры решения, но даже здесь при большом числе зависимых перемен­ ных встречаются значительные трудности.

Чтобы преодолеть эти трудности и иметь возможность восполь­ зоваться наиболее мощным средством вычислений нашего века — цифровой ЭВМ,— необходимо преобразовать задачу к чисто ал­ гебраической форме, включающей только основные арифметические операции. Для достижения этой цели могут быть использованы различные виды дискретизации непрерывной задачи, определенной

дифференциальными уравнениями. При такой дискретизации беско­

нечное множество чисел, представляющих неизвестную функцию или функции, заменяется конечным числом неизвестных парамет­ ров, и для этого процесса, вообще говоря, требуется некоторая форма аппроксимации.

Среди различных возможных видов дискретизации одним из простейших является процесс перехода к конечным разностям. В

этой главе описываются некоторые из основных моментов этого

процесса, что позволит сформулировать суть метода. Остальная

часть книги касается различных аппроксимаций базисными функ­ циями, при общей классификации относящихся к методам конеч­ ных элементов. Читатель увидит впоследствии, что даже конечно­

разностный процесс может быть включен (как подкласс) в эту более общую категорию.

Прежде чем переходить к дальнейшему изложению, сосредото­ чим внимание на некоторых конкретных задачах, которые будут

служить основой для дальнейших примеров. В книге такого объема

очевидным образом невозможно детально оперировать с широким

кругом физических задач, каждая из которых требует своей поста­ новки. Надеемся, однако, что немногочисленные выбранные при­ меры помогут установить общие принципы аппроксимации, которые читатели смогут затем применить к интересующим их конкретным

частным случаям.

1.2. Некоторые примеры непрерывных задач

Рассмотрим представленную на рис. 1.1, а задачу распростра­

нения тепла в двумерной области £2. Если потоки тепла в направ­

лении осей х и у на единицу длины за единицу времени обозна­

чены через qx и qy соответственно, то разность D между выте­

кающим и втекающим потоками для элемента размера dxdy зада­

ется выражением

Для сохранения тепла эта величина должна быть равна сумме

тепла, генерируемого в элементе за единицу времени, скажем

Qdxdy у где Q может изменяться в зависимости от координат и

времени^ и тепла, освобождаемого за единицу времени из-за изме­

нения температуры, а именно — pc(d(p/dt) dxdy, где с— удельная теплоемкость, р— плотность и (р(я, у, I) — распределение темпе­ ратуры. Ясно, что это требование равенства ведет к дифферен­

циальному соотношению

ство среды, известное под названием проводимости. В частности, для изотропного материала по направлениям х и у выполняются равенства

Соотношения (1.2) и (1.4) определяют систему дифференциальных уравнений, описывающих рассматриваемую задачу; теперь эти