1200

Итак, мы нашли, что при определении медленно меняющихся ам­ плитуд аг(т) и а2(т) процесса u(t) случайные функции (173) можно трак­ товать как некоррелирующие белые шумы с интенсивностью (175). По­ этому уравнение Фоккера—Планка—Колмогорова для системы (172) запишется в виде

§ 1.12. Понятие о стохастических краевых задачах. Случайные поля и их описание

Для решения задач статистической динамики механических систем широко используются методы, основанные на сведении этих систем к системам с конечным числом степеней свободы. Функции, описываю­ щие поведение распределенной системы, представляются в виде разло­ жений по некоторому функциональному базису. Затем при помощи одного из вариационных методов составляются обыкновенные диффе­ ренциальные (по времени) или алгебраические уравнения относительно коэффициентов ряда. К полученным уравнениям применяются хорошо разработанные методы статистической динамики дискретных систем.

Вычисления такого рода, особенно если они проводятся с удержа­ нием небольшого числа членов ряда, носят лишь модельный характер и в лучшем случае дают качественное представление о поведении си­ стемы. В действительности анализ распределенных систем сводится к ре­ шению одномерных, двухмерных и трехмерных краевых задач опреде­ ленного типа. Если внешнее воздействие и (или) свойства системы яв­ ляются случайными, то это будут стохастические краевые задачи, т. е. задачи о нахождении вероятностных свойств некоторых стохастичес­ ких дифференциальных уравнений со стохастическими краевыми усло­ виями.

К настоящему времени разработано большое количество методов решения стохастических краевых задач. Многие из них представляют по существу соединение методов математической физики с идеей осред­ нения по множеству реализаций, пространству или времени. Ряд мето­ дов теории одномерных случайных процессов допускает обобщение на задачи теории случайных полей. К этому следует добавить, что слу­ чайные поля являются объектом изучения некоторых других отделов точных наук, например статистической физики, квантовой теории по­ ля и теории турбулентности. Правда, в этих дисциплинах краевых за­ дач почти нет, а те немногие задачи, которые имеются, ставятся для неограниченных областей или для простейших граничных условий. Между тем для краевых задач статистической динамики деформируе­ мого твердого тела типичны.ограниченные области (подчас сложной кон­ фигурации), достаточно сложные граничные условия и повышенный интере£лцюведению решений вблизи границ.

Мы начнемизложение статистической динамики распределенных систем с того, что кратко изложим способы описания случайных полей

Произведение Pj(U}\г, ffduj равно вероятности события, состоящего в том, что в точке г в момент времени t компонент u;(r, t) окажется ле­

Аналогично вводится двухмерная плотность вероятности

Uj<Uj(r,t)<Uj -f duj

Pjk (“;> uh I r >t> r'. О duJ duh= p .uh < u h(r',/')<«„+ duh

и т. д. Здесь для упрощения записи возможные значения, которые при­ нимают компоненты вектора щ(г, t), обозначены теми же буквами.

По ряду причин, о которых будет сказано несколько ниже, в ста­ тистической динамике предпочтителен другой способ описания. Обра­ зуем моментные функции первого, второго, третьего и т. д. порядка:

< U; (Г, 0 ), < Uj (Г, t) Uh(Г', V) >, < Uj (г, t) uk (г', V) щ (г", t")),...

Здесь, как и ранее, угловыми скобками обозначено осреднение по мно­ жеству реализаций. Функции первого порядка представляют собой ма­ тематические ожидания компонентов вектора в произвольной точке поля и в произвольный момент времени. Следующие моментные функции ха­ рактеризуют стохастическую связь между компонентами в двух точках поля з различные моменты времени и т. д. Связь между моментными функциями и совместными плотностями распределения вероятности дается формулами

( Uj (г, /) > = I Uj pj (Uj I г, /) dUj,

Вместо поля uj(г, t) часто целесообразно рассматривать поле центри­ рованной величины

Uj (Г, t) = Uj (Г, t) — (Uj (г, t) >.

называются центральными. Центральные моментные функции второю порядка называются корреляционными функциями. В дальнейшем всюду, если это не оговорено, под моментными функциями будем пони­ мать центральные функции (177).

Нетрудно показать, что моментные функции обладают тензорными свойствами. Например, совокупность корреляционных функций век­ торного поля образует тензор второго ранга (точнее, тензорное поле удвоенного числа переменных г, /, г', /').

Описание случайных полей приобретает большую гибкость, если использовать метод спектральных представлений (ср. § 1.6). Простей­ шим примером спектрального представления является разложение поля перемещений uj(г, i) в ряд по формам собственных колебаний <р/а(г):

оо

Здесь а — номер формы колебаний. Коэффициенты ряда Ua(t) Пред­ ставляют собой случайные функции времени t. Применяя операцию осреднения, получим, что

и т. д. Таким образом, для статистического описания поля Uj(г, t) до­ статочно знать полную систему моментных функций для коэффициентов Ua(t) ряда (178).

Другим примером спектрального представления может служить обобщенное преобразование Фурье по координатам и времени случай­ ного поля Uj(г, /):

Здесь х — вектор параметров пространственного преобразования Фуръе, со — параметр временного преобразования, ф/ (г, /|х,со)-_ производящая вектор-функция (детерминированная функция коор­ динат и времени, зависящая от х и со как от параметров), [/(х, оо)-- некоторое случайное поле в новом пространстве х, со, называемое спект­ ром поля Uj(г, t). Другой формой преобразования Фурье является следующая:

Различие состоит в том, что в формуле (180) спектр является скаляров, а в формуле (181) — вектором.

Интегрирование в этих формулах производится по всей облаС1.и

(181) являются обобщением формулы (81) на пространственно-вреМ^ ные случайные поля.

Важным примером полей, для которых преобразования типа и (181) оказываются весьма удобными, служат стационарные случа^'

ные поля. Поле, заданное при —оо ^ ^ оо, называется стационар, ным, если его вероятностные характеристики не меняются во времен,/

Плотности распределений вероятностей для стационарного поля при произвольных tlt t2, и произвольном т удовлетворяют соотношениям

зависят от разностей t' — /, f —t,... и не зависят от выбора начального момента наблюдения. Обычно гтянионярнпе. глуияйное поле является вместе с тем и эргодическим во времени: его .временные свойства в каж­ дой точке поля могут быть получены обработкой одной достаточно про­ должительной реализации. Если так, то определение моментной функ­ ции может быть сведено к осреднению соответствующих произведений по времени и последующему осреднению полученных пространствен­ ных полей по множеству реализаций.

Стационарные случайные поля uj(г, t) допускают спектральное пред­

Через Sjk(г, г', со) обозначены детерминированные функции. Эти функ­ ции связаны с соответствующими корреляционными функциями зави­ симостью

зуют двухточечный тензор второго ранга; они обладают свойствами корреляционных функций по координатам и свойствами временной спектральной плотности. В статье [17], где эти функции, по-видимому, впервые были введены, они названы спектрами пространственной кор­ реляции.

Другим примером спектрального разложения типа (181) служит разложение однородного поля в интеграл Фурье. Поле, заданное во всем пространстве, называется однородным, если его вероятностные характеристики инвариантны относительно сдвигов системы коорди­ нат. В частности, плотности вероятностей для однородного поля при

и т. д. МоменТные функции однородного поля зависят лишь от разно* стей координат г'—г, г"— г и т. д. Часто однородное поле является вместе с тем и эргодическим, что допускает замену осреднения по мно­ жеству реализаций осреднением по всему пространству.

Ограничимся случаем, когда поле Uj (г, t) является однородным по г и стационарным по t. Тогда его можно представить в виде интегра­ ла Фурье:

Uj(г, /). Таким образом, представление (185) обладает свойствами кано­ нического разложения (§ 1.6). Корреляционные функции Kjk(f, /; г', t') однородного и стационарного случайного поля зависят лишь от р = г' — г и х — t' — t\ они выражаются через спектральные плот­ ности так:

ООоо

т. п., носит формальный характер. Более строгая интерпретация Этих разложений требует рассмотрения предельных переходов или приме­ нения понятия стохастического интеграла Фурье—Стильтьеса. Однако разложения типа (185) открывают наиболее короткий*и прозрачный путь для получения различных соотношений. В качестве примера опре. делим характеристики поля vj(г, t), которое получается дифференциро­ ванием центрированного поля иДг, t):