1200

вектора. Спектральная плотность сечения Т(к) связана с корреляЦион» ной функцией К(р) зависимостью типа (86):

оо

r (K) = i I К ^)е~ыЫ 9.

— оо

Таким образом, спектральная плотность сечения поля, вообще говоря, не равна спектральной плотности поля. Нетрудно получить формулы, связывающие спектральные плотности S(x) и Т(х). Например, при v = 3

5 ( к ) = ----- dTM

2 л х dx

Любая функция, которая является спектральной плотностью одно­ мерного случайного процесса, может служить спектральной плотностью изотропного скалярного поля. Аналогичное утверждение в отношении корреляционных функций, вообще говоря, несправедливо. В самом деле, спектральная плотность S(x) всегда неотрицательная функция: S(x) > > 0. Чтобы функция К(р) могла служить корреляционной функцией изотропного скалярного поля, необходимо, чтобы она была преобразо­ ванием Фурье—Бесселя типа (193) или (196) (в зависимости от числа измерений) от неотрицательной функции. Это утверждение является аналогом теоремы Винера—Хинчина из теории одномерных случайных процессов.

Остановимся теперь на свойствах корреляционных тензоров от изотропных однородных векторных и тензорных полей. Очевидно, что требование изотропии будет выполнено, если корреляционные тензоры выражаются через единичные тензоры соответствующего ранга и через скалярные функции расстояний между точками поля. Примером может служить корреляционный тензор векторного поля и;(г), представлен­ ный в виде

где fi(р) — скалярная функция расстояния между точками р = |р|.

В случае тензорного поля второго ранга s;h(r) с симметричным по ин­ дексам тензором Sjh = shj корреляционный тензор выражается через

две скалярные функции

Kihim (p)=<Sift (г) Slm (г+ p ) ) = /i (р) bjh 8;m + f 2(p) (6Й Shm+6;mбы) (198)

и т. д.

Как нетрудно показать, формулы типа (197) и (198) не определяют корреляционные тензоры изотропных полей в самом общем виде. Рас­ смотрим, например, векторное поле uj(г). Возьмем две точки поля с ра­

диус-векторами гх и г2. Чтобы упростить рассуждения, выберем обе точки на одной из осей координат, например на оси Охг (рис. 12). Ком­

понент корреляционного тензора

K n(r2— Ti) = <Wi(r1)w1(r2)>

Характеризует стохастическую связь между Компонентами вектора

Uj(г), направленными вдоль вектора р. Повернем теперь поле на угол я/2 вокруг оси, проходящей через точку гх параллельно оси 0 х2. Точка гг переместится при этом в положение г3, так что | г3 — П I = I г2 —

— гх |. Для корреляционного тензора, заданного в форме (197), долж­ но выполняться соотношение

<«i (гх) (г2)> = <«! ( г ^ ) ( г 3)>.

Но выражение, стоящее в правой части, описывает стохастическую связь между компонентами вектора Uj(г), направленными ортогонально век­ тору р. Из условия изотропии выпи­

нальных преобразованиях она оставалась инвариантной. Другими словами, после ортогонального преобразования компоненты корреля­ ционного тензора должны зависеть от компонентов преобразованного вектора р так же, как непреобразованные компоненты корреляцион­ ного тензора зависели от первоначальных компонентов р. Общая за­ пись корреляционного тензора для изотропного однородного вектор­ ного поля имеет вид

K ik (?) = h (р) 8Л + U (р) 1} l h.

При этом в случае сильной изотропии f2(р) = 0. Для изотропного Одно, родного тензорного поля второго ранга с симметричным по индексам тензором sjh(г) имеем

Kjhlm (?) —/1 (р) &Jh &1т+ fi (р) (бЛ Sftm + &]т &hl) +

+ /3 (Р) («Л h lm + Sim Ь у + U (Р) (8Л Ik 1т+ + «Л» U %+ h 1т + Ьш h l ) + /5 (Р) Ik h Sra.

Формула (198) вытекает отсюда при / 3(р) = /4(р) = /«,(р) = 0. Однородные, а также однородные и изотропные поля являются спе

циальными случаями, типичными для бесконечных областей. Прц По" мощи таких полей можно описывать, например, распределение уПру

гих свойств в квазиоднородном и квазиизотропном поликристаллццее ком материале, распределение пульсаций скорости в однородном хуг) булентном потоке и т, п. Во многих задачах, однако, представляет^'

возможным использовать конечные реализации однородных или одно­ родных и изотропных полей. Например, турбулентные пульсации давления на пластину конечных размеров можно аппроксимировать в виде реализации однородного поля, заданного на площади срединной поверхности пластины. Поля перемещений и напряжений в пластине не будут однородными; однако для них легко построить спектральное представление, параметрами которого будут служить компоненты вол­ нового вектора х в разложениях типа (185).

Взависимости от выбранного способа описания случайных полей неизвестными функциями в стохастической краевой задаче будут либо функции распределения вероятности для выходных параметров, либо их моментные функции. Первый путь приводит к большим трудностям, ко­ торые до сих пор преодолевались лишь ценой перехода от распреде­ ленной системы к некоторой эквивалентной системе с конечным числом степеней свободы. Краевые же задачи для моментных функций ставятся довольно легко и некоторые из них поддаются разрешению. Особенно просто определяются средние и моментные функции второго порядка, несущие основную часть информации о свойствах случайного поля. Это обстоятельство заставляет отдавать предпочтение аппарату момент­ ных функций (совместно с методом спектральных представлений).

§1.13. Методы решения линейных стохастических краевых задач

Внастоящем параграфе мы дадим обзор постановок линейных сто­ хастических краевых задач и методов их решения, а также проиллюст­ рируем их на некоторых простейших примерах. Изложение будем строить на примере системы уравнений

относительно векторного поля Uj(г, /). Уравнения (199) можно интер­ претировать как уравнения в перемещениях линейной теории упругос­ ти или уравнения в перемещениях линейной теории оболочек. При этом qj(г, /) — векторное поле нагрузок, Uj(г, t) — векторное поле переме­ щений, Ljh — линейные дифференциальные операторы теории упру­ гости или теории оболочек. Общая запись (199) пригодна как для ста­ тических, так и для динамических задач; операторы Ljh могут включать

всебя также силы вязкости. Если не требовать, чтобы числа измерений

увекторов qjt Uj и г были равны, то уравнения (199) можно истолко­ вать как уравнения сопротивления материалов, теории пластин и т. п. Хотя в дальнейшем мы обсуждаем уравнения в перемещениях, однако все методы применимы для решения краевых задач, сформулирован­

ных в напряжениях, а также в смешанной форме.

Для иллюстрации постановок задач и методов их решения исполь­ зуем следующий простой пример. Пусть тонкая круговая цилиндри­ ческая оболочка длиной а нагружена осесимметричной нагрузкой^ ин­ тенсивностью а(х. t). которая является центрированной случайной

функцией координаты х и времени t. При некоторых предположениях осесимметрические колебания оболочки будут описываться уравнением относительно нормального перемещения

Здесь D — цилиндрическая жесткость; Е — модуль упругости; р _ плотность материала оболочки; Л — еетолщина; R — радиус кривизны срединной поверхности. Принято, что имеются диссипативные силы,

ные условия возьмем в двух вариантах. В первом из них при / = 0 на­ грузка прикладывается к покоящейся оболочке. Во втором варианте рассматриваются установившиеся случайные колебания, вызываемые стационарной случайной нагрузкой. Граничные и начальные условия в этих двух случаях имеют вид

Относительно интенсивности внешней нагрузки q(x, t) будем Пред­ полагать, что она представляет собой пространственно-временно^ бе­ лый шум:

(s— некоторая постоянная). В дальнейшем корреляционные фун^ади полей q(x, /) и ф , t) обозначаем через Kq{x, t\ х \ t') и K w(x, t\ x 't соответственно.

Методы решения линейных стохастических краевых задач ацаЛ(ь гичны методам статистической динамики линейных дискретных си^те^ описанным в § 1 .5 — 1.8. Начнем с аналога метода функций

из § 1.Й. Тензор Грина Hjk(г, t\ р, т) для системы (199) с соответствуй щими граничными условиями определяется как решение систему

удовлетворяющее граничным условиям для и}(г, t) и нулевым на^адь_ ным условиям при t = т. Индексы под знаками операторов указыВа1о^ функциональные аргументы, в пространстве которых оператор Дейст­ вует. При помощи тензора Грина решение системы (199) записывае1-Ся в виде

где интеграл берется по всей области изменения переменных г и /. Используя эту формулу, получим следующее выражение для корре­ ляционного тензора поля uj(г, /):

Формула (204) является обобщением формулы (41) на случай стохасти­

coa — частоты собственных колебаний идеально упругой оболочки:

Подставляя выражение для функции Грина в формулу типа (204)

после интегрирования получаем следующее стационарное решение:

Kw(x, l\ х', 14 т) —

Рассмотрим теперь аналог метода стохастических дифференциаль­ ных уравнений, изложенного в § 1.6. Уравнения, связывающие моментные функции входных и выходных полей, получаются из уравнения (199) умножением их на U j(г, /), qj(г, t) или на их произведения и по­

и т. п. Граничные и начальные условия для моментных функций по­ лучаются из соответствующих условий для перемещений путем осред­ нения. Можно показать, что краевые задачи для моментных функций принадлежат к тому же типу, что и соответствующие детерминистиче­ ские задачи.

Составим уравнение для корреляционной функции второго поряд­

Условиям (201) для функции w(x, t) соответствуют следующие условия для корреляционной функции K w(x, t\ х', t'):

Заметим, что выписанные граничные условия могут быть заменены эквивалентными им условиями, обладающими симметрией по отноше­ нию к перестановке штрихованных и нештрихованных переменных.

В случае (202) временные граничные условия для Kw(x, t\ х \ f) сводятся к требованию ограниченности при ^ - ^ ± о о и ^ ' - ^ ± о о >а также к условиям сопряжения при t — t' Если процесс w(x9 t) , стационарный во времени, то, вводя новую переменную т = /' __ ^ сократим число аргументов в уравнении (206) до трех. Тогда достаточно поставить начальные условия при т = 0, вытекающие из условий со.

(Р?а- ЧРа)

гдер(г) — некоторая массовая плотность; (u, v)— скалярное произведе­

в результате того, что в качестве базисных функций cp,a(r) используют­

Стоящие в ее правой части моментные функции обобщенных коорди­ нат Ua(t) находятся из уравнений (209) с применением известных ме­ тодов статистической динамики дискретных систем. Эти функции вы­ ражаются через моментные функции обобщенных сил Qa(t), которые, в свою очередь, выражаются через характеристики поля ^(r, t). На­ пример, если v — 1 , то формула (210) принимает вид

Перемножая функции Qa(t) при разных значениях индексов и аргумен­ тов и осредняя, находим

Таким образом, чтобы вычислить моментные функции обобщенных сил, необходимо знать пространственно-временною корреляционную функ­ цию нагрузки q(x, t) и формы собственных колебаний сра(х).

Возвращаемся к иллюстративному примеру. Решение уравнения (200) ищем в виде ряда

Если внешние силы образуют однородное случайное поле, то может оказаться эффективным метод пространственных преобразований Фурье. Покажем, как применяется этот метод в форме метода канони­ ческих разложений. Пусть нагрузка q(x, t) допускает представление типа (185):