1200

f-де передаточная функция F(k) определяется по первой формуле (11.49). Если случайное поле w0(г) является гауссовским, то в рассматривае­ мом приближении поле u(r) также будет гауссовским. Тогда для опре­ деления математического ожидания числа максимумов vMaKC (о*) на еди­ ницу площади срединной поверхности, превышающих уровень и*, мож­ но применить формулу (217). После этого надежность оценивается по формулам (195) и (196).

Произведем вычисления для пластины, начальные неправильнос­ ти которой образуют узкополосное гауссовское случайное поле. Тогда согласно формуле (11.90) аппроксимируем его спектральную плотность как

Передаточную функцию T^k) найдем по первой формуле (11.49), пола­

Используя формулы (226) и (227), вычислим по формуле (225) спект­ ральную плотность S„(k)

S„(k) = ^ - 6 ( | kx\—А’о)6 (|k2\—kQ),

где o„ — дисперсия полного отклонения v, т. е.

2а„

п = —2 соответствует достижению сжимающими усилиями N крити­ ческого значения М.,.(&„, k0), которое вычисляется по линейной теории при kx = k 2 = k0.

Математическое ожидание числа максимумов поля и(г) на единицу площади, превышающих достаточно высокий уровень v*, находится

Функция надежности P(G) оценивается далее при помощи формул (195) или (196). Первая формула дает для надежности оценки снизу*

k02 G

P (G )^ 1

V2n3/2

Согласно второй формуле получаем

В этих формулах G — площадь, занимаемая срединной поверхностью пластины. Напоминаем, что выбросы на границе области, а также крае­ вые эффекты в этом расчете не учитываются.

Оценка надежности из условий прочности встречает большие труд­ ности. Пусть, например, поставлено требование, которое базируется на условии пластичности типа Мизеса:

Ш 1 1 -f-т \2— Ш ц Ш%2-f-Зш12^ ^ 2

Здесь Шц и т22 — изгибающие моменты в пластине; т12 — крутящий момент; т* — предельное значение момента. Для определения функ­ ции надежности

надо уметь оценивать вероятность выбросов тензорного поля nijh(г). Если ввести скалярное поле приведенного момента

mr==Vт\\ + m l2— гпцГПю+ Змм •

то вместо (231) получаем более простое выражение

Однако приведенный момент тг(т) связан с компонентами mjk (г) и, следовательно, с полем до0(г) нелинейными соотношениями. Поэтому при гауссовском поле w0(r) поле mr(г) гауссовским не будет, и формулы (217) и (223) для оценки надежности (232) непригодны. Еще одна труд­

ность связана с тем, что при расчете на пр°чность>во°бще говоря, не­ обходимо учитывать краевые эффекты. Как было показано в §11.4,

ha защемленном контуре пластины коэффициент концентрации по дис­ персии изгибающего момента может существенно превышать единицу. Отсюда следует ожидать, что основной вклад в снижение надежности будет внесен краевыми эффектами.

Пренебрегая вероятностью выброса приведенного момента шг(г) во внутренней области, возьмем условие прочности в виде

mr(r)<m * (г 6 у)>

где у — контур пластины. Если контур у защемлен, то приведенный момент на контуре равен взятому по модулю изгибающему моменту т(г). Последний пропорционален второй производной от доа(г) по нор­ мали к контуру и представляет собой сечение гауссовского поля. Для вычисления среднего числа положительных пересечений моментом m(r) уровня т.л. на единицу длины контура применим формулу (58):

Здесь От — дисперсия изгибающего момента на контуре, ke — эффек­ тивное волновое число. Для границы, совпадающей с линией х1 = = const, имеем

где Tm(k2) — спектральная плотность, определяемая по формуле (11.89), а ке определяется по формуле (11.71).

Пусть спектральная плотность начальных неправильностей имеет вид (226). Тогда ke = k0l а от определяется по формуле (11.91):

Здесь по-прежнему п—параметр нагрузки (229). По формуле типа (100) определим функцию надежности. Пусть контур пластины образован линиями хх = const, х г = const. Среднее число выбросов на единицу длины этих линий вычисляется по формуле (233). Обозначая длину защемленного контура через Л, получим

Р (Л )^ 1 — ^ е х р

л

Здесь просуммированы средние числа выбросов за уровни v и —и. Заметим в заключение, что ввиду узкополосности поля полученные оценки надежности могут оказаться сильно заниженными. Чтобы

получить лучшее приближение, необходимо использовать понятие о выбросах огибающей поля (см. также § III.7).*

* Некоторые другие примеры можно найти в статьях: Болотин В. В. Тео­ рия надежности распределенных механических систем. «Механика твердого тела», 1969, № 6; Беляев Ю. К., Распределение максимума случайного поля и его применение к задачам надежности, «Техническая кибернетика», 1970, N° 2

1. А н д р е е в Г. А., Г и ц И. Д. Усталостная деформация при случайных нагрузках с различным спектром. Известия высш. учебн. заведений. «Машино­ строение», 1968, № 3.

2.А н д р о н о в А . А., П о н т р я г и н Л . С., В и т т А . О статистическом рассмотрении динамических систем. «ЖуРнал экспериментальной и теоретичес­ кой физики», 1933, т. 3, N° 3.

3.А р с о н А. Д., М а л а ш е н к о Л . А. К статистическому анализу несу­

щей способности тонкостенных систем Сб. «Проблемы надежности в строительной

«Проблемы надежности в строительной механике». Изд. РИНТИП, Вильнюс. 1968. 9. Б л а г о н а д е ж и н В. Л., К у д р я в ц е в Е .П . Статистическое иссле­ дование деформаций песчаных оснований и трубопроводов подземных волноводных линий связи. Доклады научно-техн. конф. МЭИ, «Динамика и прочность

машин». Изд. МЭИ, 1965.

тельная механика и расчет сооружений», 1969, N° 2.*

*Список литературы содержит работы, на которые сделаны ссылки и тексте,

атакже некоторые публикации последних лет. Более полную библиографию ранних работ можно найти в книге [14] и в обзорной статье [28]. Ссылки на некоторые работы, вышедшие из печати в 1969—1970 гг. даны в подсТр0чныХ примечаниях к основному тексту книги.

И. Б о л о т и н В. В. Статистические методы в нелинейной теории упругих оболочек. Известия АН СССР, ОТН, 195 8, N° 3.

12. Б о л о т и н В. В. Применение статистических методов для оценки проч­ ности конструкций при сейсмическом воздействии. Инженерный сборник, 1959, т. 25.

13. Б о л о т и н В. В. Уравнения нестационарных температурных полей в тонких упругих оболочках при наличии источников тепла. «Прикладная мате­ матика и механика», 1960, т. 24, № 2.

на спектры собственных колебаний тонких упругих сболочек. Известия АН СССР,

«Механика и машиностроение», 1962, № 4.

пластин и оболочек. Труды IV Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. Изд. АН Арм. ССР, Ереван, 1964.

18. Б о л о т и н В. В., М а к а р о в Б. П. О приближенном решении неко­ торых задач статистической динамики. Известия АН СССР, «Механика», 1965, N° 3.

19. Б о л о т и н В. В. Об упругих деформациях подземных трубопроводов, прокладываемых в статистически неоднородном грунте. «Строительная механика и расчет сооружений», 1965, N° 1.

напряжения в оболочках. Труды VI Всесоюзной конференции по теории оболочек

ипластин. «Наука», 1966.

22.Б о л о т и н В.. В. Механика твердого тела и теория надежности. Тру­ ды II Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике. Механика

твердого тела. «Наука», 1966.

23.Б о л о т и н В. В. Теория армированной слоистой среды со случайными начальными неправильностями. «Механика полимеров», 1966, N° 1.

24.Б о л о т и н В. В. Слоистые упругие и вязко-упругие среды с малыми начальными неправильностями. «Механика твердого тела», 1966, N° 3.

25. Б о л о т и н В. В., М о с к а л е н к о В. Н. Макроскопические коэф­ фициенты теплопроводности и диффузии в микронеоднородных твердых телах. «Журнал прикладной механики и технической физики», 1967, N° 6.

26.Б о л о т и н В. В. Поля давлений внутри оболочек, совершающих слу­ чайные колебания. «Механика твердого тела», 1968, N° 1.

27.Б о л о т и н В . В . , М а к а р о в Б . П . Корреляционная теория докрити-

ческих деформаций тонких упругих оболочек. «Прикладная математика и механи- ника», 1968, т. 32, N° 3.

28. Б о л о т и н В. В. Применение вероятностных методов в строительной механике. Сб. «Строительная механика в СССР за 50 лет» (под ред. И. М. Раби­

новича). Стройиздат, 1969.

29. Б о л о т и н В. В., М о с к а л е н к о В. Н. К расчету макроскопичес­

ких постоянных сильно изотропных композитных материалов. «Механика твер­ дого тела», 1969, № 4.

30. Б о л о т и н В. В., Е л и ш а к о в И. Б., Е ф и м ц о в Б . М. М о с ­ к а л е н к о В. Н., Ш а р ы й Н. В. Методика расчета акустических полей внут­ ри подкрепленных оболочек. Доклады научно-техн. конф. МЭИ, «Динамика и проч­ ность машин». Изд. МЭИ, 1969.

31.Б р у е в и ч Н. Г. Вопросы надежности и точности электронных устройств в машиностроении и приборостроении. Известия АН СССР, ОТН «Энергетика и автоматика» , 1961, № 1.

32.В и к т о р о в Е . Д., К о л о в с к и й М . 3. Приближенный синтез оп­ тимальных амортизирующих устройств. Сб. «Проблемы надежности в строитель­ ной механике», Изд. РИНТИП. Вильнюс, 1968.

33.В о л ь м и р А. С., К и л ь д и б е к о в И. Г. Нелинейные акустические колебания цилиндрической оболочки. Известия АН Арм. ССР, 1964, т. 17, № 3.

34.В о л ь м и р А. С., К и л ь д и б е к о в И. Г. Вероятностные характе­ ристики поведения цилиндрической оболочки при действии акустической на­ грузки. «Прикладная механика», 1965, т. 1, № 3.

35.В о л ь м и р А. С. Устойчивость деформируемых систем. «Наука», 1967.

36.В о л ь м и р А. С., К и л ь д и б е к о в И. Г. Вероятностные характе­ ристики поведения пологой оболочки в акустическом поле. Сб. «Проблемы надеж­ ности в строительной механике». Изд. РИНТИП, Вильнюс, 1968.

струкций наименьшего веса. Сб. «Проблемы надежности в строительной меха­ нике». Изд. РИНТИП, Вильнюс, 1968.

39.Г и ц И. Д., Т а ц и й В. Г. К вопросу о точности управления процессом усталостных испытаний. Сб. «Проблемы надежности в строительной механике». Изд. РИНТИП. Вильнюс, 1968.

40.Г и е д е н к о Б. В. Курс теории вероятностей. Физматгиз, 1961.

43.Г о н ч а р е н к о В. М. Колебания пластин из нелинейного упругого ма­ териала в однородном поле случайных давлений. Сб. «Проблемы надежности строительной механике». Изд. РИНТИП, Вильнюс, 1968.

44.Г у с е в А. С. К анализу выбросов случайных функций. Известия высш. учебн. заведений. «Машиностроение», 1967, № 3.

45.Г у с е в А. С. К теории надежности стареющих элементов. Сб. «Проб­ лемы надежности в строительной механике». Изд. РИНТИП, Вильнюс, 1968.

46.Д и м е н т б е р г М. Ф. О нелинейных колебаниях упругих оболочек при случайных нагрузках. Теория оболочек и пластин. Изд. АН Арм. ССР, 1964.

47.Д и м с н т б е р г М. Ф. Оценка статистических ошибок в определении некоторых характеристик надежности. Сб. «Проблемы надежности в строительной механике». Изд. РИНТИП. Вильнюс, 1968.

48.Д р и в и н г А. Я. К определению числовых характеристик надежнос­

ти конструкций сооружений с чисто экономической ответственностью. Сб. «Про­ блемы надежности в строительной механике». Изд. РИНТИП, Вильнюс, 1968.

встроительной механике». Изд. РИНТИП, Вильнюс, 1968.

51.И с а е в А. С. О применении игровых подходов в прочностных задачах Сб. «Проблемы надежности в строительной механике». Изд. РИНТИП, Вильнюс, 1968.

52. К а д а ш е в и ч Ю. И., Н о в о ж и л о в В. В. Об учете микронапря­ жений в теории пластичности. «Механика твердого тела», 1968, № 3.

53.К о з л я к о в В. В. Об оценке усталостной долговечности конструкций при нестационарном нагружении. Сб. «Проблемы надежности в строительной ме­ ханике». Изд. РИНТИП, Вильнюс, 1968.

54.К о л о в с к и й М. 3. Нелинейная теория виброзащитных систем. «На­ ука», 1963.

55.К о л о в с к и й М. 3., О с о р и н В. И., П е р в о з в а н с к и й А. А. Вероятностные методы в теории колебаний. Труды II Всесоюзного съезда по тео­ ретической и прикладной механике. «Механика твердого тела». «Наука», 1966.

56.К р е н д е л л С. Случайные колебания. «Мир», 1967.

57.К у д р я в ц е в Е. П., Н о в о ж и л о в а . В., С у д а к о в а Н. И. Статистическое исследование деформационных свойств песчаных основании. «Основания, фундаменты и механика грунтов», 1967, № 6.

родностей подземных трубопроводов. «Строительная механика и расчет соору­ жений», 1967, № 6.

59. К у д р я в ц е в Е. П., Н о в о ж и л о в а . В., С у д а к о в а Н. И. Экспериментальное исследование случайных искривлений подземных трубопро­ водов. Сб. «Проблемы надежности в строительной механике». Изд. РИНТИП, Вильнюс, 1968.

60. Л а р и н В. Б. Выбор параметров системы виброизоляции приборов. «Прикладная механика», 1966, т. 2, № 6.

61.Л а р и н В. Б. Некоторые вопросы конструирования систем виброизо­ ляции приборов. «Механика твердого тела», 1966, № 6.

62.Л е в и н Б. Р. Теория случайных процессов и ее применение в радио­

технике. «Советское радио», 1960.

63. Л е й з е р а х В. М. Статистический анализ случайных неправильнос­ тей в цилиндрических оболочках при помощи ЭВМ. Доклады научно-техн. конф. МЭИ, «Динамика и прочность машин». Изд. МЭИ, 1969.

64. Л и ф ш и ц И. М., Р о з е н ц в е й г А. Н. К теории упругих свойств поликристаллов. «Журнал экспериментальной и теоретической физики», 1946,

67. Л о м а к и н В. А. Расчет на прочность и жесткость балки, изгибаемой случайной нагрузкой. «Механика твердого тела», 1966, № 4.

68. Л о м а к и н В. А. Влияние микронеоднородностей структуры материа­ лов на их механические свойства. Сб. «Проблемы надежности в строительной ме­ ханике». Изд. РИНТИП, Вильнюс, 1968.

69.Л о н г е -X и г г и н с М. С. Статистическая геометрия случайных по­ верхностей. Сб. «Гидродинамическая неустойчивость». «Мир», 1964.

70.Л я м ш е в Л. М. Излучение звука упругими оболочками, возбуждае­ мыми турбулентным аэродинамическим потоком. «Акустический журнал», 1961.

т.7, № 1.

71.М а к а р о в Б. П. Применение статистического метода для анализа не­ линейных задач устойчивости оболочек. Теория пластин и оболочек. Труды II Всесоюзной конференции. Изд. АН УССР, 1962.

72.М а к а р о в Б. П. Анализ нелинейных задач устойчивости оболочек при помощи статистического метода. «Инженерный журнал», 1963, т. 3, № 1.

73. М а к а р о в Б. П. Н а г о р н о в Л . Н. О моделировании некоторых уравнений статистической динамики. Доклады научно-техн. конф. МЭИ, «Дина­ мика и прочность машин». Изд. МЭИ, 1965.

74. М а к а р о в Б. П. О прощелкивании упругой оболочки, находящейся под действием случайных сил. Доклады научно-техн. конф. МЭИ, «Динамика и прочность машин», Изд. МЭИ, 1965.

75. М а к а р о в Б. П., Ч и ч е н е в Н. А. О прощелкивании тонких упру­ гих панелей при случайных импульсных нагрузках. Сб. «Расчеты на прочность»,

77.М а к а р о в Б. П. Статистический анализ несовершенных цилиндричес­ ких оболочек. Сб. «Расчеты на прочность», № 15. «Машиностроение», 1969.

78.М а к а р о в Б. П., Л е й з е р а х В . М . К вопросу об устойчивости ци­ линдрических оболочек со случайными начальными неправильностями. Докла­ ды научно-техн. конф. МЭИ, «Динамика и прочность машин». Изд. МЭИ, 1969.

79.М а к с и м о в Л. С. О расчете пассивной виброизоляции на воздейст­ вия в виде стационарного случайного процесса. Инженерный журнал, «Меха­ ника твердого тела», 1966, № 3.

80.М а н е в и ч Л. И., П р о к о п а л о Е. Ф. О статистических свойствах несущей способности гладких цилиндрических оболочек. Сб. «Проблемы надеж­ ности в строительной механике». Изд. РИНТИП, Вильнюс, 1968.

81. М а с л о в Н. Т. Об оптимальных свойствах амортизационных систем при случайных возмущениях. Известия высш. учебн. заведений, «Машинострое­ ние», 1967, N° 9.

82.М а с т а ч е н к о В. Н. О статистическом моделировании в строитель­ ной механике. Сб. «Проблемы надежности в строительной механике». Изд. РИНТИП, Вильнюс, 1968.

83.М о в с и с я н Л . А. К устойчивости цилиндрической оболочки со слу­ чайными начальными напряжениями. Сб. «Проблемы надежности в строительной механике». Изд. РИНТИП, Вильнюс, 1968.