1200

волновыми числами. При этом с увеличением k lk0 отношение спект­ ральных плотностей S Vl(k) и S Wl(k) стремится к единице. Сделанные выводы проиллюстрированы на рис. 15, где кривая 1 соответствует пер­ вым трем членам правой части формулы (13), а кривая 2 — последне­ му члену*.

Влияние неоднородностей на распределение изгибающих моментов балки носит еще более своеобразный характер. Нетрудно видеть, что выражение, стоящее в скобках в формуле (12), имеет точный минимум при k = k0. Таким образом, отношение спектральных плотностей Smi(k) и S r(k) становится максимальным при k = k„. Это означает, что систе­

ма балка—упругое основание обладает избирательной способностью по отношению к неоднородностям, волновые числа которых близки к собственному волновому числу k0. Типичные зависимости спектраль­ ной плотности изгибающего момента от волнового числа представлены на рис. 16. Как и на рис. 15, кривая 1 отражает влияние неравномер­ ности нагрузки, неравномерности жесткости основания и начальную неровность основания; кривая 2 характеризует влияние начальных искривлений балки.

Избирательные свойства системы балка — упругое основание про­ являются также и„в следующей задаче. Допустим, что балка нагре­ вается от начальной температуры Т0, при которой осевая сила в балке равна нулю, до температуры Т0 + АТ. При этом возникает сжимаю­ щая сила

Здесь EF — жесткость балки при сжатии; а — коэффициент линейного температурного расширения. Температурными деформациями упру­ гого основания, тангенциальными силами сцепления и т. п. пренебре­ гаем. Уравнение изгиба балки с учетом осевой силы получается из уравнения (1) добавлением в левую часть произведения осевой силы

* Графики на рис. 15—16 носят качественный характер; при этом принято, что в рассматриваемом диапазоне волновых чисел спектральные плотности S qt(k),

Sc (k), SUi(k) и S w (k) изменяются достаточно медленно.

Ш

Эта система состоит, по существу, из известных «уравнений пяти моментов». Поскольку параметры lh bj и hj являются случайными, то эта система будет стохастической. Представляется целесообразным получить решение этой системы, пригодное для любого числа пролетов, в том числе—для бесконечного числа пролетов. Заметим, что по отно­ шению к входным параметрам lj и bj система (21) является нелинейной; по отношению к начальным смещениям опор А/ система будет линейной! Чтобы получить достаточно простое решение, учитывающее все три груп­ пы случайных факторов, будем считать, что флуктуации длин проле­ тов и коэффициентов податливости достаточно малы. Это значит, что длины пролетов lj и коэффициенты податливости bj мало отличаются от средних значений. При этом условии можно положить

ляющие, ар. — параметр малости, который после выполнения выкла­

Для вычисления первого члена ряда М </) имеем обычные уравнения строительной механики. В частности, при бесконечно большом числе

Уравнения относительно следующего члена получим, удерживая члены, содержащие первые степени малого параметра. После введения обозначений

Уравнения (26) представляют собой регулярные уравнения в ко­ нечных разностях. Вводя обозначения для вторых и четвертых раз­ ностей

у 2 Mj = Af/+i —2Mj + M / - i ;

V4 Mj = Mi+2— 4УИ/+i + 6Mj— 4УИ;-_i + УИ/_2,

а также обозначая

Пусть число пролетов весьма велико, чтобы можно было отвлечься от граничных условий на крайних опорах. Тогда задача сводится к ре­ шению стохастического разностного уравнения (27), на решение кото­ рого накладывается требование ограниченности при j - ^ ± o о. Искомое решение построим при помощи разностного аналога функции Грина.

Рассмотрим частное решение соответствующей однородной системы, которое как обычно ищем в виде

где С—некоторая постоянная, г — характеристический корень. По­ следний определяется из алгебраического уравнения четвертой степе­ ни

Уравнение (30) является возвратным. Если г — его корень, то Иг тоже является корнем уравнения. Пусть уравнение (30) не имеет кратных корней. Обозначим через и г2пару корней, меньших по модулю единицы. Вводя обозначения