1200
.pdfОтсюда находим, что постоянную k надо выбрать следующим образом:
k = V <J« ? r - |
о 26) |
В качестве другого критерия для выбора наилучшего приближения возьмем критерий минимума среднего квадратического отклонения двух функций:
<\f(u)— ku |2> = мин.
Дифференцируя левую часть по k и приравнивая производную нулю, получим следующую формулу для k :
<Ци)и>
(127)
< ц * >
Вообще говоря, формулы (126) и (127) дают различные значения постоянной k. Существенно, что эта постоянная зависит от параметров распределения выходного процесса, которые, в свою очередь, являют ся неизвестными. Если q(t) — нормальный случайный процесс и если нелинейность достаточно мала, то можно предположить, что выходной процесс u(t) мало отличается от нормального. Тогда для одномерной плотности вероятности можно взять приближенное выражение
р(и) |
1 |
(128) |
|
/2 л а ц |
|||
|
|
||
где ol — неизвестная дисперсия процесса u(t). |
Выражения, входящие |
||
в формулы (126) и (127), определяются как: |
|
||
оо
</*(“)> = § f2 (и) Р(и) du\
оо
</(«)«>= $ f{u)up(u)du.
— оо
Таким образом, коэффициент k в уравнении линеаризированной си стемы
LQи + 1xku = q (t) |
(129) |
зависитЪт неизвестной дисперсии а«. Рассматривая дисперсию как за данный параметр или заданную функцию, методами статистической ди намики линейных систем находим корреляционную функцию или спектральную плотность на выходе линейной системы (129). На за ключительном этапе вычислений составляем и решаем уравнение отно сительно дисперсии выходного процесса.
Рассмотрим, например, стационарное случайное воздействие на стационарную нелинейную систему. Применяя к уравнению (129) фор-
мулу (97), найдем связь между спектральными плотностями на входе
ивыходе:
Вправую часть входит неизвестная дисперсия of. Выразим эту диспер
сию через спектральную плотность. Тогда для определения получаем соотношение
оо
(130)
—00
Для широкого класса функций S9((o) и L0(ia) интеграл в правой час ти уравнения (130) может быть вычислен в конечном виде. В резуль тате мы придем к трансцендентному или алгебраическому уравнению относительно аи. Уравнение (130) может быть решено также по методу последовательных приближений или графически.
Применим метод статистической линеаризации к уравнению Дуффинга (116), предполагая, что внешнее воздействие является «белым шумом». Для уравнения Дуффинга f(u) = и3. Принимая, что выход, ной процесс распределен нормально, найдем, что
</■(«)> = <ыв >=15а°;
</(ы)и> = <ы*> = За2.
Таким образом, коэффициент k в линеаризированном уравнении (129)
оказывается равным k = аа«. Числовой множитель а составляет
если линеаризацию проводить по критерию равенства дисперсий. Если же использовать критерий минимума среднего квадратического откло. нения, то получается, что а = 3. В литературе по теории автоматичес кого управления можно встретить рекомендации о том, что при опре делении дисперсии выходного процесса в качестве расчетного значе ния коэффициента линеаризированной системы надо принимать сред, нее из двух значений. В основе этих рекомендаций неявно лежит пред, положение о том, что два способа линеаризации берут точное значение дисперсии «в вилку». Убедительные основания для такого вывода отсут ствуют. Более того, можно привести примеры, в которых точное зна чение дисперсии оказывается лежащим вне интервала, ограниченного приближенными значениями. Один из таких примеров будет указд,, ниже (§ 1.11).
Продолжим вычисления. Подставляя найденные значения коэффд. циента k и оператора L0 в формулу (130), приведем ее к виду
ОО
I (DQ-f- |
| о |
Интеграл в правой части при |
S q((o) = const вычисляется элементар |
но. По аналогии с формулой (100) получим |
|
а« = |
(131) |
2е (®^ + цаа2) |
|
Мы получили относительно |
квадратное уравнение. Его единствен |
ный положительный действительный корень дает искомое значение дисперсии выходного процесса. Если нелинейность достаточно мала,
точнее, если р.ао^ |
©о, |
то можно применять приближенную форму |
|
лу |
|
|
|
|
о 5 « |
( 1 — |
(132) |
|
|
2<UQ8 ^ |
2а>о е J |
Формулы (131) и (132) можно использовать для приближенного вычисления дисперсии и в следующем случае. Если демпфирование в системе достаточно мало (е < со0), а спектральная плотность вход ного процесса S g(co) изменяется достаточно медленно, то система яв ляется фильтром для воздействий, частота которых близка к со0. Дис персию выходного процесса найдем, подставляя в указанные формулы значение спектральной плотности S q = Sg(co0), соответствующее час тоте (О0.
Нетрудно обобщить метод статистической линеаризации на более
широкий класс нелинейных систем и внешних воздействий. |
Здесь мы |
ограничимся системами типа* |
|
L0u + \if{u, u ) = q |
(133) |
При этом мы откажемся от предположения о том, что процесс q(t) яв
ляется центрированным. Кроме того, на функцию f(u, и) не будем на кладывать никаких ограничений, кроме условия однозначности. В рас сматриваемых процессах будем различать регулярную и флуктуационную составляющие:
Q = < Q > + Q ; и = { и ) + и у
а функцию f(u, и) будем линеаризировать в окрестности ее математи ческого ожидания:
f(u, и) « < / (и, u)) + ku' + k1u. |
(134) |
Для математического ожидания выходного процесса имеем уравнение
£ о < ' « > + К / ( « . «)> = < </>• |
(135) |
* Здесь (а также, где это удобно, и в дальнейшем) дифференцирование по времени обозначается точкой.
Флуктуациоиная часть удовлетворяет стохастическому дифферен циальному уравнению, которое после линеаризации принимает вид
L0 и + [iku+ ц ^ Ъ — ~q. |
(136) |
Неслучайные постоянные k и /гх можно определить разными способами. Применим критерий минимума среднего квадратического отклонения:
< |/ (и, u) — (f{u, 'u)) — k и —k^m 2 ) = мин.
Раскрывая выражение, стоящее в левой части, и дифференцируя его по параметрам k и klt придем к формулам:
(и, й ) и ) .
<«2> ’
(137)
£ _ <f(u,U)u )
1 ч
Применение формул (137) требует задания совместной плотности вероятности для процесса u(t) и его первой производной. Обычно ис пользуется гипотеза нормальности, т. е. полагается, что
|
Р |
(«, и) |
1 |
ехр |
( и —а)2 |
|
2паиа-и |
К |
|||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Здесь |
и а- — дисперсии процесса u(t) и его производной соответст |
||||
венно, а — математическое ожидание процесса u(t). После решения линеаризированной задачи неизвестные параметры распределения лег ко вычисляются.
Метод статистической линеаризации широко применяется не толь ко к системам с малой и аналитической нелинейностью, чо и к сущест венно нелинейным системам. Рассмотрим, например, нелинейную функ цию
/ (и, и) = с sign w + f i sign и-
Первый член может быть интерпретирован как взятая с обратным зна ком сила упругости в пружине с большим предварительным натягом; второй член соответствует силе сухого трения. Такая нелинейность является аналитически нелинеаризируемой. Попытаемся, тем не менее, заменить ее на множестве случайных движений линейной функцией
f (и, и) я? ku + kx и.
Предполагая, что выходной процесс является нормальным с матема тическим ожиданием, равным нулю, легко получим
1 __ с < 1и \ > __ а с
~ <и2> ~ ои
(138)
k — ci ^ 1“ I) __ <*Ci <а2> ~~
Числовой коэффициент а в формулах (138) равен единице, если лине аризацию проводить из условия равенства дисперсий. Если же поль зоваться формулами (137), то получим
Несмотря на то, что линеаризация такого неаналитического вы ражения является довольно смелой операцией, она приводит к разум ным результатам при определении дисперсии. Объясняется это тем, что при стохастических движениях неаналитичный характер нелинейнос тей проявляется не столь заметно, как, скажем, при гармонических колебаниях.
§ 1.10. Сведения из теории марковских процессов
Изложенные выше методы статистической динамики нелинейных систем дают приближенное решение задачи, пригодное лишь при не которых ограничениях., накладываемых на систему и входные про цессы. К этим ограничениям относятся, например, требование малости нелинейных членов, требование близости выходного процесса к нор мальному и т. п. Но даже при этих ограничениях мы не получаем при помощи указанных методов достаточно полной информации о выход ном процессе. Обычно эта информация ограничивается оценкой мате матических ожиданий, корреляционных функций и спектральных плот ностей. Между тем существуют методы, которые для некоторого класса нелинейных систем и внешних воздействий позволяют находить точ ные распределения выходных процессов, включая нестационарные и многомерные распределения. Эти методы основаны на теории марков ских процессов.
Случайный процесс называется марковским, если его распределе ние в момент времени t2 может быть выражено через распределение в предшествующий момент времени tx < t2 независимо от предшествую щей истории процесса. Таким образом, марковский процесс — это процесс без последействия. Марковские процессы являются абстрак цией реальных процессов. Однако многие реальные процессы могут приближенно трактоваться как марковские или во всяком случае мо гут рассматриваться как компоненты некоторых многомерных марков ских процессов.
Приведем некоторые сведения из теории марковских процессов, причем ограничимся наиболее важным для статистической динамики
случаем процессов с непрерывным временем и непрерывным множест вом состояний. Начнем с одномерного марковского процесса. Рассмот рим случайную функцию u(t), принимающую в последовательные мо
менты времени t0 < tx < |
< tn возможные значения |
и0, |
иг....... ип. |
|||||
Введем условную плотность вероятности |
|
|
|
смысл: |
||||
р(ип, tn \un- i , |
tn- 1; ...; иъ |
tx; u0, t0), |
имеющую следующий |
|||||
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
p(Un, t n \Un-l,tn-l-, ...; |
ux, t x, u0, t 0)d u n = |
|
|
|
||||
|
|
u0< и {to) < |
u0+ du0; |
|
|
|
||
p Un<u(.tnX u n + dun « i < « |
(^i) < |
u1 + du1; |
|
|
|
|||
|
|
Un- l < |
и (tn- \) < un- i + dun~\ |
_ |
||||
Если условная плотность |
вероятности |
удовлетворяет |
соотношению |
|||||
Р (Рп> |
I tin—1>tп—11 . |
I U\, t\, U-o, to) ==p {tin, tn I tin—1>tn—1)> |
0 ^^) |
|||||
то процесс u(t) называется марковским. Из соотношения (139) следует, что марковский процесс u(t) полностью определяется начальным рас
пределением |
р(и0, t0) и |
условной плотностью |
вероятности |
р(ип, tn | ип- |
1, t„-i). В самом деле, по теореме умножения |
||
Р {Но, ^0»^1»^1»••• I Ип, tп) == Р (Мп* t„I Ип—11tn—1» |
, Их, ^1» to) X |
||
X р (Цп—\, t п— 1 | Чп—2 , tn—2i . |
. . Ux, ti , UQ, t 0) . . . P ( U i , |
t x | UQ, to) P ( Wot * o ) . |
|
Отсюда, учитывая формулу (139), находим
Р («о. ^о! «1. h ; ...; ип, tn)=p (ип, tn\un- i, tn- 1) р{ип- i,/„_i|wn_ 2, tn- 2)... X
X P («!, tx I «0, /0) P («0. to). |
(140) |
Функция p(un, tn \un- \ , tn~ 1), равная условной плотности вероят ности перехода из состояния ип—\, tn- 1 в состояние un,tn, называется переходной вероятностью. Переходная вероятность обладает обычными свойствами плотности вероятности и, в частности, удовлетворяет ус ловию нормировки
оо оо
§ |
Р (ип>tn I Un—i>tn—\) dun—\ — \ P(un, tn \ un- u tn- i) d u n = 1. |
— 00 |
— 00 |
Переходная вероятность полностью характеризует свойства маркоьского'процесса.
Нетрудно получить интегральное уравнение, которому должна удовлетворять переходная вероятность. Рассмотрим три последователь ных момента времени t0 < tx < t2- Составляя очевидное соотношение
оо
р(м„Л; ы2. t2) = $ р (“оЛ ; tii, h\ u2,t^'dux,
— op
выразим входящие в него многомерные плотности через переходную вероятность согласно (140). В результате получим интегральное урав нение Смолуховского:
оо |
|
Р («2. h I «о, to) = Jj Р («2. h | uv tx) р (ult ty I ы0, to) dUy. |
(141) |
Это уравнение можно получить также и несколько иным путем, рас сматривая связь между состояниями в моменты времени /0 и t2 через состояние в промежуточный момент времени t0 < ty < t2 и применяя формулу полной вероятности.
Теперь выведем дифференциальное уравнение относительно пере ходной вероятности. Будем исходить из интегрального уравнения (141).
Запишем |
его для моментов времени tQ< t — At < t (в дальнейшем |
||
перейдем |
к пределу |
при At |
0): |
|
|
оо |
|
p (u ,t\u 0, t 0) = |
5 p{u,t\uy,t— At)p(uy,t— At\u0,t0)duy. |
||
|
|
— оо |
|
Здесь Uy — значение функции u(t) в момент t — At. Умножим это урав нение на функцию Q(u), обращающуюся со всеми производными в нуль на границе области изменения и (в нашем случае при ±<х>), и аналити ческую в окрестности значения иу. В остальном функция Q(u) является произвольной. После умножения и интегрирования по и получим
оо
5p(u,t\u0, t 0)Q(u)du =
=$ \p(uy,t— At\u0,t0) ^ p(u,t\Uy,t—At)Q(u)du\dUy.
Разложим функцию Q(u) в ряд Тейлора в окрестности значения иг:
ОО
Q(«)= 2 ТГ^<А) ^
А —0
Подставим этот ряд в уравнение, изменим порядок интегрирования и суммирования и перенесем один из членов в левую часть. С учетом условия нормировки переходной вероятности имеем
оо
$ lp(u,t\u0, t 0)— p (Uy, t — At\ «о, /о)1 Q(“) du =
w |
WO I |
W |
I |
= 2 r r S |p (“i.<—A*l"o.<o)Q(*)(“i) \p{u,t\Uy,t—At){u—Uy)kdu\dUy.
k >
Следующий шаг состоит в почленном делении уравнения на At и в
переходе к пределу при At |
0, Ui -+■ и: |
|
||
00 |
сю |
|
оо |
|
Г др (и, t\u0, /0) Q(u)du = |
2 |
1 |
$ |
(142) |
- с о |
Л - 1 |
S1 |
- о о |
|
В правой части уравнения |
(142) введены обозначения |
|
||
|
|
оо |
|
|
x h(u,t) = Пгп^ |
|
^ |
p { u ,t\u l t t — At)(u — u tfd u . |
|
Выражения nh называются интенсивностями марковского процесса порядка k. Замечая, что и — иг = Ди, можно переписать формулу для интенсивности в виде
x h(u,t)= lim |
(143) |
Здесь угловые скобки обозначают операцию взятия условного мате матического ожидания. При осреднении выражений Аuk величина ux(t) считается заданной.
Преобразуем правую часть уравнения (142), применяя интегриро вание по частям:
I |
др (и, 11ц0, /0) Q (и) du = |
dt |
оооо
=S ( — /- )* [* * (“ . О Р (u,t\u0, t 0)]Q(u)du.
k^ 1 ^ —ОО' |
' |
Поскольку функция Q(u) является произвольной, то для равенства левой и правой частей необходимо выполнение соотношения
др_
dt |
ё М |
(144) |
- i r ^ - |
Итак, мы получили дифференциальное уравнение (144) относительно переходной вероятности,'р = р(и, t\ u 0, t0). Решение этого уравнения должно удовлетворять условию неотрицательности, условию норми ровки и начальному условию
р = 6(и — и0) (t = t0). |
(I45) |
Если функция u(t) является непрерывной, то в течение малых цн. тервалов времени At она будет получать малые приращения. Все цн_ тенсивности (143), начиная с третьей, будут равны нулю. Уравнецие (144) принимает вид
др |
д |
1 а2 |
Это уравнение, описывающее изменения переходной вероятности не прерывного марковского процесса, называется уравнением Фоккера— Планка—Колмогорова. Функция х^и, t) характеризует среднюю эво люцию процесса u{t) при условии, что u(t) = и и называется коэффи циентом сноса. Функция х 2(и, t) характеризует среднее квадратическое отклонение процесса при условии, что u(t) = и, и называется, коэффициентом диффузии. Заметим, что переходная вероятность р(и, /|а0, /0)> рассматриваемая как функция начального состояния u0i /0, удовлет воряет уравнению
др |
др |
1 |
д2 р |
(147) |
— — —- х ,--------- х2 — —, |
||||
д(о |
д“о |
2 |
ди2 |
|
которое является сопряженным по отношению к (146). Строгий вывод уравнений (146) и (147) можно найти в книге [40].
Заметим, что уравнению (146) удовлетворяет не только переходная
вероятность |
p(u, t\u 0, |
t0), но |
и одномерная плотность вероятности |
p(u, t). В самом деле, |
умножая |
уравнение (145) почленно на р(и0, /0)> |
|
интегрируя |
по и0 и учитывая, что |
||
|
\ |
p(u,t\ «о, /о) Р («о. <о) du0= р (u, t), |
|
придем к уравнению (146) относительно р(и, t). Начальное условие имеет вид
p = p(u0,t0) (t = t0), |
(148) |
где р(и0, t0) — одномерное распределение в начальный момент време ни. Определение переходной вероятности можно рассматривать как частный случай определения одномерной вероятности при начальном условии, заданном в форме (145).
Изложенную теорию можно обобщить применительно к многомер
ным марковским |
процессам. |
Пусть u(/) = [«i(/), u2(t), ..., um(/)]— |
||
/л-мерный |
случайный процесс без последействия. Переходная |
вероят |
||
ность р(u, |
t \ u0, t0) |
для этого процесса удовлетворяет интегральному |
||
уравнению типа (141): |
|
|
||
|
р (u2 ,/2 | u0, t0) = J р (u2, t21щ, t j p (ult tx| u0, *0) dulf |
|
||
где u0, ux и u2 — реализации процесса u(/) в моменты времени |
tx и t2 |
|||
соответственно; йиг — элемент |
объема в m-мерном пространстве. Обо |
|||
значим приращение компонентов вектора и(/) через Аиъ Ды2, ..., Аит. Введем интенсивности многомерного марковского процесса
X ; ( u , / ) - I i m
At-+Q А/
Д/-*0 А/
где угловыми скобками обозначена операция Взятия условного мате' матического ожидания. Если любая из компонент процесса меняется непрерывно, то интенсивности более высокого порядка, например
*;м(и, 0 =Н ш <Auj AUkДи/ >
м
будут равны нулю. Выполняя выкладки, аналогичные тем, который были сделаны ранее, придем к уравнению Колмогорова для многомер' ного марковского процесса:
др_ |
_ у _ Ё _ (х |
р ) + 1 у у Л — (*Л р)- |
(150) |
|
dt |
||||
p i dui |
2 |
|
||
|
|
Переходная вероятность р(u, t | и0, /„) должна удовлетворять урав' нению (150), а также условиям положительности, нормировки и на' чальному условию р = 6(и — и0) при i — t0. Как и в одномерном слу' чае, уравнению (150) удовлетворяет также плотность вероятности р(и, /)• При этом начальные условия берутся в виде
p = p(u0,t0) (/ = *„)• |
(151) |
§1.11. Применение теории марковских процессов
крешению задач статистической динамики
Для того чтобы применить аппарат теории марковских процессов к задачам статистической динамики, необходимо прежде всего уста новить класс систем, поведение которых может рассматриваться как непрерывный марковский процесс. Очевидно, что должны быть нало жены существенные ограничения на оператор в уравнении (5). Рассмот рим вначале случай, когда и(/) является одномерным процессом, a L — дифференциальным оператором.
Нетрудно заметить, что поведение системы будет определяться ее состоянием в какой-либо момент времени независимо от истории толь ко в том случае, если оператор L имеет первый порядок. Другими сло вами, стохастическое дифференциальное уравнение относительно u(t)
должно иметь вид |
|
« + /(«) = 9(0- |
(152) |
Здесь f(u) — неслучайная функция. Далее, |
внешнее воздействие q(t) |
должно быть дельта-коррелированным; в противном случае история системы будет влиять на ее поведение через стохастическую связанность воздействия. Итак, внешнее воздействие <?(/) должно быть белым шу мом, т. е. удовлетворять условиям
<?(/)> = 0, < <7& ) <7(/,)> = s8 (/,— /,). |
(153) |
Вообще говоря, марковость процесса u{t) имеет место и в том случае, когда интенсивность белого шума s зависит от функции и и времени t. Мы все же в дальнейшем будем полагать белый шум стационарным,