1200

Тогда придем к приближенной формуле

дающей, как и формула (144), оценку сверху для среднего числа пере­ сечений. Каждый из членов суммы, стоящей в правой части формулы (146), представляет собой среднее число выбросов в единицу времени

которых функции надежности и средние числа выбросов легко вычис­ ляются (рис. 68).

§ ШЛО. Применение теории надежности к расчету оптимальной виброзащиты оборудования

Вопросам защиты приборов и оборудования от вибрационных воз­ действий посвящена обширная литература (см. например, [54]). Если внешнее воздействие является гармоническим, то задача о выборе па­ раметров виброзащитного устройства решается сравнительно элемен­ тарными средствами. Но в реальных условиях вибрационные воздей­ ствия обычно носят случайный характер. Решение задач об оптималь­ ной виброзащите при случайных внешних воздействиях встречает ряд аналитических и принципиальных трудностей.

В теории оптимальной виброзащиты используются критерии, ана­ логичные критерию минимума среднеквадратической ошибки в теории автоматического управления. Например, ставится условие, чтобы средний квадрат перемещения защищаемого объекта относительно

основания, средний квадрат абсолютного ускорения объекта и т. п. при­ нимали минимальные значения. Оставляя пока в стороне вопрос о тех­ ническом истолковании подобных условий, заметим, что они являются источниками некоторых далеко идущих затруднений. Одним из первых встречается следующее затруднение. Если подбирать параметры виброзащитного устройства из условия минимума среднеквадратического абсолютного ускорения, то придем к тривиальному решению: жест­ кость подвешивания и потери в демпфере должны быть минимальны. Однако при этом получаются недопустимо большие относительные пе­ ремещения объекта. Если же минимизировать среднеквадратическое относительное перемещение, то становятся недопустимо большими пе­ регрузки на объекте. Из этого затруднения выходят, дополняя усло­ вие минимума одного параметра ограничением, которое накладывается на другой параметр. При этом в зависимости от того, что минимизирует­ ся — средний квадрат ускорения или средний квадрат относительного перемещения, получаются различные решения.

Следующая трудность встречается, когда оказывается, что опти­ мальные параметры линейной виброзащитной системы зависят от ин­ тенсивности воздействия. В реальных конструкциях интенсивность вибрационного воздействия редко остается постоянной в течение сро­ ка эксплуатации конструкции. Линейные системы, параметры кото­ рых подобраны применительно к некоторому уровню воздействия, пе­ рестают быть оптимальными при изменении этого уровня. Для выхода из создавшегося затруднения приходится интерпретировать линейную систему как результат статистической линеаризации некоторой не­ линейной системы.

Эти трудности усугубляются, если объект обладает несколькими (тем более — бесконечным числом) степенями свободы и если внешнее воздействие является нестационарным случайным процессом. Пред­ ставляется, что эти трудности не присущи внутренне теории вибро­ защиты, а скорее являются следствием неудачного выбора критерия для оптимизации. Инженер требует от системы виброзащиты, чтобы она обеспечивала^надежное функционирование объекта. Конечно, сред­ ние квадраты перемещений и ускорений на объекте в некоторой степе ­ ни характеризуют условия надежного функционирования. Но с тех­ нической точки зрения было бы правильнее минимизировать вероят­ ность того, что за время эксплуатации объекта его параметры хотя бы раз выйдут из области допустимых значений. Это эквивалентно тре­ бованию, чтобы мера надежности системы принимала максимальное значение. Оптимизация по надежности, будучи более естественной и обоснованной, в то же время снимает трудности, возникающие при применении более частных критериев. Этот метод оптимизации приме­ ним как к линейным, так и нелинейным системам с произвольным чис­ лом степеней свободы; не накладывается также ограничений на стохас­ тическую природу внешних воздействий.

Общая постановка задачи о проектировании виброзащиты форму­ лируется следующим образом. Пусть некоторая механическая систе­ ма с конечным или бесконечным числом степеней свободы прикрепля­

ется к основанию при помощи конечного числа опор. В общем случае свойства этих опор неизвестны; тогда говорят о выборе структуры виб­ розащиты. Однако чаще система виброзащиты ищется в классе прос­ тых линейных связей, содержащих упругость и вязкое трение. В этом случае неизвестными параметрами являются координаты опор, коэф­ фициенты их жесткости и вязкости. Под действием внешних сил или ускорений, сообщаемых основанию, в системе возникает некоторое виб­ рационное поле. Из технических соображений выбирается система па­ раметров качества и допустимая область в пространстве параметров ка­ чества. Далее вычисляется надежность системы как функция неизвест­ ных параметров виброзащиты. Последние находятся из условия, что­ бы надежность, достигаемая к некоторому моменту времени, была мак­ симальна. Как правило, надежность как функция параметров вибро­ защиты не имеет изолированного максимума. Кроме того, указанные параметры обычно могут принимать значения лишь из некоторой огра­ ниченной области. Поэтому проектирование виброзащиты сводится к неклассической задаче оптимизации, которая может быть разрешена лишь численными методами.

Одним из центральных остается вопрос о выборе параметров ка­ чества и области их допустимых значений. Чаще всего требуется, что­ бы максимальные виброперегрузки оборудования не превышали не­ которых предельных значений. Пусть а(г, /) — поле абсолютных уско­ рений в системе; а* — предельно допустимое значение вибрационного ускорения. При этих условиях функция надежности вводится как

Если изолируемая система является абсолютно твердым телом, то максимум абсолютного ускорения достигается в одной из точек, при­ надлежащих поверхности тела. Если тело — многогранник, то сле­ дует проверить каждую из его вершин. Во всяком случае соотношение (147) точно или хотя бы приближенно может быть заменено следую­ щим:

Таким образом, пространство параметров качества становится много­ мерным эвклидовым пространством, и метод, изложенный в предыду­ щем параграфе, может быть применен для вычисления функциц на_ дежности.

Наряду с ограничениями, накладываемыми на абсолютные уско­ рения, могут быть также поставлены ограничения для относительных перемещений различных точек системы. В соотношения типа (148) мо­ гут входить также проекции ускорений на некоторые направления и т . п. В этих случаях число измерений пространства параметров ка­ чества должно быть увеличено.

Поясним постановку и метод решения задачи на простейшем при­ мере. Будем трактовать объект как систему с одной степенью свободы.

степенью свободы при гармоническом возбуждении. Оптимальные ус­ ловия виброзащиты следует искать в области малых собственных час­ тот (о0, имеющих порядок

На рис. 72 приведены результаты вычислений среднего числа по­ ложительных выбросов v^_(F) из области (150) при и* = 10~3 л*, а* = =-20 м-секг2. Сплошные линии соответствуют вычислениям по формуле

показано суммарное число выбросов. Расчеты по точной формуле (140) показывают, что ошибка формулы полосового приближения становит­ ся заметной лишь при достаточно больших числах v+(r).

Наилучшая виброзащита по \Ц-(Г) обеспечивается при исчезающе малом демпфировании и при собственной частоте со0 ж 140 сек-1. Ошибка в выборе частоты со0 на ± 1 0 сект1 дает увеличение числа вы­ бросов примерно на порядок. Поэтому при расчете технических систем необходимо учитывать разброс параметров виброзащитного устройст­ ва, трактуя функции надежности типа (147), (148) и (151) как условные надежности.

Заметим, что ввиду узкополосности процесса надежность Р(^) ЛуЧ. ше оценивать через среднее число выбросов огибающей, т. е. пользо­ ваться формулами типа (105).

Выше был рассмотрен узкополосный случайный процесс на входе системы. Многие реальные воздействия представляют собой широкопо­