1200

В самом деле, интеграл приводится к виду

о

откуда после интегрирования находим

Пусть, например, п = 10. Тогда по формуле (13) <Г> = 2,929 <Г0>. Аналогично вычисляются надежность и долговечность систем при более сложном взаимодействии элементов. На рис. 39, в показана блоксхема общего резервирования, в которой каждая из подсистем дубли­

руется п раз. Формула для надежности системы имеет вид

Способ образования системы, показанный на рис. 39, г, носит на­ звание раздельного резервирования. При этом каждый из элементов дублируется п раз, после чего подсистемы соединяются последователь­ но. Надежность системы вычисляется как

т

р = п [1 - ( 1 - р А)"].

Б литературе по теории надежности [41, 65, 95, 120] уделено боль­ шое место методам вычисления надежности систем при различных спо­ собах взаимодействия элементов, способах резервирования и т. д. К другим задачам теории надежности относятся формулировка прин­ ципов синтеза систем, обладающих заданной надежностью, разработ­ ка методов повышения надежности и долговечности, определение эко­ номически обоснованных нормативных значений надежности и долго­ вечности, обоснование методов контроля качества и методов испытаний, обеспечивающих заданный уровень надежности, обоснование методов индикации и профилактики отказов и т. д.

§II 1.3. Основы общей теории надежности

Вподавляющем большинстве работ по теории надежности почти не затрагиваются те механические, физические и химические явления, которые являются причиной отказов. Изменение надежности элемен­ тов системы во времени обычно постулируется в форме некоторых ста­ тистических гипотез; при этом предполагается, что в дальнейшем эти гипотезы подвергаются надлежащей экспериментальной проверке. Применительно к радиоэлектронным устройствам такой путь может быть оправдан. В самом деле, эти устройства состоят из большого числа

ция нашла развитие в книге автора [14], первое издание которой вышло в 1961 г. Остальное содержание данной главы будет посвящено систе­ матическому изложению теории с более общих позиций.

Рассмотрим поведение некоторой системы при внешних воздейст­ виях. Уравнение системы возьмем в общем виде

где q — элемент из пространства входных параметров Q; и — элемент из пространства выходных параметров U; L — оператор системы (см. общие соображения из § 1.1). Пространство U выбирается таким обра­ зом, чтобы при помощи его элементов и 6 U можно было полностью охарактеризовать любое состояние системы. А именно, каждому состоя­ нию соответствует элемент и £ (/. При изменении параметра времени t одно состояние переходит в другое. Эволюция состояний описывает­ ся функциями и (/); их геометрическим образом служат траектории в пространстве состояний U.

Введем теперь пространство V для описания качества системы. Пусть каждому качеству системы соответствует элемент v ( V; при этом время t играет роль параметра. Каждой траектории и(^) в про­ странстве U соответствует некоторая траектория \(t) в пространстве качества V. Связь между элементами этих пространств и траектория­

Оператор М может быть, в частности, тождественным оператором. В некоторых случаях пространство V оказывается подпространством от U. Вообще говоря, переход от пространства состояний к пространству качества является нетривиальной операцией.

Множество состояний системы, допустимых с точки зрения качест­ ва, образует в пространстве качества V область допустимых состояний SV Граница области П0 соответствует предельным состояниям. Эту границу будем называть предельной поверхностью и обозначать через Г. Если v 6 П0»то это означает, что параметры качества системы сохра­ няются в установленных допусках. Пересечение траекторией v(/) пре­ дельной поверхности Г в направлении внешней нормали соответствует отказу системы Введенные понятия приобретают особую наглядность, если система является дискретной. Тогда пространства Q, U и V суть эвклидовы пространства. На рис. 40 представлены траектории q(/), u(/) и v(/) для случая, когда пространства Q, U и V являются эвкли­ довыми трехмерными пространствами. Некоторые более конкретные примеры будут приведены ниже.

Пусть внешнее воздействие q(/) и (или) оператор системы L явля­ ются стохастическими. Тогда траектории \(t) в пространстве качества V будут также стохастическими. Отказ интерпретируется как случай­ ное пересечение траекторией v(t) предельной поверхности Г (или как случайный выброс элемента из области допустимых состояний). Функ

ция надежности определяется как вероятность пребывания элемента V (T) в допустимой области Q0 в течение интервала 0 ^ т ^ /:

Итак, сформулирована общая схема вычисления надежности с уче­ том физических, технических и эксплуатационных аспектов. Эта схе­ ма слагается из четырех этапов. Первый этап сводится к схематизации системы и внешних воздействий на нее, т. е. к выбору пространств Q и U. Тем самым вводится оператор L. Второй этап состоит в определе-

Рис. 40

нии стохастического поведения системы при случайных воздействиях. При этом задача сводится к решению стохастического уравнения (14). Согласно нашей терминологии — это задача статистической динамики Третий этап заключается в выборе пространства качества V и области допустимых состояний £20. Этот выбор делается на основании техникоэкономических соображений с учетом технологических, эксплуата­ ционных и тому подобных требований и существенно неоднозначен

QltI

этапе (если задача носит по|!ероч. ный характер) определяется фуНк. ция надежности P(t) как дополне­

ние до единицы вероятности случайного выброса за пределы допусти­ мой области й 0. Таким образом, функция надежности P{t) определяет. ся как результат учета ряда факторов: внешней среды, свойств систе. мы, технологических, эксплуатационных и т. п. требований.

осевой силой Q(t) (рис. 41). Если сила Q действует квазнстатически, то внутренняя осевая сила N H=Q может быть принята за параметр состоя­ ния системы. Далее, пусть условие безотказной работы (условие проч­ ности) имеет вид

- R < N ( t ) < R ,

где R — некоторое предельное значение осевой силы. Тогда силу N(t) можно принять и за параметр качества системы. Пространство V будет при этом одномерным эвклидовым пространством, т. е. прямой — оо ■-< < N оо, а область допустимых состояний Q0 — отрезком этой прямой. Функция надежности определяется по формуле (16):

нижнюю границу образует критическое значение сжимающей силы для консоли), то вместо (18) следует взять формулу

Заметим, что предельное значение силы может быть функцией вре­ мени R(t). В самом деле, прочность некоторых конструкций изме­ няется во времени под действием физических, химических и тому по­ добных процессов. При этом может иметь место как упрочнение, так и разупрочнение, причем прочность R(t) может быть случайным про­ цессом. Определения функции надежности в форме (17) и (18) остаются при этом в силе. При желании можно выбрать параметры качества си­ стемы таким образом, чтобы граница Г области Q0 была стационарной и детерминистической. Пусть, например, условие безотказной работы задано в виде

что область допустимых состояний представляет собой первый квад-

где W — момент сопротивления сечения при изгибе, получим следую­ щую область допустимых значений £20 в трехмерном пространстве М х, М у, Мг:

пустимая область представляет собой внутренность сферы с радиусом М* (рис. 43, б). Функция надежности РЦ) определяется как

J

Если принять за параметр качества приведенный момент

м г= У M ' i+ M l+ M 'i,

то пространство качества V становится одномерным. Область возмож­ ных значений М Г— полупрямая (0 •< Мг < оо). Для определения функции надежности вместо формулы (21) получаем

На этом примере мы видим, что можно выбирать по-разному простран­ ство V и область допустимых значений П0, сохраняя функцию надежноти инвариантной.

Рассмотрим теперь балку, нагруженную т сосредоточенными си­

лами Qi(0> <3г(0» •••> Qmifl (Рис44, а)- Пусть балка является стати­ чески определимой, а силы прикладываются к балке квазистатически.

Будем считать состояние балки допустимым, если максимальное по модулю значение изгибающего момента М(х, t) не превышает предель­ ного значения М *. Изгибающий момент М (х, t) является кусочно-ли­ нейной функцией координаты. Таким образом, его максимальное по модулю значение достигается в одном сечении, которое находится под силами (или, может быть, в одном из опорных сечений). Во всяком слу-

чае для расчета балки на прочность достаточно знать значения изги­ бающего момента М(х, /) в конечном числе сечений. Обозначим эти зна­ чения через уИ1(/), Л42(/),..., М п{1). Связь между моментами и внешними силами осуществляется при помощи линейного преобразования

которое можно рассматривать как реализацию операторных соотпо шений (14) и (15). Для пространства качества V следует взять я-мерное эвклидово пространство моментов М ъ М 2, ..., М п. Область допустимых состояний £20 задается неравенствами:

-М , < М п (0 < М , ,

т.е. представляет собой л-мерный куб в пространстве моментов (рис. 44, б). Функция надежности вводится согласно формуле (16) как

Приведем еще две эквивалентные записи формулы (25):

Согласно первой формуле, в каждый момент времени т выбирается мак­

ляется как вероятность случайного события, состоящего в TOIVI, Что верхняя грань этого множества не превышает предельного значения УИ Иначе интерпретируется вторая формула (26). Здесь вначале для каж­ дого из сечений находятся верхние грани моментов при 0 < т < ^ за­ тем из найденных значений выбирается наибольшее, которое сравни­ вается с предельным значением. Оба способа, очевидно, эквиваленты. Для аналитической обработки удобнее первоначальная форма (25).

Четвертый пример является некоторым видоизменением предыду­ щего, третьего примера. Пусть внешняя нагрузка распределена не­ прерывно по длине балки и пусть ее интенсивность q(x, t) является слу­ чайной функцией координаты х и времени t (рис. 45). При квазист^тическом нагружении изгибающий момент М(х, t) связан с интенсив­ ностью нагрузки q{x, t) уравнением

dm дх2

Это уравнение вместе с соответствующими граничными условиями мож­ но трактовать как реализацию операторных уравнений (14) и (15). Допустимые состояния находятся из условия, что

а формула для вычисления функции надежности принимает вид

Для сохранения введенной выше геометрической интерпретации мы должны выбрать соответствующее функциональное пространство. В данном случае пространство качества V представляет собой множество функций M(x,t), удовлетворяющих

уравнению (27) при произвольных непре­ рывных функциях q(x,t)\ время t рас­ сматривается при этом как параметр. Иначе говоря, элементами пространства V будут случайные функции M(xJ), заданные на отрезке 0 ^ х ^ /, дважды дифференцируемые и удовлетворяющие граничным условиям, которые соответ­ ствуют уравнению (27). Введем в про­ странстве V норму

|| М (х, t) || = макс \М (х, t) |, (30)

которую можно интерпретировать как «длину» элемента M(x,t). Ус­ ловие (28) принимает вид

|| М (х,Щ < М ..

Это условие может быть интерпретировано как требование того, чтобы элементы М(х, t) находились внутри сферы радиусом М *. Таким об­ разом, допустимая область £20 представляет собой сферу в функцио­ нальном пространстве с нормой (30). Формула (29) переписывается в виде

Р(/) = РГ sup \\М{х, т )||< МЛ . J

Функционально-аналитическая трактовка позволяет описать в еди­ ных терминах постановку задач надежности как для дискретных, так и для распределенных систем. Фактические вычисления функции на­ дежности для распределенных систем требуют развития теории случай­ ных выбросов пространственно-временных случайных процессов и случайных полей1.

1 Заметим, что при решении многих практических задач надежности для рас­ пределенных систем можно ограничиться рассмотрением конечномерных эвклидо­ вых пространств качества. Принимая за параметры качества значения напряже­ ний, перемещений и других факторов в конечном числе заранее выбираемых точек поля, мы придем к конечномерному пространству. Чем больше число взятых то­ чек, тем полнее описывается качество системы и тем точнее будет оценена ее на­ дежность.