1200

Используем найденное точное решение для того, чтобы оценить точ­ ность приближенного решения, найденного по методу статистической линеаризации. Вопрос о линеаризации функции f(u) = sign и рассмат­ ривался в конце § 1.9. Уравнение системы после линеаризации с уче­ том формул (138) принимает вид

где коэффициент а равен единице, если линеаризация проводится из

условия равенства дисперсий, и равен У 2/л, если проводить линеари­ зацию из условия минимума среднего квадратического отклонения. Через ol обозначена дисперсия выходного процесса.

Спектральную плотность выходного процесса S u(co) найдем по фор­

<*и

Отсюда получим уравнение для определения дисперсии а«:

оо

Замечая, что

со

найдем, что ненулевой корень уравнения соответствует среднему квад­ ратическому отклонению

Сопоставляя найденный результат с точной формулой (158), видим, что точные и приближенные значения отличаются лишь числовым мно­ жителем. Первый способ линеаризации дает в формуле для среднего квадратического отклонения коэффициент, равный 0,50. По второму способу получаем 0,63. Точное значение коэффициента, как следует

из формулы (158), составляет 1/|A2 = 0,71. Расхождения довольно велики, хотя оба способа линеаризации предсказывают правильный порядок коэффициента. Существенно, что точное значение лежит вне вилки, образованной двумя способами линеаризации. Таким образом, к распространенным рекомендациям о применении метода статисти­ ческой линеаризации надо отнестись с осторожностью. Добавим к это­ му, что метод линеаризации, дающий удовлетворительное приближе­ ние для дисперсии, вообще говоря, не пригоден для оценки законов

)эаспрёдёлёнйя выходного процёсса. В рассмешенном выше примёрё плотность вероятности ведет себя как 11>, в то время как для нор­ мального распределения, положенного в основу линеаризации, имеем е~и*. Гипотеза нормальности может привести к грубым ошибкам при оценке малых вероятностей.

Стохастические дифференциальные уравнения, описывающие мно­ гомерный марковский процесс, аналогичны по структуре уравнению

Здесь /Дм,, «2. •••. ит) — неслучайные функции; <7;(/) — стационарные белые шумы:

Sjk — 2nSq. qkm

Определяя из уравнения (159) приращения компонентов выходного процесса

Auj = —fj (ult и2, ... , ит) At + J qj (т) dx

Отсюда уравнение Фоккера—Планка—Колмогорова (150) принимает вид

Заметим прежде всего, что даже в том случае, когда внешнее воздейст­ вие q(t) является белым шумом, выходной процесс u(t) будет обладать последействием. В самом деле, чтобы определить u(t) при / 2 > (ъ не­

обходимо знать не только «(/,), но и u(ii). Хотя выходной процесс и{() и не является марковским, но он может рассматриваться как компонент

двухмерного марковского процесса u(t), u(t). Здесь мы впервые встре­ чаемся с ситуацией, когда увеличение числа измерений фазового про­ странства позволяет применить аппарат теории марковских процессор.

С формальной точки зрения дело сводится к замене уравнения (163) эквивалентной системой двух уравнений первого порядка. Полагая

«1 = u{t), и2 = u(t), получаем систему стохастических дифференциаль­ ных уравнений типа (159):

и1 = « 2;

«2 = — 2eu2— f(u) + q.

Интенсивности двухмерного марковского процесса вычислим по фор­ мулам (161):

х1 = «2; х2 = —2е«2—/(Hi);

Уравнение (162) записывается в виде

Уравнение (164) является дифференциальным уравнением в частных производных относительно функций трех независимых переменных и,

и и t. Некоторые частные решения этого уравнения, имеющие важное практическое значение, могут быть сравнительно легко получены. Бу­ дем искать стационарное распределение. Полагая в уравнении (164) dpldt s= 0, перепишем его в виде

Формула (165) означает, что обобщенная координата и обобщенная скорость в стационарном случае независимы. Плотность распределе­ ния обобщенной координаты имеет вид

где Ci — постоянная, определяемая из условия нормировки, а П(и) — функция, аналогичная потенциальной энергии системы, т. е.

U

Для обобщенной скорости получаем нормальное распределение:

и (168), представляет собой распределение Максвелла — Больцмана для системы с одной степенью свободы. Формула (166) замечательна в том отношении, что дает явную связь между распределением обобщен­ ной координаты и потенциальной энер­ гией системы. Положения равновесия соответствуют экстремумам плотности вероятности. Если положение равнове­ сия устойчиво, то потенциальная энер­ гия имеет минимум, а плотность вероят­ ности — максимум. Наоборот, неустой­ чивым положениям равновесия соответ­ ствуют минимумы плотности вероят­

ности (рис. 9).

До сих пор внешние воздействия предполагались дельта-коррелированны­ ми, что сильно сужало область приме­ нения аппарата теории марковских про­ цессов. Увеличивая число компонентов процесса, можно и в более общем случае получить уравнения типа (159), где в правых частях стоят белые шумы. Дело

дробно-рациональных функций. Такие процессы можно интерпретиро­ вать как результат прохождения нормального белого шума через ли* нейный фильтр. Дополняя уравнения системы уравнениями фильтра, получим расширенную систему, которая будет обладать свойством марковости. Если наибольшая степень знаменателя в выражении для спектральной плотности входного процесса равна 2п, то число Компо­ нентов следует увеличить на п.

Поясним этот прием на примере системы (163), на входе которой задан экспоненциально-коррелированный процесс с корреляционной функцией:

ff*(T) = /C0e - « m

(Ко и а — неслучайные положительные константы). Спектральная плотность этого процесса имеет вид

Отсюда видно, что экспоненциально-коррелированный процесс может быть представлен как результат прохождения белого шума q0(t) через систему с оператором 1 (ш) = /со + а. Уравнение этой системы будет

q +aq = q0.

Интенсивность белого шума составляет s0 = 2/С0а. Дополняя уравне­ ния заданной системы уравнением фильтра и вводя обозначение и3 = = q(t), получим систему

U \ = U 2 \

и2 = —2EU2—f {и\)-\-из\

н 3 = — а н з q+о»

описывающую трехмерный марковский процесс. К этой системе пол­ ностью применимы методы, изложенные выше.

Требование о том, чтобы спектральная плотность входного процес­ са была дробно-рациональной функцией, не является безусловным. Любую аналитическую функцию, представляющую спектральную плот­ ность, можно аппроксимировать при помощи дробно-рациональных выражений со сколь угодно большой точностью. Рассмотрим, напри­ мер, процесс с гауссовской корреляцией:

Kq {т) = Ко exp (—а2т2).

Из формулы для его спектральной плотности

видно, что этот процесс эшжнш рассматривать как результат прохож­ дения белого шума через дшгашую систему

с оператором L, который является трансцендентной функцией опера­ тора дифференцирования по времени dldt:

При этом интенсивность белого шума q0(t) составляет

Ко / я

Разлагая экспоненту в ряд, получаем следующее представление для оператора L:

Далее этот ряд усекаем с учетом требуемой точности вычислений. Таким образом, размерность расширенного фазового пространства из­ меняется в зависимости от того, какая погрешность допускается при расчете.

Представление о возможностях аппарата теории марковских про­ цессов будет неполным, если мы не упомянем еще об одном метоДе статистической динамики. Речь идет о комбинации методов нелиней­ ной механики, таких как методы Ван-дер-Поля, Крылова—Боголюбо­ ва и Боголюбова—Митропольского, с методом уравнений Фоккера— Планка—Колмогорова. Как известно, перечисленные методы нели­ нейной механики приспособлены для описания колебательных про­ цессов, амплитуды и фазы которых меняются достаточно медленно. Аппаратом этих методов служат укороченные уравнения относительно амплитуд и фаз. Нетрудно составить аналогичные уравнения для сто­

ваемых на систему и входные процессы, совместная эволюция ам­ плитуд и фаз может рассматриваться как марковский процесс даже в том случае, когда выходной процесс заведомо не является марков­ ским.

В самом деле, чтобы двухмерный процесс u(t), u(t) на выходе системы

мог трактоваться как марковский, необходимо, чтобы время корреля­ ции входного процесса т было мало по сравнению с характерным вре­ менем системы т0 = 2я/со0Таким образом, требуется, чтобы со0т< ^ 1 . Пусть амплитуда и фаза процесса u(t) меняются достаточно медленно, так что характерное время их изменения составляет т0/fx, где р, ма­ лый параметр. Обычно этот параметр имеет тот же порядок, что и ма­ лый параметр, характеризующий нелинейность и нестационарность системы. По отношению к медленно меняющимся амплитуде и фазе входной процесс можно трактовать как белый шум, если выполняется менее жесткое условие т < ^ т 0 /р. Это условие будем записывать в виде

Оно будет выполняться при малом р и в том случае, когда время корре­ ляции входного процесса равно по порядку характерному времени системы, т. е. ы0т ~ 1 . Таким образом, применение метода медленно меняющихся амплитуд и фаз существенно расширяет область приме­ нения аппарата теории марковских процессов.

Проиллюстрируем применение метода на примере уравнения (169).

где aj(x) и а 2(т) — медленно меняющиеся функции времени. Чтобы упростить формальную сторону вычислений, здесь введено «медлен­ ное время» т = pi. При дифференцировании производные по т будем считать малыми по сравнению с производными по /. При интегриро­ вании по t в пределах периода будем рассматривать медленное время т как параметр. Дифференцируя выражение (171), получим с учетом сказанного выше приближенные выражения

Далее, разложим нелинейную функцию f(u, и) и внешнее воздействие q(t, т) в ряд Фурье и отбросим все члены, содержащие высшие гармони­ ки:

f (и, и) ж Fi (ai,a 2)cos(o<n+ F2(ai, a2) sin ©01\

q (t, T) ss <7i( t) COS (£>Qt + q2(x) sin co01.

Подставляя все эти выражения в уравнение (169), получим укорочен­ ные уравнения относительно функций медленного времени а^т) и а2(т):

(172)

Уравнения (172) формально совпадают с уравнениями метода Ван- дер-Поля или уравнениями первого приближения в методе Крылова — Боголюбова. Однако здесь ^(т) и q2{x) — случайные функции. Поэтому уравнения (172) являются стохастическими. Если выполняется условие (170), то внешние воздействия 9х(т) и q2(x) можно приближенно тракто­ вать как белые шумы и, таким образом, записать уравнение Фоккера — Планка—Колмогорова для совместного распределения амплитуд ^(т) И а2(т). Ближайшая задача состоит в том, чтобы выразить интенсивно­ сти этих белых шумов через вероятностные характеристики процесса q(t, т). Эту задачу можно решить разными путями, каждый из которых, к сожалению, не является достаточно строгим даже с точки зрения стандартов, принятых в инженерных и физических исследованиях. Остановимся на одном из способов, который, на наш взгляд, является наиболее прозрачным с физической точки зрения.

Вычислим корреляционные функции процессов, задаваемых фор­ мулами

2Я/(Do

<7I (T) = — jj q (t,x) cos a>0tdt;

2я о

2л /(|)0

(173)

<72 (T) = — q(t,x)sm<a0tdt.

о

Начнем с функции

Так как выходной процесс, согласно предположению (171) явля^тся узкополосным, то его свойства в основном определяются значением спектральной плотности 5 g(to) входного процесса q{t), соответствую, щим частоте (о0. Поэтому при вычислении интеграла реальный процесс можно заменить белым шумом с интенсивностью

S= 2 n S q (сй0).

Подставляя в правую часть формулы для корреляционной фунццин выражение

Ш ъ "Ч) Я(*2. тг) > = 2я 5, (со0) б (/х— /2)

и интегрируя, легко получим

<<7i(*i) Я1 Сч)> = - у

Эта формула пригодна, если моменты времени тх и т2 принадлежат од­ ному периоду х0 = 2тс/о)0. В противном случае правую часть слвдует положить равной нулю. Аналогичное выражение получается для КОр_ реляционной функции процесса *72(т). Таким образом,

Взаимная корреляционная функция процессов ^(т) и q2(x), ка^ Не трудно убедиться, тождественно равна нулю.

Итак, мы получили, что процессы (173) имеют корреляционные фуНк ции, принимающие внутри одного периода колебаний постояннь значения и равные нулю, если моменты времени принадлежат разны^

грешности можно заменить прямоугольную корреляцию дельта.Ко°

Интенсивность s подсчитаем из условия равновеликости плшцаде