1200

где интегрирование производится по области /г-мерного пространства входных параметров, для которой справедливо неравенство

Uj (Яг, Яг>••• >Яп) < «} (/ = 1 ,2 ,..., т).

Дифференцируя функцию распределения по ее аргументам, получим выражение для совместной плотности вероятности выходных парамет­ ров.

При некоторых дополнительных ограничениях нетрудно получить формулы, непосредственно связывающие плотности вероятности для входных и выходных параметров. Предположим, что т < п и что соот­ ношения (9) допускают обращение относительно т переменных qu q2,

оооо

Здесь использовано обозначение для якобиана преобразования:

Пусть т = п и пусть соотношения (9) взаимно однозначны. Вместо (12) получаем формулу

Наконец, рассмотрим случай, когда т~> п. Тогда, очевидно, среди т параметров иъ и2, ..., ит будут функционально зависимыми т — п параметров. Если среди т соотношений (9) можно выбрать п таких, что обратные функции

qi = Qj(di,u2, ... , и п) (/= 1 ,2 ,..., п)

однозначны и дифференцируемы, то для плотности вероятности выход­ ных параметров вновь получим формулу (13).

Формулы (12) и (13) могут быть обобщены на случай, когда функции Qi, Q2»•••» Qn не являются однозначными. В этом случае область изме­ нения аргументов следует разбить на подобласти, в пределах каждой из которых функции Qb Qo, ..., Qn остаются однозначными. Затем сле­ дует просуммировать вклад каждой из этих подобластей в искомое распределение. Если же функции Qx, Q2, ...» Qn являются кусочно-не­ прерывными, то следует воспользоваться общей формулой (10). При этом плотность вероятности ри(и19 и2, ит) будет обобщенной функ­ цией, содержащей особенности типа дельта-функции.

Формулы типа (12), (13) и (14) широко применяются в теории связи и теории автоматического управления. Примером может служить вы­ числение плотности вероятности сигнала на выходе квадратического детектора [62]. В статистической механике конструкций аналогичные приемы применяли начиная с 1958 г. В частности, они широко исполь­ зованы для решения квазистатических задач в нелинейной теории уп­ ругих оболочек [11]. Некоторые приложения к указанным задачам бу­ дут даны в главе И; здесь же ограничимся элементарным примером.

Допустим, что некоторый стержень нагружен изгибающим моментом Мь и крутящим моментом M t. Опасное состояние стержня достигается тогда, когда некоторая функция моментов М ъи M t превышает предель­ ное значение, зависящее от свойств материала и геометрии сечения стержня. Например, для стержня круглого сечения из пластического материала эта функция может быть взята в виде

Здесь М г — приведенный момент, определенный в соответствии с кри­ терием текучести, который основан на наибольших касательных на­ пряжениях. Пусть задана совместная плотность вероятности pq(Mb1M t) для изгибающего и крутящего моментов. Для расчета надежности стержня необходимо знать плотность вероятности ри(Мг) приведенного момента М г. Решение этой задачи сводится к применению формулы (12) при т = 1, п =2.

Выполним вычисления для случая, когда моменты М ь и M t сто­ хастически независимы и подчиняются центрированному нормально­

M t соответственно (квадратные корни из дисперсий). Для упрощения выкладок перейдем к полярным координатам, положив

Mb = MrcosO; М, = М. sin 0

Плотность вероятности p u(Mr) определяется интегрированием по­ лученной формулы по углу 0:

2я pu(Mr)=lP„(Mr,Q)dQ.

0

Используя известную формулу анализа

2л

^ е~а cos vdy = 2л /0 (а),

6

где / 0(а) — функция Бесселя мнимого аргумента нулевого порядка, получим окончательно

В некоторых случаях достаточно ограничиться вычислением тех или иных числовых характеристик выходных параметров. Так, иногда достаточно знать математические ожидания и дисперсии этих парамет­ ров. Вычисления этих и аналогичных числовых характеристик прово­ дятся осреднением соответствующих функциональных зависимостей. Пусть, например, требуется вычислить математическое ожидание не­ случайной функции f(uu и2, ..., ит) от выходных параметров. При из­

вестной совместной плотности вероятности для входных параметров эти вычисления производятся по формуле

В подынтегральном выражении выходные параметры выражаются че­ рез 9,, <72, с учетом зависимостей (9). Здесь и в дальнейшем угло­ выми скобками обозначается операция вычисления математического ожидания.

В качестве элементарного примера покажем, как вычисляются ма­ тематическое ожидание и моменты параметров М ъ М 2, М т, связан­ ные с параметрами Qlt Q2, Qn формулой (8). Применяя к обеим час­ тям этой формулы операцию математического ожидания, найдем

Чтобы вычислить моменты второго порядка, составим произведение MjMh и определимого математическое ожидание. С учетом формулы

(8) получим

и т. д. В некоторых случаях найденных числовых характеристик достаточно для нахождения совместного распределения pu(Mlt М ъ ..., М т). Так, если совместное распределение параметров Qly Q2, ..., Qm—нор­ мальное, то в силу линейности связи (8) будет нормальным распреде­ ление параметров М 1у М 2, ...» М т. Математические ожидания т случайных величин и матрица т Хт их моментов второго порядка пол­ ностью характеризуют m-мерное нормальное распределение.

До сих пор предполагалось, что система является детерминисти­ ческой. Рассмотрим теперь стохастическую вырожденную систему. Стохастическая вырожденная система — это ансамбль, состоящий из большого количества статистически однородных, сопоставимых экзем­ пляров, которые отличаются друг от друга некоторыми параметрами /*1, г2, ..., rs. Для наугад взятого экземпляра эти параметры являются случайными числами. Стохастическая система будет задана, если из­ вестна совместная плотность вероятности pT(rly г2, ..., rs) указанных параметров.

Естественный способ вычисления реакции стохастической системы состоит в следующем. Вначале берется один из экземпляров системы и изучается его поведение при внешнем воздействии. При этом на­ ходится условное распределение вероятностей для выходных парамет­ ров при фиксированных параметрах системы. Затем применяется фор­

типа (12), в которую подставляются функции Qj согласно (24). Обозна­ чим условную плотность вероятности через ри(ии ы2, ит\гх, г2,

...,rs). Плотность вероятности выходных параметров для стохастической системы найдем по формуле полной вероятности:

оооо

Анализ стохастического поведения невырожденных систем пред­ ставляет более серьезные трудности. Исчерпывающее решение задачи, состоящее в получении совместных распределений для выходных па­ раметров, может быть получено лишь в некоторых частных случаях. Обычно приходится удовлетворяться более скромной информацией, например сведениями о математических ожиданиях и младших моментных функциях выходных параметров. В этом и следующих парагра­ фах мы рассмотрим вопрос о нахождении моментных функций невы­ рожденных систем. Вначале мы рассмотрим более простые — линей­ ные дискретные детерминистические системы. Однако многие методы допускают распространение на более общие классы систем.

Цель состоит в том, чтобы при известной связи между входным и выходным процессами, заданной в форме (1) или (5), и известных мо­ ментных функциях входного процесса вычислить моментные функции выходного процесса. Соотношения между моментными функциями оп­ ределяются осреднением уравнений (1) или (5), а также уравнений, ко­ торые получаются из последних в результате простых операций. Метод решения задач статистической динамики, основанный на использова­ нии соотношений между моментными функциями входного и выходного процессов, будем называть методом моментных функций. Реализация этого метода существенно зависит от того, в какой форме заданы исход­ ные соотношения: в форме (1), разрешенной относительно выходного процесса, или в форме (5).

Рассмотрим линейную дискретную детерминистическую систему. Движение такой системы обычно описывается одним обыкновенным ли­ нейным дифференциальным уравнением или системой таких уравнений. Оператор L в уравнении (5) будет при этом линейным дифференциаль­ ным оператором, а оператор Н в уравнении (1) — линейным интеграль­ ным оператором типа Вольтерра. Исходя из уравнения (1), будем по­ лучать явные выражения для моментных функций, содержащие повтор­ ные интегральные операции. Используя уравнение (5), мы получим для определения моментных функций выходного процесса линейные диф­ ференциальные уравнения. Отсюда видно, что целесообразно разли­ чать две модификации метода моментных функций. Метод, основанный на соотношениях типа (1), называется методом импульсных переход­ ных функций, методом весовых функций и т. п. [62, 97, 111].

Аналогичный метод для решения стохастических краевых задач использует понятие функции Грина и называется поэтому методом функций Грина [20]. Как импульсная переходная функция для задачи Коши, так и функция Грина для краевой задачи представляют собой реакцию системы на единичное воздействие. Ввиду этого первую моди­ фикацию метода момеитных функций можно назвать методом функций Грина. Метод, основанный на соотношениях типа (5) (если последние представляют собой дифференциальные уравнения), будем называть методом стохастических дифференциальных уравнений.

В данном параграфе мы рассмотрим подробно метод единичных воз­ действий. Будем исходить из соотношения

Пусть система является линейной и детерминистической. Применяя к левой и правой частям соотношения (26) операцию осреднения по мно­ жеству реализаций входного процесса и замечая, что операция осред­ нения линейна и переставима с оператором Я, получим

Таким образом, математическое ожидание выходного процесса линей­ ной детерминистической системы связано с математическим ожиданием входного процесса той же зависимостью, что и соответствующие реа­ лизации.

Для вычисления моментной функции второго порядка запишем соот­ ношение (26) в форме, дающей выход и(/) в два различных момента вре­ мени ti и t2:

Здесь Hth — оператор, преобразующий процесс q(rft) в процесс и(4).

Умножая первое соотношение (28) на и(Г2)> используя второе соотно­ шение и учитывая свойства операторов Я<, и Я<8, получим формулу, связывающую моментные функции второго порядка для входного и выходного процессов:

Аналогичные соотношения имеют и моментные функции сколь угод­ но высокого порядка. Пусть A. t2, ..., tn — несовпадающие моменты времени. Моментная функция «-го порядка для выходного процесса линейной дискретной детерминистической системы определяется .по формуле

Если некоторые моменты времени совпадают, например А = Г2, то следует воспользоваться формулой (30), выполнив все вычисления при А Ф А. и положить в окончательном результате А = А-

Для приложений значительный интерес представляют центральные моментные функции второго порядка, т. е. моментные функции вто­

Аналогично преобразуются формулы (29) и (30). Например,

И вообще

<u(ti)u(tj ...«(**)> =

*П

$ h (к, Tj) h(t2,x2) ...h (tn, Tn) <q (Tj) q (x2) ...q (т„)> X

X dxr dx2... dxn.

Особый интерес представляют стационарные системы. Для таких систем функция Грина h(t, т) зависит явно только от разности t — х. Таким образом, h{t, т) = h (t— т), и формула (36) переписывается сле­ дующим образом:

и т. д.

Рассмотрим более подробно реализацию операторной формулы (34), связывающей корреляционные функции входного и выходного процес­ сов. С учетом (35) получаем

Если система является стационарной, то приходим к формуле, которая аналогична (39):

— оо — оо

Пусть, наконец, внешнее воздействие является стационарным слу­ чайным процессом. Тогда поведение стационарной системы также бу­ дет стационарным случайным процессом. Корреляционные функции инвариантны относительно сдвига начального момента времени: