1200

сечения будем обозначать через TWo(k2)• Вычислим эффективное вол­ новое число, соответствующее спектральной плотности TWo(k2)i

Волновое число k2e характеризует скорость изменения поля w0(г) в на­ правлении касательной к контуру оболочки. Пусть а2 — характерный размер срединной поверхности оболочки в этом направлении. Если выполняется условие

то при рассмотрении краевых эффектов в областях, достаточно удален­ ных от угловых точек, точек приложения сосредоточенных сил и т. п., можно отвлечься от учета граничных условий в направлении xt — const. Ищем решение уравнения (68) в виде канонического представления типа (1.180):

Здесь роль базисных функций выполняют выражения

ф1 = Ф(х1 |й1, k2) е1к‘Хг;

Фа = Ф ixi 1К k2)e‘k,x'.

Подставим разложения (73) в уравнения (68). В результате получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно функций <p(xi | ku k2) и Tjjfo I klt k2) (штрихами обозначено дифференци­ рование no *i):

Из формул (83) вытекают необходимые и достаточные условия су­ ществования краевого эффекта:

Условия (82) и (84) проиллюстрированы на рис. 26. Граница, опре­ деляемая согласно (82), обозначена сплошной линией, а граница, оп­ ределяемая согласно (84), выделена штриховкой. При \k2\ = £* грани­ цы совпадают. Заметим, что соотно­

с характерным размером оболочки в направлении по нормали к кон­ туру. Этот вывод находится в соответствии с принципом Сен-Венана.

После того как функции q>(jci | к) и ф (л^ | к) найдены, дисперсии, корреляционные функции и т.п. характеристики вычисляются Извест­ ными методами (§ 1.12). В частности, для среднего квадрата перемеще­ ния аУх(г) имеем формулу

оо

§ П.5. Растяжение пластины с начальными неправильностями

Пусть пластина с малыми начальными неправильностями испыты­ вает равномерное растяжение силами N (рис. 27). В этом частном слу­ чае в уравнениях (68) и (74) следует положить Ri~> оо; R 2-*• оо; ц =-

= N 2 = N. Второе уравнение системы (74) дает ф = 0, а первое vDaBнение принимает вид

D (<pIV—2k\ <р -J- ^2 ф) N (ф —^2 <р) = — N -\-k\) е‘к,х‘.

Выпишем общее решение этого уравнения

где га — корни характеристического уравнения

D { r * - k i r - N { r > - k l ) = 0.

Эти корни, очевидно, составляют

Пока выполняется условие х2> —А:|,два характеристических кор­ ня — отрицательные действительные числа, т. е. концепция краево­ го эффекта применима в данной задаче. При положительных х2 (т е при растягивающих усилиях) эти корни по модулю имеют порядок k2 и более. Таким образом, можно ожи­

дать выполнения условия (77) и быст­ рого затухания краевого эффекта. При сжимающих усилиях краевой эффект затухает медленнее. Условие х2 = —k\,

как следует из (87), соответствует ра­ венству

N = N , ( 0, k2) = - k 2D.

Здесь N#(0, k2) — критическое усилие по линейной теории, соответствующее волновому числу k2 (при этом kx = 0). Итак, при достижении критического усилия краевой эффект вырождается.

Пусть х2 > — k\. Тогда решение (86), ограниченное на бесконеч­ ности, примет вид

Как и ранее, используется обозначение А2 = k] Вычислим по­ стоянные Сх и С2для случая жесткого защемления пластины на линии

хх — 0. Требуя, чтобы выполнялись условия ф(0) — ф'(0) = 0- ле1*ко получим

х2 (К * !+ х 2+ /*,)

(*2 + х2) ( ] Л 2+ х 2- * 2) '

________ X2 (fe2+ tfei)_______

(*2 + х2) (]A jj + x2- * 2)

Выражение (88) после небольших преобразований записывается сле­ дующим образом:

Применим формулы (85) и (89) для вычисления среднего Квадрата (дисперсии) перемещения при условии, что поле начальных неправиль­ ностей ш0(г) представляет собой узкополосное поле со спектральной плотностью, аппроксимируемой выражением:

Здесь ст„ и k0 — некоторые положительные постоянные. Подстановка выражения (90) в формулы (85) и (89) дает

Заметим, что правая часть формулы (91) остается конечной при я >

> —2 .

На рис. 28 представлены результаты вычисления дисперсии пере­ мещения в функции от koXi при различных значениях параметра п. Как видно из диаграммы, дисперсия перемещения с ростом до­ вольно быстро приближается к асимптотическому значению

2

< 1^ ( 0°, х2) |2> =

(исключение составляет случай сжимающей силы, близкой к крити­ ческому значению). Вместе с тем, максимальные значения дисперсии в зоне краевого эффекта могут существенно превышать асимптотичес­

кое значение.

Аналогично вычисляются дисперсии, корреляционные функции, спектральные плотности и тому подобные характеристики различных полей, которые получаются из полей ^(г) и х(г) посредством линей­

ного преобразования. Рассмотрим вопрос о вычислении этих характе­ ристик в общей форме. Пусть т(г) — некоторое поле, связанное с по­ лями ^ (г) и %(г) соотношением

m = l1

оо

В частности, полагая г = г \ получим формулу для среднего квадрата

оо