ных расходов, математическое ожидание прибыли за время Эксплуата­

ции системы в допустимой области и т. п. Некоторые соображения, ка­ сающиеся экономического аспекта надежности конструкций, были при­ ведены в нашей статье [22].

§ II 1.4. Метод условных функций надежности

Как уже указывалось выше, область допустимых значений может быть стохастической. Наибольший интерес представляют случайные изменения этой области при переходе от одного элемента ансамбля систем к другому. Если стохастические свойства системы могут быть охарактеризованы конечным числом случайных параметров, то задачу определения функции надежности целесообразно решать в два этапа. На первом этапе рассматривается система с фиксированными парамет­ рами, для которой строится функция надежности. Эта функция пред­ ставляет собой, по существу, вероятность пребывания системы в допу­ стимой области при условии, что параметры системы фиксированы. По аналогии с условной вероятностью будем называть найденную функ­ цию условной функцией надежности. На втором этапе применяется формула полной вероятности и вычисляется функция надежности для наугад выбранной системы, принадлежащей данному ансамблю. Опи­ санный метод будем называть методом условных функций надежности.

Обозначим параметры системы через ги г2, . . . , га и будем считать, что совместная плотность вероятности р(г) компонентов вектора г =

— (ги г2>■■■>га) задана. Рассмотрим один из элементов ансамбля с фик­ сированным вектором г. Реакция этого элемента u(/|r) на случайное внешнее воздействие q(t) ищется как решение стохастического урав­ нения типа (14) с оператором L, зависящим от параметров системы. Обращая оператор, найдем

Здесь Я = L - 1. Далее согласно соотношению (15) перейдем к пара­ метрам качества системы. Оператор М при этом также зависит от ком­ понентов вектора г. После того как стохастические характеристики параметров качества

вычислены, находим условную функцию надежности как вероятность пребывания выбранного элемента ансамбля в соответствующей ему допустимой области:

Поскольку свойства системы, как правило, являются случайными, то целесообразно объединить оба подхода. Вообще говоря, случайные параметры rlf г2, ...» га и s2, sp стохастически зависимы. Обоз­ начим их совместную плотность вероятности через р(г, s). Выбрав один из элементов системы, найдем его реакцию на одну из реализаций внеш­ него воздействия. После перехода к параметрам качества определяем условную функцию надежности

воздействие представляет собой однократное квазистатическое нагру­ жение от нуля до некоторого случайного значения, характеризуемого совокупностью параметров slt s2, ..., sp. Будем считать, что система находится в области допустимых состояний Q0, если выполняется некоторое неравенство, связывающее параметры системы rlf г2, ..., га и

Если указанные параметры фиксированы, то условная надежность оказывается равной либо единице, либо нулю в зависимости от того, выполняется или не выполняется неравенство (39). Таким образом, условная надежность определяется как

1, если ¥ (г, s) > 0;

Ро =

0, если ¥ (г, s) < 0.

Подставляя это выражение в формулу (38), получаем полную надеж­ ность

Р = 5 ^р(г, s)drds.

а.

Смысл этой формулы состоит в том, что надежность вычисляется как вероятность попадания в область Q0, заданную неравенством (39). На­ пример, если свойства системы характеризуются одним параметром прочности R, а свойства нагрузки — одним параметром 5, то формула принимает вид

Формула (40) соответствует ранней трактовке понятия надежности конструкций. Эту трактовку мы находим в работах Н. С. Стрелецкого [108], А. Р. Ржаницына [102] и А. Фрейденталя [128].

Остановимся подробнее на одном частном случае формулы (40). Следуя А. Р. Ржаницыну [102], будем считать, что R ^ 0, S ^ 0, а условие безотказной работы (39) имеет вид

V = R - S > 0.

Вероятность попадания в область, где это условие выполняется (рис. 46), составляет

ооR

P = \ d R fp(R, S)dS.

Оо

Эта вероятность вычисляется особенно просто, если допустить, что параметры R и S независимы и подчиняются нормальному распределе­ нию. Положим, что

причем параметры этого распределения будут

<Y> = </?>-<S>;

^ = о % + о

Замечая, что в данном случае

оо

P = P O F > 0 )= $ p (¥ )d ¥ ,

о

получим окончательно следующую формулу для гауссовского уровня надежности

_ <R> — <S>

У «я + °1

Исключительная простота расчета достигнута благодаря далеко идущим допущениям. К ним относится, например, допущение о том, что параметр R подчиняется нормальному распределению. Очевидно, что это допущение противоречит природе параметра прочности R. Основ­ ной же недостаток элементарного подхода состоит в игнорировании фактора времени. Эксплуатация конструкций развертывается во вре­ мени и поэтому их надежность является функцией времени. Именно неучет этого обстоятельства послужил причиной того, что ранние пред­ ложения по расчету надежности конструкций оказались неудач­ ными.

Применим формулу полной надежности (38) для оценки надежнос­ ти и долговечности в случае, когда причиной отказа является накоп­ ление усталостных повреждений в конструкции. Стохастический ха­ рактер отказов при усталостном повреждении имеет три источника [14]. Во-первых, процесс накопления повреждений в каждой конкретной конструкции является случайным процессом, если даже процесс изме­ нения напряжений является чисто детерминистическим. Во-вторых, внешние воздействия носят случайный характер. В-третьих, сопро­ тивление конструкции усталостным повреждениям существенно изме­ няется при переходе от одного экземпляра конструкции к другому. Как известно, разброс долговечности при усталостных испытаниях весьма велик. Максимальная долговечность может превышать мини­ мальную на два-три порядка и даже больше. Этот разброс наблюдается даже при испытаниях на детерминистические циклические нагрузки.

Его основная причина состоит в том, что усталостная долговечность весьма чувствительна к малым изменениям параметров прочности кон­

струкции, а эти параметры изменяются случайным образом в ансамбле конструкций.

Рассмотрим один из элементов ансамбля конструкций с параметра­ ми прочности ги г2, ... га. Пусть этот элемент подвергнут действию цик­ лических нагрузок с параметрамиsu s2, .... Sp. Долговечность конструк­ ции при этих условиях (условную долговечность) обозначим через Т(г, s). Вообще говоря, условная долговечность является случайной величиной. Но по сравнению с изменчивостью долговечности, обус­ ловленной переходом от одной конструкции к другой или от одного типа нагрузок к другому, разброс условной долговечности можно счи­ тать пренебрежимо малым. Тогда для плотности вероятности условной долговечности можно принять выражение

р(Т | г, s) —б [Т — ТДг, s)l.

Здесь Г (г, s) — характерное значение условной долговечности (на­ пример, ее математическое ожидание). Для условной функции надеж-

Sехр 2а? vdv ~ о2 ,

получим

а.

(у*— а)2

V-|- (у* ) ^ ^2navг ~ ехр

Введем обозначение

1/2

ГS v (со) co2rfco

(57)

С S* (со) dco

о

Параметр со,,, имеющий размерность сек_1, будем называть эффектив­ ной частотой процесса v(t). Если процесс v(t) — узкополосный с не­ сущей частотой оз0, то по теореме о среднем

Таким образом, для узкополосного процесса эффективная частота оз() практически совпадает с несущей частотой оз0. С учетом обозначений (57) формула (56) принимает вид

Отсюда видно, что эффективная частота со,, может быть интерпретиро­ вана как средняя частота положительных пересечений среднего уров­ ня процесса.

Рассмотрим теперь несколько более сложный пример. Пусть про­ цесс по-прежнему является гауссовским, однако не является стацио­ нарным. К необходимости рассматривать процессы этого типа мы при­ ходим, например, в статистической теории сейсмостойкости [12], в ко­ торой сейсмическое воздействие схематизируется в виде нестационар­ ного гауссовского процесса. Другим примером может служить задача о пересечении стационарным гауссовским процессом нестационарного (детерминированного или случайного) гауссовского уровня. Пример такого рода был недавно рассмотрен А. С. Гусевым [45].