1200

Кроме того, использованы следующие обозначения: А — оператор Лап­ ласа на срединной поверхности; b = Я/ср — коэффициент температуро­ проводности для оболочки (Я — коэффициент теплопроводности мате­ риала оболочки, с — его удельная теплоемкость, р — его плотность), Р± = и± Л/Я — коэффициенты Био для наружной и внутренней по^ верхностей,

Р++Р - Р+—Р_

— о— ; Ч = ~ ~

При составлении уравнений теории тонких упругих оболочек при наличии поля температур, заданного в форме (100), будем считать уп­ ругие характеристики не зависящими от температуры. Уравнения в пе­ ремещениях имеют вид:

,а £ Л

ные перемещения; u3 = w — нормальное перемещение; а — коэффи­ циент линейного температурного расширения; Ну — коэффициенты Ла­

Уравнение краевого эффекта у кругового края круговой цилиндри­

и соответствующих ему граничных условий. Корреляционные функции для прогиба w ji его производных находятся далее по формулам типа (109).

Если в одном из координатных направлений оболочку можно рас­ сматривать как бесконечно длинную, то двухмерные дискретные разло­ жения (106), (108) и (ПО) заменяются на дискретные разложения по одной из координат и интегральное разложение — по другой коорди­ нате. Если входные параметры описывают стационарный временной эргодический случайный процесс, то временной компонент еш может быть выделен из канонических функций фр*(г, t) и т. д. В этом случае каноническое разложение будет интегральным по времени t. Из-за не­ достатка места мы не входим здесь в детали; некоторые дополнитель­ ные соображения будут даны ниже — в связи с задачей о случайном термоупругом поле в круговой цилиндрической оболочке.

В качестве простейшего примера рассмотрим круговую цилиндри­ ческую оболочку, находящуюся в среде, температурное поле в которой является симметричным относительно оси оболочки. Пусть температур­ ное поле среды является стационарной случайной функцией времени. Пусть, далее, масштаб корреляции по координате х настолько мал, что оболочку можно рассматривать как бесконечно длинную, а температур­ ное поле как однородную случайную функцию координаты х. Дискрет­ ное разложение (106) заменяется при этом интегральным разложением

оооо

Здесь @(k, со) — дельта-коррелированная случайная функция вол­ нового числа k и частоты со. Таким образом, базисные функции Фр(х, 11k, со) имеют, вид

где функции a$(k, со) определяются с учетом соотношений (102). Под­ ставляя выражения (113) в уравнения (101), легко найдем базисные функции в интегральных разложениях, соответствующих дискретным разложениям (108):

Дискретному разложению (ПО) в данном случае соответствует ин­ тегральное разложение

где

B = k*D + —

R 2

Используя формулы (112), (113), (115) и (116), нетрудно вычислить корреляционные функции, спектральные плотности и дисперсии раз­ личных параметров. В качестве примера вычислим характеристики из­ гибающего момента

<т*ц (х, t)m n (x', /')> =

оо оо

Для дисперсии момента тп в точке, достаточно удаленной от задел­ ки, формула (130) с учетом (120) принимает вид

Далее, используя формулы (129) и (130), вычислим дисперсию момента тп в сечении х — 0

имеет смысл коэффициента концентрации напряжений в заделке, вы­ численного по дисперсии.

Приведем результаты вычислений по формулам (131)—(133) при некоторых частных предположениях относительно спектральной плот­ ности Sr{k, со). Пусть температурное поле в среде является простран­ ственно-временным белым шумом

Параметр у зависит только от коэффициента Пуассона

'Т + ^

У—

Здесь использованы обозначения

Вычислим интегралы в формулах (137), предполагая, что спектраль­ ная плотность (со) определяется выражением

со0

Чг(со) = — .

ЛCOQ + О)2

Это соответствует корреляционной функции вида

< П (X , о 7+ (*', / + т)> = К о е - щ 1т1