1200

Вычисления Даю?

Если случайное поле температур вызывается турбулентными пуль­ сациями в жидкости или газе, то естественно принять следующую ана­

Дальнейшие вычисления производятся по формулам (131) и (132). Ин­ тегралы, входящие в правые части этих формул, определяются чис­ ленными методами. Ряд температурных и термоупругих задач рассмот­ рен в работах [85—89].

Т Е О Р И Я Н А Д Е Ж Н О С Т И И Д О Л Г О В Е Ч Н О С Т И С О О Р У Ж Е Н И И

§ II 1.1. Основные понятия

Современные сооружения, машины и устройства представляют со­ бой сложные системы, предназначенные для выполнения разнообраз­ ных функций. Несущие конструкции зданий и сооружений предназна­ чены для воспринятия внешних нагрузок; ограждающие конструкции— для обеспечения тепловой, звуковой и тому подобной изоляции; транс­ портные средства — для перемещения грузов и пассажиров; вычисли­ тельные машины — для переработки цифровой и логической инфор­ мации и т. д. Помимо основных функций, составляющих главное назна­ чение систем, может ставиться еще целый ряд требований. К ним от­

системы, будем называть ее качеством. Разработка и создание систем, обладающих все более высокими качествами, составляет основное со­ держание технического прогресса.

Система будет эффективной только в том случае, если качество, за­ ложенное в ее проект, будет сохраняться в течение всего времени, уста­ новленного для эксплуатации системы. В понятие эксплуатации мы включаем не только полезное функционирование системы, но и всю совокупность операций над нею, начиная от изготовления и кончая демонтажом или сносом. Качество может быть утрачено не только во время функционирования, но и, например, при возведении или транс­ портировании. Вопрос о сохранении качества имеет весьма большое значение. Реальная система всегда в той или иной мере отличается от идеализированной системы, составляющей содержание проекта. Это отличие обусловлено многочисленными технологическими несовершен­ ствами, дефектами материала, некондиционностью комплектующих элементов и т. п. Условия эксплуатации реальной системы также мо­ гут существенно отличаться от тех условий, которые рассматривались на стадии проектирования. Поэтому параметры функционирования реальной системы могут оказаться далекими от расчетных значений. Та­ ким образом, не будет обеспечен необходимый уровень качества систе­ мы. Система окажется недостаточно эффективной.

Утрата эффективности может быть не только частичной, но и пол­ ной. Могут встретиться нарушения качественного характера вплоть до необратимого выхода системы из строя. Примерами служат: потеря несущей способности конструкции, отказ радиотехнического устрон-

шем мы рассмотрим некоторые из этих понятий в форме, приспособлен^ ной для механических систем.

Одним из основных понятий теории надежности является понятие отказа. Отказом называется частичная или полная утрата качества си­ стемы. К отказам относятся недопустимые отклонения параметров сис­ темы от расчетных значений, временные нарушения нормальной эксп­ луатации системы, полный выход системы из строя. В строительной механике этому понятию соответствует понятие предельного состоя­ ния. Поэтому ниже мы не будем делать различия между указанными понятиями.

Значительная часть отказов имеет механическое происхождение. Даже в радиотехнических устройствах мы весьма часто встречаемся с отказами, вызванными разрушением или механическим поврежде­ нием элементов и связей между ними. Предельные состояния конструк­ ций и сооружений более разнообразны. Примерами предельных состоя­ ний, приводящих к выходу конструкции из строя или по крайней ме­ ре требующих прекращения ее эксплуатации, могут служить обру­ шение, опрокидывание, потеря устойчивости равновесия сжатых эле­ ментов, хрупкое разрушение и т. п. Многие отказы носят постепенный характер: параметры системы по мере эксплуатации постепенно ухуд­ шаются и в некоторый момент времени достигают значений, при кото­ рых дальнейшая эксплуатация становится невозможной или нецеле­ сообразной. К явлениям этого типа принадлежат процессы накопле­ ния остаточных деформаций, механический и коррозионный износ, рас­ трескивание, выветривание и т. п.

Почти все отказы вызваны влиянием случайных факторов, которые либо заложены в систему при ее изготовлении и возведении, либо дей­ ствуют на нее в процессе эксплуатации. Поэтому отказы, как правило, носят случайный характер. Трактовка отказов как случайного собы­ тия является исходным пунктом при построении теории надежности. За меру надежности системы принимается вероятность случайного события, состоящего в том, что в течение всего установленного срока эксплуатации Т * не произойдет ни одного отказа. Эта вероятность, обозначаемая в дальнейшем через Р{Т*)> называется обычно просто на­ дежностью системы.

Надежность ответственных систем должна быть достаточно близка к единице. Было предложено [22] измерять надежность в логарифмаческих единицах (беллах), определяя уровень надежности как

r = I g - i - = - I g ( l - P ) ,

где Q — вероятность наступления хотя бы одного отказа. Надежности Р = 0,99 соответствует уровень г = 2 белла, надежности Р = 0,99д __ уровень г = 3 белла и т. д. В расчетах, основанных на гипотезе о НОр, мальности всех параметров, естественно пользоваться гауссовским

Произведение %(t) dt представляет собой условную вероятность отказа в течение интервала времени /, t + dt для системы, безотказно прора­ ботавшей время t. Надежность выражается через интенсивность отка­ зов следующим образом:

Если интенсивность отказов X постоянна во времени, то из формулы

(3) вытекает экспоненциальный закон распределения отказов (рис. 36)

Экспоненциальный закон широко применяется при расчете надежнос­ ти радиотехнических и электронных устройств. Заметим, что даже для типовых элементов этих устройств изменение отказов во времени не следует формуле (4). Обычно вначале интенсивность отказов относи­ тельно велика. Затем она снижается и остается примерно постоянной в те­ чение длительного интервала эксплуа­ тации, увеличиваясь к концу его всл ед-

ствие старения и износа (рис. 37).

ч _______/

Понятие надежности тесно связано с понятием долговечности. Под долговечносШо пинимают "Свойство системы, обеспечивающее ее дли­ тельную эффективность при заданных условиях эксплуатации. За меру долговечности обычно принимается либо время работы системы от на­ чала эксплуатации до выхода из строя, либо полная наработка (т. е. суммарное время полезного функционирования, суммарный пробег, суммарная производительность и т. п.). В дальнейшем меру долговеч­ ности будем называть просто долговечностью и обозначать через Т

Долговечность системы Т является случайной величиной. Распре­ деление этой величины может быть выражено через функцию надеж­ ности. Пусть, например, эксплуатация системы прекращается после первого отказа. Тогда функция распределения долговечности F(T) определяется следующим образом:

Здесь Р(() — функция надежности системы. Плотность распределения долговечности Р(Т) совпадает при этом с частотой отказов p(t) при t = = Т Средняя долговечность вычисляется как

00

<7’> —5 tp(t)dt.

О

Отсюда после интегрирования по частям и использования формулы (1) получаем

Из приведенных соображений видно, что между понятиями надеж­ ности и долговечности имеются соотношения взаимности. В связи с этим нет смысла противопоставлять эти понятия или даже полагать, что каждое из них, взятое в отдельности, еще не характеризует устойчивость ка­ чества системы. Вместе с тем очевидна необходимость рассматривать процесс изменения надежности во времени на протяжении всего установленного срока службы системы. В качестве примера сопоставим два случая изменения надеж­ ности во времени, показанные на рис. 38. Пусть кривые / и 2 относятся к двум разным типам систем, предназна­ ченным для выполнения одинаковых функций в одинаковых условиях. Пусть начальные значения надежности Р(0) и значения Р(7\.), соответствующие уста­ новленному сроку службы, у обеих си­

стем одинаковы. Но у первой системы максимум частоты отказов сме­ щен в сторону больших значений /. Средний срок службы, вычисляе­ мый по формуле (6), у системы первого типа будет больше. Первая система будет более эффективной, хотя вероятности отказа обеих си­ стем к моменту времени t = Т* равны. Заметим, что наш вывод отно­ сительно эффективности может измениться, если системы проходят предварительную тренировку в течение времени 0 < t ^ Т0, после чего производится отбраковка, ремонт или замена дефектных элемен­ тов. При этих условиях вторая система может оказаться более эффек­ тивной.

Заметим, что для экспоненциального закона надежности (4) формула (6) дает

Таким образом, интенсивность отказов при экспоненциальном законе надежности равна обратной величине от математического ожидания долговечности. Формула (4) принимает вид

Итак, функция надежности P(t) характеризует как надежность, так и долговечность системы. Для систем с восстановлением, ремонтом, профилактикой и т. п. описание надежности и долговечности несколь­ ко усложняется; однако и здесь могут быть введены некоторые сово­ купности функций времени, которые достаточно полно характеризуют способность системы к сохранению качества.

§ II 1.2. Некоторые простейшие задачи теории надежности

Одной из основных задач теории надежности является оценка на­ дежности и долговечности систем по известным законам распределения надежности и долговечности ее элементов. Способ вычисления надеж­

Безотказная эксплуатация системы из последовательно соединен­ ных элементов есть случайное событие, равное произведению незави­ симых случайных событий — безотказных эксплуатаций каждого 113

ее элементов. Надежность системы определяется по теореме умноже­ ния вероятностей

Если надежности всех элементов равны между собой, т. е. если Рг =

Как видно из формул (8) и (9), надежность систем из последователь­ но соединенных элементов меньше надежности каждого из элементов, взятых в отдельности. С увеличением числа элементов надежность си­ стемы быстро падает. Если число т достаточно велико, то практически невозможно получить систему, обладающую удовлетворительной на­ дежностью. Пусть, например, т = 1000, Р0 = 0,99. Тогда по формуле

(9) получаем, что надежность системы Р — 10“ 4. Практически система оказывается абсолютно ненадежной.

Покажем, как вычисляется долговечность системы из последова­ тельно соединенных элементов. Пусть функции надежности всех эле­ ментов одинаковы и имеют вид (4). Тогда по формуле (9)

Р = е ~ ти.

Математическое ожидание долговечности системы вычислим по формуле (6)

Выражая интенсивность отказов X через математическое ожидание долговечности одного элемента <Т0у, получим окончательно

Таким образом, средняя долговечность системы уменьшается обратно пропорционально числу ее элементов.

Остановимся теперь на способе взаимодействия элементов, кото­ рый в некотором смысле противоположен только что рассмотренному (рис. 39, б). Пусть система состоит из п элементов с надежностями Р 2, Рп. Пусть по-прежнему отказы элементов — независимые слу­

чайные события; однако отказ системы происходит только в том слу­ чае, если откажут все ее элементы. Такое соединение называется па­ раллельным. Примером может служить параллельная работа генера­ торов, мощность каждого из которых достаточна для обеспечения уста­ новленной потребности: система энергоснабжения откажет только тог­ да, когда выйдут из строя все генераторы. Другим примером служит стрельба по одной цели несколькими снарядами, если для поражения цели достаточно попадания одного из снарядов. Более затруднитель-

но привести пример из строительной механики. На первый взгляд, с параллельным соединением мы встречаемся при рассмотрении ста­ тически неопределимых систем, выход из строя которых требует раз­ рушения всех избыточных связей. Однако здесь дело обстоит сложнее. Одна из причин заключается в том, что выход из строя одного из эле­ ментов системы приводит к перераспределению усилий в остальных элементах. Таким образом, одно из условий, при которых мы трактуем соединение как параллельное, — независимость отказов отдельных элементов — здесь не выполняется.

В случае последовательного соединения вероятность безотказной работы системы определялась как произведение вероятностей безотказ­ ной работы всех ее элементов. В случае параллельного соединения, наоборот, теорема умножения применяется к вероятностям наступле­ ния отказов. Обозначая эти вероятности через Qlf Q2, Qn, получим

п

Q= П О ,, k= 1

Отсюда надежность системы из параллельно соединенных элементов определяется как

Если надежности всех элементов одинаковы, то вместо формулы (Ц) имеем

Надежность системы оказывается здесь выше, чем надежность лю_ бого из ее элементов. Пусть, например, п = 2, Р0 = 0,99. Тогд^ на_ дежность системы составляет Р = 0,9999. Способ повышения н^деж. ности путем параллельного подключения дублирующих элем^нтов широко применяется повсюду. В теории надежности этот способ на_ зывается резервированием. В радиотехнике и электронике при Этом говорят о «горячем резервировании» (в отличие от более экономичного «холодного резервирования», при котором резервные элементы чаются в работу только в том случае, если происходит отказ рабо^аю_ щего элемента).

Принимая, что надежность каждого из элементов подчин^тся экспоненциальному закону (4), вычислим по формуле (6) среднюю Дол_ говечность системы. С учетом формул (4), (6) и (12) получим

оо

<г> = $ [1 - ( 1 - е“ х' ) 1 dt. 0

Интеграл в правой части вычисляется при помощи подстановки