1200
.pdfРешение этого уравнения, удовлетворяющее нулевым начальным ус ловиям, будет
, t |
—£/ / |
«А—е |
sin Wg / |
• |
- е ( cos cog i- |
0)о |
'I>л (*) = ■
“ 0 + a * - 2e0tA
Математическое ожидание и моменты выходного процесса u(t) мо гут быть теперь найдены по формулам (74), (75) и т. п. Например, сред ний квадрат процесса u(t) выражается через моменты второго поряд
ка коэффициентов Qb Q2, |
и функции ф,,(0: |
|
|||
/ ц2(л\ _ |
|
_________ <QjQh>__________e-aj t_ |
|||
|
|
(“ o + a y —2eaj) (“ o + aA~2ea*) *- |
|||
—e~et (COS (08t - |
a,-—e |
e~ah‘— e |
E‘ (cosaet — |
||
|
Sin (0e/j |
||||
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
аЛ—e sin coe t |
|
|
Часто бывает целесообразно выделить из ряда (71) математическое |
|||||
ожидание процесса |
|
|
|
|
|
|
?(0 = <<7(0>+2Qft«pk(0. |
(76) |
|||
|
|
|
|
к |
|
а функции ф^/), ф2(/), |
|
выбрать таким образом,чтобы коэффициенты |
|||
Фурье Qlt Q2, |
были стохастически независимыми. Тогда все взаим |
||||
ные моменты второго порядка этих коэффициентов будут равны нулю:
<QiQh> = 0 (/ ф к). (77)
Спектральное представление в форме (76) с коэффициентами, удовлет воряющими условиям (77), будем называть стохастически ортогональ ным представлением или каноническим разложением (по В. С. Пуга чеву [97]). Если входной процесс q(t) задан в виде канонического раз ложения (76), то корреляционная функция выходного процесса опре деляется по формуле
У =21 < Q b * k(*i) **('*)• |
(7® |
к |
|
Для упрощения выкладок часто используются комплексные выра
жения. В частности, функции ф ^), ф2(0, .... %(*). Фг(0. в разло жениях (71), (72) и (76), а также случайные коэффициенты^, Q2, могут быть комплексными. Оператор взятия действительной части от комплексной функции обычно явно не выписывается. При этом целе сообразно ввести такое определение для моментов второго порядка и со ответствующих моментных функций, чтобы для дисперсий автомати чески получались действительные выражения. Этим свойством обла дает, например, следующее выражение:
K q(t1, t 2) = {q*{t1)~q(t2)y. |
(79) |
Здесь звездочка обозначает переход к комплексно-сопряженной величи не. Формула (78) для корреляционной функции, заданной в виде (79), перепишется так:
к ч{h, ^ ) = 2 < iQ ft|2>Ф; (tx)фа (/,). |
(во) |
До сих пор рассматривались дискретные спектральные представ ления. Для процессов, заданных при —оо ^ t < оо и, в частности, для стационарных случайных процессов, часто используется спект ральное представление в виде обобщенного интеграла Фурье:
ОО
<7(0= § Q И <Р(71со) d(0.
— Эо
Здесь ср(/|со)—детерминистическая функция времени t и параметра преобразования со, Q(со) — случайная функция параметра со. Без ог раничения общности можно считать, что параметр со принимает все возможные действительные значения —оо <; со < оо. Функцию Q(co) будем называть спектром процесса q(t).
Рассмотрим непрерывный аналог канонического разложения (76):
|
оо |
<7(0 = <<7(0>+ |
(81) |
|
— оо |
Условие стохастической ортогональности (77) в непрерывном случае принимает вид
(Q* И Q (со')> - |
S,, (со) б (со —со'). |
(82) |
Здесь S q(со) — детерминистическая |
функция параметра со; |
6(со) |
дельта-функция. Соотношение (82) означает, что спектр каноническо го разложения является дельта-коррелированной функцией парамет ра со. Функцию S q(со) будем называть спектральной плотностью про цесса q(t). Учитывая соотношение (82), легко получим формулу, связы
вающую спектральную плотность S q{со) с корреляционной |
функцией |
|
процесса: |
|
|
|
оо |
|
K q |
t2) = S S v((О) ф* (t, I со)ф (t21CO) dco. |
(83) |
|
— оо |
|
Наиболее важным примером стохастически ортогонального инте грального представления типа (81) является разложение центрирован,
ного стационарного случайного процесса в интеграл |
Фурье: |
оо |
|
q (t) = § Q (со) еш dux. |
(84) |
—оо |
|
При этом, очевидно, ф ( /1со) = еш *. |
|
* При строгом изложении спектральной теории стационарных процессор
используется понятие стохастического интеграла Фурье—Стильтьеса.
Нетрудно показать, что спектр Q(to) является дельта-коррелиро ванной функцией. В самом деле, вычисляя по формуле (79) корреля ционную функцию процесса q(t)
оо оо |
|
— оо — оо |
|
замечаем, что она будет зависеть только от разности |
т = t2 — tx в |
том случае, если спектр Q(со) удовлетворяет условию |
(82). Формула |
оо |
|
К ч(т)= J St/(со) еЫх da |
(85) |
— оо |
|
устанавливает связь между корреляционной функцией и спектральной плотностью стационарного случайного процесса. Обратное соотношение имеет вид
|
оо |
|
Sq (<*>)= |
J К„ (т) е - ‘«* di. |
(86) |
— оо
Пусть процесс q(t), заданный в форме
оо
9(0 = $QH<p(/|co)d(o,
— оо
проходит через линейную систему, уравнение которой задано в форме (54). Для выходного процесса получим спектральное представление, аналогичное дискретному представлению (72):
оо |
|
u(t) = j Q(со) ф ( /1со) da. |
(87) |
—оо |
|
Здесь ф(/|со) — детерминистическая функция t, зависящая от © как от параметра; эта функция определяется как решение уравнения
7д|)= ф. |
(88) |
Используя решение в форме (87), легко вычислим математическое ожидание выходного процесса
оо
<и(0> = $ <<2И>Ф(< |co)dw, —оо
моментную функцию второго порядка
60 оо
<u*(t1)u(t2)>= $ § <Q* (со) ф (© 0>Ф *(^И гММ
—оо — оо
ит. д. Если входной процесс q(t) задан в форме (81) со спектром, удов летворяющим условию (82), то математическое ожидание выходного
процесса определяется из уравнения (55), а корреляционная функция— по формуле типа (78):
оо
Ки Vi> *2) = \ |
И ф* (/, I со) ф (*»10)) </со. |
(89) |
Поясним реализацию метода спектральных представлений в непре рывной форме на простом примере. Вновь рассмотрим линейную коле бательную систему, движение которой описывается уравнением (44). Пусть система при / < 0 находится в покое, а при t = 0 на систему начинает действовать случайная нагрузка, которая представляет со бой заданную при t > 0 реализацию стационарного случайного про цесса. Таким образом, спектральное представление имеет вид (87), где
,,, , I 0 |
( « 0 ) ; |
» (' |Ю) = Ь '" ' |
((> 0 ). |
Отметим, что нагрузка q(t) является нестационарной; поведение си стемы также будет, разумеется, нестационарным.
Всоответствии с общей методикой решение уравнения (44) ищется
вформе (87). Функция ф(/|со) определяется как решение дифферен циального уравнения
^ + 2 в ^ + < в§ ф = е^ > dt2 dt
удовлетворяющее нулевым начальным условиям. Легко находим, что
еш |
-e.tl |
* , t“ + e . |
|
(cos a&t+ —— sin ше < |
|
Ф (* I ®) = — |
|
-ccr -|-2IEW |
|
|
|
Вероятностные характеристики выходного процесса определяются |
||
далее осреднением соответствующих |
выражений, получаемых» на ос |
|
нове выражения (87). В |
частности, |
корреляционная функция вычис |
ляется по формуле (89), где S q(со) — спектральная плотность процес
са q(t), заданного при —оо ^ |
оо. Для среднего квадрата выход |
ного процесса имеем выражение |
|
оо |
|
< I “ ( 0 12) = | 5 |
? (о))|ф(/|со)|Ма). |
При t оо средний квадрат стремится к постоянному значению:
Sq(CD) dto
<|«(оо)|*>= Г г -3 ^ 2 , о;_|2 (90)
J w0 — со +2/есо
Это значение соответствует установившейся реакции системы на стацио нарное воздействие.
Метод спектральных представлений легко распространяется на многомерные случайные процессы. Пусть, например, внешнее воздей ствие описывается п функциями qx{t), q^t), ..., qn(i), а поведение си стемы—т функциями u^t), u2(t), .... um(t). Предположим, что внешнее
воздействие допускает |
стохастически ортогональное представление |
||||
типа |
(81): |
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
9/(0 = <<7/(0>+ |
$ Qj И ф; {t I «) da |
(/= 1, 2, |
п). |
(91) |
|
|
— оо |
|
|
|
Спектры QJ((D) удовлетворяют условию типа (82): |
|
|
|||
|
(Q* (со) Qh(со')> = S4.gh(со) б (со—со'), |
|
(92) |
||
где |
S q 7^(со) — взаимные спектральные |
плотности |
процессов |
qj(t) |
|
иqh{t). Решение уравнения (71) ищем в виде
Поо
Uj (/) = <Uj (t)> + |
>3 |
5 Qa M ф/a (t | CO) dco |
(93) |
|
a= 1 |
—oo |
|
(/= |
1, |
2 ,..., m). |
|
Через ф/а(^|со) обозначены решения детерминистической системы урав нений
2 |
Ljk Фба — ®/a Фа |
/ = 1, |
2, ... , |
/Г\ |
|
а — 1, |
2 ,..., |
/г/ |
|||
Л = 1 |
|
где б/а — символ Кронеккера. Эти решения имеют смысл детерминис тических реакций системы на воздействие qa = cpa(^ | со) при всех ос тальных qj = 0. Перемножая выражения (93) при различных / и в различные моменты времени, придем после осреднения и учета условия ортогональности (92) к следующей формуле для взаимных корреля ционных функций:
ПП оо
Kuj uk {tX, tt) = 2 |
2 |
$ Sga gp (со) 0|)*a (<! I со)ф*э (/, | CO) d(0. |
a= 1 |
P = 1 |
— oo |
Эта формула обобщает формулу (89) применительно к многомерным случайным процессам.
§ 1.7. Прохождение стационарного случайного процесса через стационарную линейную систему
Одна из наиболее часто встречающихся задач статистической ди намики состоит в изучении реакции стационарных линейных систем на стационарное случайное воздействие. Методы, изложенные в преды дущих параграфах, полностью применимы к этой задаче. Представля ет интерес получение простых соотношений, дающих решение зада чи в замкнутом виде.
Рассмотрим линейную стационарную систему, описываемую урав нением (54):
Lu = q. |
(94) |
Пусть входной процесс q(t) является стационарным случайным процес сом. Поскольку реакция линейной системы на математическое ожида ние входного процесса определяется отдельно из уравнения (55), то без ограничения общности можно принять, что процесс q(t) является центрированным, т. е. что <^(/)> = 0. Процесс q{t) представим в ви де стохастического интеграла Фурье (84) со спектром Q(co), удовлет воряющим условию (82) и спектральной плотностью S q{со), связан ной с корреляционной функцией соотношениями (85) и (86).
Рассмотрим вначале случай, когда оператор L является линейным дифференциальным оператором с постоянными коэффициентами:
dv |
dv~ l |
d |
(95) |
L = a0----- M |
i ----- - + |
... + av- i — + av. |
|
dtv |
dtv~ l |
dt |
|
Здесь a0, alt ..., av — детерминированные числа. Уравнение (88) для данного случая принимает вид
£ф = еш . |
(96) |
Поскольку на функцию ф(/) не накладывается никаких условий, кроме ограниченности на ± оо, то решение уравнения (96) будет
Выражение L(uо) получается из выражения (95) для оператора L пу тем замены оператора дифференцирования dldt на ш:
L (ко) = а0(ico)v+ at (tco)v—1+ ... + av_i (to o )a v .
Подставляя найденные выражения в формулу (89), получим
оо
^.w= j s4(со) е‘ит d<o
Сравнивая результат с формулой типа (85), выражающей корреля ционную функцию выходного процесса К и(т) через его спектральную плотность
К и(т) = j Su (о) е,шг dco,
— оо
найдем связь между спектральными плотностями входного и выход ного процессов:
Формула (97) является основным соотношением, дающим решение задачи о прохождении стационарного процесса через стационарную линейную систему. После того как спектральная плотность выходного процесса найдена, легко вычисляются его корреляционная и моментная функции, корреляционные функции производных от выходного процесса, дисперсии выходного процесса и его производных и т. д.
Нетрудно обобщить формулу (97) на более широкий класс опера торов L. Пусть, например, оператор L имеет вид
где и L2 — линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами. При этом порядок оператора L2 должен быть по край ней мере на единицу меньше порядка оператора Lx. Задание оператора L в форме (98) эквивалентно тому, что уравнение системы предпола гается имеющим вид
Lxu = L%q.
Повторяя выкладки, аналогичные приведенным выше, получим для спектральной плотности выходного процесса формулу (97). Функция L(ico) будет в этом случае дробно-рациональной функцией.
Рассмотрим еще более широкий класс линейных операторов. Будем трактовать метод спектральных представлений стационарных случай ных процессов как обобщение классического метода преобразований Фурье на случайные функции. Будем искать решение операторного уравнения (94) в виде интеграла Фурье:
оо
и (t) — j U (со) еш dco,
где U(со) — трансформанта Фурье для случайной функции u(t). Урав нение (94) в пространстве Фурье будет иметь вид
L (/со) £/ (со) = Q (со),
где L(tco) — образ оператора L в этом пространстве (импеданс системы). Составляя выражение для корреляционной функции трансформанты f/(co) и используя формулу типа (82)
<^* (с°) U (со7)) = Su(со) б (со —со'),
вновь придем к формуле (97). При этом Цссо), вообще говоря, будет трансцендентной функцией параметра со. Заметим, что выражение
Н (ico)
ЦШ)
называется в теории автоматического управления передаточной функ цией системы, а основная формула (97) записывается в виде
S,, (®) = | Я (i®) |2 Sq(со).
Передаточная функция //(ico) связана с импульсной переходной функцией h(t) (функцией Грина) соотношением
100
Н(ico) = — ^ h ( t ) e - ‘«‘ dt.
Проиллюстрируем применение формулы (97) на простейшем приме ре. Пусть входная функция q(t) в уравнении (44) является стационар ной случайной функцией со спектральной плотностью S?(co). Импе данс системы имеет вид
L (ico) = «о —со2 + 2/ео).
Отсюда по формуле (97) находим
S„ (to)
S , » = /,.2 ,,2\2 + 4е2 ш2 (99) (со0 —(О)
Используя формулу (99), можно вычислить различные вероятност ные характеристики выходного процесса. Например, для среднего квад рата получаем формулу (90), которая ранее была получена из рассмот рения нестационарной реакции системы при t-*- оо. Для широкого класса функций S q(a>) интеграл в формуле (90) может быть вычислен в аналитической форме. Допустим, например, что внешнее воздействие
является белым шумом. Тогда S (со) = = S0 = const. Интеграл
/ =
dco
(o)g— ю2)2 + 4е: СО I (“ о -
легко находится по теореме |
вычетов. |
Окончательно получаем |
|
JIS Q |
( 100) |
< М 2 |
|
2есо^ |
|
Если диссипация в системе достаточно мала, то для среднего квад рата выходного процесса может быть получена приближенная форму ла, справедливая при произвольной, хотя и медленно меняющейся функции S q(со). В самом деле, при малом е спектральная плотность (99) принимает большие значения лишь в достаточно малой окрестнос ти частот ±со0 (рис. 8). При этом в формуле (90) интеграл по множест ву значений —оо ^ со < оо можно приближенно заменить суммой интегралов по двум достаточно малым интервалам До, накрывающим частоты ±со0. Если в этих интервалах функция S q(со) меняется доста-
точно медленно, то по теореме о среднем ее можно вынести за знак ин тегрирования. Таким образом,
0)0+ |
|
Л(0 |
|
< |a |« > * 2 S ,K ) |
j* |
|
(CDQ— со2) 2 + 4е~ со2 |
|
1 А |
||
й)0---j |
Д<0 |
||
Но подынтегральное выражение в правой части принимает вне интер валов Асо пренебрежимо малые значения. Поэтому можно снова рас пространить область интегрирования на полубесконечный интервал:
Дсо
Г |
dm |
_ i ‘ _______ dm__________ я |
|
J |
((OQ—со2)2 + 4е2 О)2 |
~ \ (со2 — со2)2 + 4е2 со2 |
4есо2 |
1 А |
|
0 |
|
©о—~2 Д* |
|
|
|
В результате приходим к формуле |
|
||
|
<|U |2> * ! ^ 1 L ) |
(101) |
|
|
|
2есо5 |
|
Формула (101) отличается от формулы (100) тем, что в нее входит значение спектральной плотности, соответствующее собственной час тоте системы со0. Механический смысл данного приближенного подхо да состоит в следующем. При малом демпфировании колебательная система имеет весьма избирательный характер. Из спектра внешнего воздействия она выбирает те компоненты, частоты которых весьма близ ки к собственной частоте системы. Выходной процесс является узко полосным, т. е. основная часть энергии процесса сосредоточена в узкой части спектра, лежащей вблизи частоты (о0. Поэтому реакция системы с большой точностью выражается через значения спектральной плот ности входного процесса, соответствующие указанной частоте.
В статистической динамике весьма часто приходится вычислять интегралы типа
S(/ (to) rf(o |
( 102) |
|
/v = I I L (la) Г- |
||
|
При этом Ь(ш) обычно является рациональной или дробно-рациональ ной функцией, все корни которой s = iio лежат в левой полуплоскости (в противном случае состояние равновесия системы и = 0 было бы не устойчивым). Спектральная плотность Sg(co) является четной функцией со, причем эта функция также обычно бывает дробно-рациональной. Вместо интеграла типа (102) целесообразно рассматривать интеграл
|
mv (со) dm |
(103) |
|
/v = |
1 М ®) м - ® г * |
||
|
|||
|
|
3 Зак. 1481 |
49 |
|
где /v(to) и mv(cо) — полиномы с комплексными коэффициентами. При этом полином mv(co) содержит только четные степени со, а его сте пень по крайней мере на две единицы меньше, чем степень полинома /v (o>)/v(—со). Таким образом,
1Ч(со) = а0cov—|— cov—1-)-... -1- otv—l ©"bflv>
mv(w) = b0©2v—2 + bxco2v—4 + ...-+- 6V—2 co2 -f- 6V—i '»
где ao. flti. •••» <V> 60, &i, •••, &v-i — комплексные коэффициенты. Все корни полинома /v(co) лежат в верхней полуплоскости. Например, если /v(co) = L(iсо), то все корни /v(co) получаются из корней /.(/©) по
воротом комплексной плоскости по часовой стрелке на угол -|я .
Интеграл (ЮЗ) вычисляется по теореме вычетов:
/ v= 2ш 2 |
mv (со) |
|
(®) (—“ ) ’ |
||
p = i |
Например, если все корни ©р полинома /v(co) простые, то
Iv — 2m' т,v ( “ p)
Ч шр) Ч - “ р)
Применение этой формулы требует вычисления явных выражений для корней уравнения /v(co) = 0. Если v > 2, то вычисления могут сильно осложниться. С другой стороны, поскольку все корни уравне ния /v(co) = 0 равноправны, то интеграл (103) должен зависеть от сим метрических функций этих корней и, следовательно, должен рацио нально выражаться через коэффициенты полинома lv(a>). Вывод фор мул, связывающих интеграл (103) с коэффициентами полиномов (104), можно найти в специальной литературе. Приведем окончательный результат. Интеграл (103) вычисляется по формуле
г _ m'(—l)v+l |
Dab |
(Ю5) |
аа |
’~Z7~ . |
|
Da |
|
где D a — определитель v-ro порядка;
аt) и
aj |
flfl |
0 |
0 |
0 |
й3 |
|
|
а„. .. 0 |
|
аь |
а4 |
а3 |
аг •..0 |
|
0 0 0 0 ..