1200

тим, что с увеличением пролета возрастает математическое ожидание изгибающих моментов (штриховая линия на рис. 22). Поэтому можно ожидать, что для балок со случайно смещающимися опорами сущест­ вуют некоторые оптимальные с точки зрения прочности длины пролетов.

§ Н.З. Расчет докритических деформаций тонких упругих оболочек

Деформации тонких упругих оболочек под нагрузкой весьма чувст­ вительны к малым начальным отклонениям срединной поверхности от идеальной формы. Это проявляется, в частности, в большом разбросе опытных данных при испытаниях оболочек на устойчивость. Стохасти­ ческие задачи в теории оболочек обычно решают, применяя прямые методы. При этом распределенная система заменяется эквивалентной в некотором смысле системой с конечным числом степеней свободы. Приближенные решения такого рода оставляют чувство неудовлетво­ ренности. Вместе с тем, если исходить из линеаризированных уравнений, то при некоторых достаточно широких предположениях удается полу­ чить точные решения стохастической краевой задачи.

В работе В. В. Болотина и Б. П. Макарова [27] эта задача решается на основе уравнений, получаемых линеаризацией уравнений теории оболочек в окрестности начального напряженного состояния. Исполь­ зуется дополнительное предположение о малости масштаба начальных отклонений и масштаба их корреляции по сравнению с характерными размерами срединной поверхности, а также предположение об однород­ ности поля начальных отклонений. Выводятся общие формулы для кор­ реляционных функций, дисперсий и спектральных плотностей пара­

жений от свойств начальных отклонений и от начальных напряжений в срединной поверхности.

Пусть дана тонкая упругая оболочка с начальными отклонениями от идеальной формы. Предположим, что внешняя нагрузка такова, что в идеальной оболочке возникает чисто безмоментное напряженное состояние, формы потери устойчивости являются быстро изменяющими­ ся функциями координат, а критические параметры пренебрежимо мало зависят от размеров оболочки и граничных условий на ее контуре. Пусть, далее, отклонения от идеальной формы достаточно малы и имеют достаточно малые масштабы изменяемости и корреляции. При значе­ ниях нагрузки, не слишком близких к критическим, этими свойствами будут обладать перемещения точек срединной поверхности нагружен­

Здесь ш(л:х, х2) — функция нормальных перемещений; %(к1, х2) — функ­ ция тангенциальных усилий; D — цилиндрическая жесткость; Е — модуль упругости; h — толщина оболочки; q — интенсивность нор­ мальной нагрузки; Ьар — тензор начальной кривизны срединной по­ верхности, s“P — единичный антисимметричный тензор на срединной поверхности. Если отклонения от идеальной формы малы, то для ре­ шения стохастической краевой задачи можно применить метод малого параметра. Положим, что

где bad — тензор кривизны идеальной поверхности; р. — малый па­ раметр. Пренебрегая изменением метрики вследствие безмоментной деформации, ищем решение уравнений (40) в виде

Подстановка в уравнения (40) выражений (41) и (42) после сравнения членов, содержащих р, дает

- 5 “V * i S W x . = ? .

Кроме того, введено обозначение для тензора начальных безмоментных усилий №», а поправка к тензору кривизны (41) выражена через функ­ цию начальных отклонений w0(x1, х2):

SaK SPft Vx Vn Xo = Л/“Р; бар’ = Va VP w o-

Так как по предположению масштабы изменения и корреляции функций wg, WX и XI малы по сравнению с масштабами изменения мет­ рики и кривизны идеальной срединной поверхности, то уравнения (43) можно упростить, переписав их в ортогональных координатах (ли­ ниях кривизны) г = Хх, х 2 с единичным метрическим тензором и заме­ нив тензорные производные соответствующими частными производными

Здесь Rx, R 2 — главные радиусы кривизны идеальной срединной по­ верхности; сохранено правило суммирования по индексам а, |3.

Предположим теперь, что гг/0(г) — случайная функция координат с математическим ожиданием, равным нулю. Рассмотрим область, до-

статочно удаленную от границ и других линий искажения. Можно ожидать, что при сделанных выше предположениях о характере нагруз­ ки и при быстро изменяющемся поле начальных отклонений w0(г) влия­ ние границ на поведение оболочки во внутренней области будет доста­ точно мало. Тогда можно вообще отвлечься от эффекта границ, заменяя граничные условия требованием ограниченности функции на беско­ нечности (краевые эффекты будут рассмотрены в следующем парагра­ фе). Если в достаточно большой области срединной поверхности па­ раметры оболочки и начальные безмоментные усилия можно принять постоянными, а функцию начальных неправильностей да0(г) можно рас­ сматривать как однородное случайное поле, то стохастическая задача решается известным методом из § 1.13.

Однородное центрированное случайное поле w0(г) допускает спек­ тральное представление в виде стохастического интеграла Фурье

где к = (klt k 2) — волновой вектор, dk = dkjdk2, lF0(k) — спектр поля а/0(г). Последний связан со спектральной плотностью 5 Шо(к) соотно­ шением типа (1.186)

где 6(к) — двухмерная дельта-функция. Соответствующая корреля­ ционная функция Kw0(?)> где Р — г>— г> выражается через S w, (к) согласно теореме Винера—Хинчина (1.192)

Представим случайные поля да^г) и Xi(r) в форме интегралов типа (45) и учтем, что поля связаны между собой уравнениями (44). С ис­ пользованием формул типа (46) получим следующие формулы для спектральных плотностей полей WX(T) и Xi(r ):

Здесь введены обозначения

Кроме того, k 2 = k\ -f- k\.

Спектральные плотности остальных параметров напряженно-де­ формированного состояния оболочки выражаются через 5 ш,(к) и SXl(k), а также через их взаимную спектральную плотность

S .,x, (k) = f(k )G (k )5 .,(k ).

Так, флуктуационные напряжения аи в точках г = ±/г/2 опреде­ ляются как

_ 1 52 xi , Eh /а * » ц , 3 * w i\

± i ( T ^ ( l 4 + v д4 )■

Отсюда получаем спектральную плотность

Формулы типа (48) и (50) позволяют сделать некоторые общие выводы об изменении спектрального состава полей Wi(г), Xi(r) и т. д. в Зависи­ мости от характера и величины начальных безмоментных усилий. Рас­ смотрим выражение для /"(к). Функция / ’(к) есть по существу Переда­ точная функция системы, связывающая начальные отклонения средин­ ной поверхности от ее идеальной формы с дополнительными отклоне­ ниями ®i(r). Формулы (48) и (50) сохраняют смысл, пока функция /•■(к) не имеет действительных полюсов. Уравнение для нахождения полюсов

совпадает с уравнением для нахождения критических усилий в л^йейной теории устойчивости оболочек. Напомним, что растяжению соот­ ветствует случай N n > 0, N 22> 0. Таким образом, теория приме^иМа пока начальные усилия меньше, чем их критические значения, опреде* ляемые по линейной теории.

Волновые числа, которые соответствуют наиболее быстро растуЩИм отклонениям, найдем из условий

d f ( k ) = 6F (к) __ 0 dkx dk2

Допустим, что нагрузка задана с точностью до параметра q. 3 ^ ^ - няя в уравнении (51) N a$ на qNa$, получим, что критическое значсНИе параметра нагрузки равно:

С другой стороны, с учетом (53) формула (49) для /'(к) при q < ^(к) записывается в виде

Отсюда видно, что функции <7*(к) и ^(к) принимают стационарные значения при одинаковых волновых числах klt k2. Таким образом, пе­ редаточная функция /"(к) принимает максимальное значение для откло­ нений, совпадающих с формами потери устойчивости в линейной тео­ рии. Именно эти отклонения растут быстрее всего, пока остаются при­ менимыми линеаризированные уравнения (44).

Определение корреляционных функций по спектральным плотнос­ тям (48) и (50) сводится к двухмерному преобразованию Фурье типа (47). В общем случае это преобразование может быть проведено только численными методами. Вместе с тем имеется широкий класс задач, для которых аналитические вычисления могут быть доведены до конца. Рассмотрим, например, сферическую оболочку, нагруженную равно­ мерным давлением. Если начальные неправильности оболочки обра­ зуют изотропное поле, то интеграл в формулах типа (47) сводится к од­ нократному интегралу по «радиальному» волновому числу k. В самом деле, с учетом соотношений (1.193) формулы для корреляционных функ­ ций полей wx(г) и %х(г) принимают вид

Kw, (Р) = 2л J F2 (k) Sw>(k) Jо (kp) kdk:

где S w£k), F(k) и G(k) зависят только от модуля k.

В § 1.12 был рассмотрен класс изотропных двухмерных случайных полей, для которых спектральная плотность имеет вид (1.194):

Здесь с, k0 и п — константы; при этом параметр ka характеризует мас­ штаб корреляции. Случай п = 2 соответствует двухмерному марковс­ кому полю (аналогу экспоненциально-коррелированной функции од­ ной независимой переменной). При п > 2 формула описывает диффе­ ренцируемое случайное поле. В дальнейшем полагаем гг целым числом (п = 3, 4, ...). Корреляционная функция начальных отклонений опре­ деляется по формуле (1.195).

Вычисление корреляционных функций для аух(г) и Xi(r) в случае изотропного поля отклонений со спектральной плотностью (55) произ­ ведем методом контурного интегрирования. Рассмотрим, например,

Частным случаем выражения (60) является формула для безразмер­ ной корреляционной функции перемещений пластины (формула при­ годна только при растягивающих усилиях в срединной поверхности)

2Р (х0* -Р а)»+1

В соотношении (61) сохранены обозначения (58). При этом параметр R, который входит в коэффициент заменяется некоторой характер­ ной длиной.

Остановимся подробнее на случае п = 3. Выражение для безразмер­ ной корреляционной функции (60) примет вид

SV (т) = ai УIх K x f - b iW

Коэффициенты aj выражаются через х0, ух и у2 следующим образом: