1200

Обобщим формулу (100) на случай, когда допустимая область огра­ ничена с двух сторон: г»** < v (() < у*. Вместо (95) имеем следующее выражение для функции надежности

sup i'(т)<Су*~

Напомним теорему о сложении вероятностей, обобщенную на слу­ чай совместимых событий. Пусть А и В — совместимые события. Ве­ роятность того, что произойдет либо событие А, либо событие В, опре­ деляется как Р(А + В) = Р(А)+Р(В)— Р(АВ). Отсюда следует, что Р(Л + В )< Р(Л) + Р(В). Если Л и В — редкие и слабо связанные

смысл которой сводится к тому, что при вычислении вероятности сум­ мы редких событий можно пренебречь вероятностью их совместного осуществления.

Применим приведенные выше соотношения для вычисления вероят­ ности Q(t) того, что за время 0 ^ т ^ / произойдет хотя бы один выб­ рос из допустимой области. Поло­ жительному пересечению уровням* соответствует событие Л, отрица­ тельному пересечению уровня у**— событие В. Обозначая соответствую­ щие вероятности пересечений через

Q*(t) И <?**(/), получим

Таким образом, мы нашли для функции надежности P(t) оценку сни­ зу. Если средние числа пересечений уровней у* и у** малы по сравне­ нию с единицей, то можно пользоваться приближенной формулой

Использование в наших рассуждениях формулы типа (112) соответствует тому, что мы пренебрегаем вероятностью появления реализаций

типа 3 и 4 на рис. 62.

и безразмерные параметры

Интеграл, входящий в правую часть формулы (117), не выражается непосредственно через табулированные функции. Применяя прием из книги [14], можно выразить его через бесконечные ряды. Для этого следует разложить один из экспоненциальных множителей в подын­ тегральном выражении в степенной ряд и произвести почленное ин­ тегрирование. Разлагая в ряд первый экспоненциальный множитель, придем к ряду, члены которого выражаются через функции парабо­ лического цилиндра. Разлагая второй экспоненциальный множитель придем к двойному ряду. Воспользуемся вторым способом, более удоб­ ным для фактических вычислений. Произведем в подынтегральном вы­ ражении формулы (117) замену

Под знаком интеграла стоит равномерно сходящийся ряд. Интегри­ руя его почленно и замечая, что

= — г (i±£V

Если для оценки условной надежности вместо формулы (100) при­ менить формулу (106), то придем к выражению

Таким образом, в этом приближении условная надежность подчиня­ ется экспоненциальному закону. Полная надежность (114) этому за­ кону, вообще говоря, не следует. Заметим, что если в формуле (119) время t рассматривать как параметр, то выражение в правой части мо­ жет быть истолковано как функция распределения абсолютного мак-

Вообще говоря, мера повреждения D(t) является случайной функ­ цией, а условная долговечность Т — случайной величиной (рис. 63). Однако чем больше число циклов до разрушения, тем меньше относи­ тельная изменчивость условной долговечности. Поэтому приближенно можно принять, что

p{T) = 6 { T - T J

(см. аналогичные соображения в конце § III.4).

Переходим к вычислениям. Выражение для кривой усталости возь­ мем в виде

где N 0 — число циклов, соответствующее перелому на кривой уста­ лости, m — положительный показатель степени, г — характерное зна­ чение параметра прочности (предел выносливости). Параметры N„ и m будем считать детерминистиче­

скими, а параметр г — следующим

Плотность распределения максимумов узкополосного гауссовского процесса s{t) с математическим ожиданием, равным нулю, определяет­ ся согласно формуле (93) как

Подставляя выражения (124) и (125) в формулу (123), получим -i—i

Интеграл в правой части выражается через функцию Х-распределе- ния Пирсона [109). Окончательно получаем

Формула (126) дает выражение для условной долговечности. Ус­ ловная надежность в рамках сделанных гипотез рпределяется по фор­ муле типа (41).

Полная надежность определяется по формуле (42), где F(r) — функ­ ция распределения параметра г, а г*(/) — корень уравнения Т# (г) == = /. При достаточно высоком уровне напряжений в формуле (126) можно приближенно положить, что

prs"+!( iH -

Тогда для /**(/) получаем выражение

При малых r0 (или больших crs) эта формула может быть упрощена:

Р (/) = ехр | — — а, ”' / шТГ Г( — + 1

щг<= У 2nN0

Таким образом, мы пришли к вейбулловскому' закону надежности

Р(0 = ехр ( —с/р)

споказателем степени (5 = aim. Этот результат согласуется с общей

теорией стохастической поверхности усталости [14].

§ II 1.9. Оценка функций надежности в случае многомерного пространства качества

До сих пор предполагалось, что качество системы характеризуется одним параметром v(t) и, следовательно, пространство V является од­ номерным эвклидовым пространством. Обобщим результаты предыду­ щих параграфов на случай многомерного эвклидова пространсхВа у

Общая схема вычислений остается прежней. Вначале мы выведем фор­ мулу для математического ожидания числа пересечений траекторией v(t) границы Г допустимой области Q0; затем используем найденное значение для приближенной оценки функции надежности.

Пусть й 0 — односвязная область в п-мерном эвклидовом простран­ стве V, ограниченная замкнутой гладкой поверхностью Г Пусть, далее, в этом пространстве стохастически задана случайная траекто­ рия v(/) с совместной плотностью вероятности для вектора v(/) и его первой производной по времени p(v, v; t).

Найдем математическое ожидание числа пересечений траекторией v(/) поверх­ ности Г в направлении внешней нор­ мали к поверхности. В целях краткости эти пересечения будем называть поло­ жительными. Математическое ожидание числа пересечений в единицу времени будем обозначать через лц_(Г; t). Про­ ведя рассуждения, аналогичные тем, которые были сделаны при выводе фор­ мулы (48), получим следующую фор­ мулу для v+(r; /):

Здесь Л (Г; At) — вероятность случайного события, которое заклю­ чается в том, что за достаточно малый интервал А/ произойдет одно по­ ложительное пересечение поверхности Г процессом v(/). Эту вероят­ ность можно записать следующим образом:

где Ай — некоторый тонкий слой, окружающий поверхность Г; ип — нормальная составляющая первой производной от процесса v(/), т. е.

i)n = (v, n), п — орт внешней нормали (рис. 65). Выражая вероятность Рх(Г; At) через совместную плотность вероятности p(v, v; /), получим

и высоту, равную нормальной составляющей Avn приращения век­ тора v(/) за время А/:

Дуп = упД^+ о(А0 .

Гl n > 0

где vr берутся на поверхности Г

Формула (130) является обобщением формулы (49) на случай много­ мерного пространства качества V Заметим, что некоторые ограничения, наложенные ранее на свойства поверхности Г, могут быть устранены. Например, если поверхность Г является кусочно-гладкой, то нор­

мальная составляющая vn будет определена всюду, кроме некоторых линий — ребер поверхности. Можно ожидать, что для достаточно пе­ ремешанных многомерных случайных процессов вероятность пересе­ чения поверхности Г через ребра будет пренебрежимо малой. Поэтому формулу (130) можно распространить и на кусочно-гладкие поверхнос­ ти. Формула (130) распространяется также на случай многосвязнои области £20, а также на случай неограниченных областей (например, полупространства).

Все рассуждения из § III.7, относящиеся к приближенным оценкам для функции надежности P(t) и вероятности отказа Q(/), остаются приме­ нимыми и в случае многомерного пространства V Вместо формулы (100)

для функции надежности Р(/) полу­ чаем оценку снизу

пуассоновский поток, получим ф0р. мулу типа (106)

Рис. 66

и т. д. Как и в одномерном случае, формула (132) дает для функции иО' дежности оценку снизу; формула (133) при некоторых orpaHH4eilUJlSi

накладываемых на свойства процесса \(t), Дает асимптотическое np,i- ближение. При этом принято, что Р(0) = 1 .

Рассмотрим примеры приложения выведенных формул. Пусть про­ странство качества V является двухмерным, а^ область « 0 представляв

собой прямоугольник со сторонами 2гц и 2t>2 (Рис- 66). Подсчитаем

Подставляя сюда выражение (134) и используя условия согласован­ ности для многомерных распределений, правую часть этой формулы можно несколько упростить. В самом деле:

оо

^ Р з ( у 1 , v 2) d u 2 - p ( v 1);

— оо

оо

$ P 2 ( v l t v 2) d v i - - p { v 2).

-оо

Покажем, как вычисляются интегралы, входящие в формулу (138). Возьмем, например, интеграл*

Выделив в подынтегральном выражении полный квадрат линейной функции от у2, введем новую переменную

v2 — a* v \ —' а \

------- - — р ---------

| / 1 — Р2

Аналогичный интеграл рассматривался в § III.5 при выводе формулы

(63).