К= 1 + 3,322 logN.

Энтропию можно использовать также как меру сложности строения многокомпонентных систем, например горных пород и слагаемых ими толщ. Для этой цели удобно применить величину относительной энтропии, вычисленную по формуле Пелто:

N

-lO O ^ lo g /)

и- ____ г=!______

где Р, - доля /-компоненты в многокомпонентной системе; Нт - log N; /V- число измерений между параметрами точек.

Величина Hz, выражаемая в процентах, получает максимальное значение при равновероятном распределении компонентов и мини­

5.3. Использование автокорреляционных функций для решения геологических задач

Случайная функция Х(1) называется стационарной, если все ее вероятностные характеристики не зависят о+ / (точнее, не изменя­ ются при любом сдвиге аргументов по оси /).

Стационарная случайная функция отличается постоянством математического ожидания, постоянством дисперсии и зависимо­ стью ее корреляционной функции не от двух аргументов, а только от расстояния г между первым и вторым аргументами: Кх{1,1 + г) = = Ыг).

Следовательно, автокорреляционная функция стационарной случайной функции представляет собой функцию не двух, а одного аргумента, что сильно упрощает математические операции над ними.

Корреляционная функция стационарной случайной функции выражается через корреляционный момент соответствующих сече­ ний случайной функции и характеризует степень связи между ними в зависимости от значений аргумента. В общем виде она может быть выражена формулой

Kx(r) = - ^ - L] [ /( x (.)-M x ][/(x (+r)-Mx]dx,

L г о

где L - длина исследуемого профиля (участка); г - расстояние меж­ ду точками наблюдений, выраженное числом интервалов между ними; f(xj) - переменная величина (например, значения содержаний металла в пробах в ряду, который начинается значением Х\ и закан­ чивается значением (х,,_,.); f(xi+r) - переменная величина (например, значение содержаний металла в пробах в ряду, который начинается значением х,+г и заканчивается значением х„); Мх-среднсе значение переменной величины /(х)в интервале от 0 до L.

На практике часто пользуются корреляционной функцией, нормированной по дисперсии рд(г) = Kx(r)/Dx.

Значения функции рх(г) представляют собой коэффициенты корреляции между сечениями случайной функции, разделенными расстояниями г. Очевидно, что значение рд(0 ) равно 1.

Для количественного описания характера изменчивости ста­ ционарных случайных функций используется также структурная функция (вариограмма), которая рассчитывается через квадраты разностей значений признака в точках, отстоящих друг от друга на расстоянии г:

Между структурной и корреляционной функциями существует почти строгая зависимость при г заведомо меньшем, чем

L:yx(r) =2[Kx( 0 ) - K x(r)].

Корреляционная функция стационарной случайной функции постепенно убывает с увеличением аргумента до определенного его значения, называемого пределом корреляции, и равна нулю при значениях аргумента, больших предела корреляции Ее структур­ ная функция возрастает в том же интервале значений г, а при рас­ стоянии большем предела корреляции равна удвоенному значению статистической дисперсии исследуемого свойства.

При расчетах эмпирических, корреляционных и структурных функций знаки интегралов заменяются знаками суммы, поскольку сеть наблюдений дискретна. При равномерной дискретной сети на­ блюдений эмпирические корреляционные и структурные функции рассчитываются по формулам

п-г

где /-порядковый номер замера в исследуемом ряду значений х; п - общее число замеров; г - последовательно принимает значения 1, 2 , 3,..., (п —1).

Расчет значений эмпирической нормированной корреляцион­ ной функции заключается в вычислении коэффициентов корреля­ ции между значениями исследуемого ряда с порядковыми номера­ ми от I до (п - г) и значениями того же ряда, сдвинутыми относи­ тельно исходного на г значений, то есть ряда с порядковыми номерами от г до п.

С помощью корреляционных или структурных функций могут быть выражены основные особенности пространственной изменчи­ вости изучаемого признака:

-общий уровень колебаний его значений;

-предельные расстояния между соседними точками наблюде­ ний, начиная с которых значения изучаемых признаков можно счи­ тать практически взаимонезависимыми;

-соотношения и уровни случайной и закономерной состав­ ляющих изменчивости в зависимости от густоты сети наблюдений.

Перечисленные свойства позволяют использовать корреляци­ онную и структурную функции для решения следующих геологиче­ ских задач.

1.Проверка гипотез о наличии закономерности (тренда) в по­ следовательности значений изучаемого свойства. С этой целью рас­ сматриваются первые две-три точки нормированной корреляцион­ ной функции изучаемой последовательности.

Этот способ наиболее надежный, так как позволяет выявлять слабо проявленные закономерности.

2.Классификация геологических объектов по характеру про­

странственной изменчивости их признаков. Например, по виду кор­ реляционных функций аномальных магнитных полей (АМП) можно классифицировать участки земной коры с различной историей тек­ тонического развития. Для участков молодой океанической коры характерна упорядоченная линейная система гребней или разломов срединно-океанических хребтов, обусловливающая закономерные, периодические колебания АМП. Вдали же от рифтов упорядочен­ ность топографии океанического дна вуалируется из-за наложения нескольких этапов тектонической активизации. Корреляционные функции АМП для участков с длительной историей развития океа­ нической коры имеют вид функций стационарного типа, характер­ ных для континентальной коры.

Эталонами и основой для классификации промышленных ти­ пов месторождений важнейших видов минерального сырья могут служить типизированные графики характеристик случайных функ­ ций важнейших свойств залежей полезных ископаемых, составлен­ ные по обобщенным экспериментальным данным.

3. Оценка предельных расстояний между точками наблюдений, при которых сохраняются корреляционные связи между значения­ ми исследуемых свойств, используется для обоснования способов количественной обработки результатов и геометризации недр, по­ скольку лишь в пределах интервала корреляции правомерна интер­ поляция экспериментальных данных. Значения же признаков за пределами корреляции можно рассматривать как совокупности слу­ чайных, независимых величин, и они должны обрабатываться толь­ ко обычными статистическими методами.

Соотношения расстояний предельной корреляции (АГ), уста­ новленные по линиям, ориентированным в различных направлени­ ях, могут быть использованы в качестве показателей анизотропии изучаемого свойства по этим направлениям.

4. Разделение общей дисперсии признака на случайную и зако­ номерную составляющие для заданных расстояний между точками наблюдений.

Эмпирические корреляционные функции стационарных после­ довательностей могут быть аппроксимированы экспонентой вида

В этом случае для определения дисперсии случайной состав­

ляющей (ст^уЧ) можно использовать формулу

где Сто - общая статистическая дисперсия изучаемого признака;

рх(г )- значение нормированной корреляционной функции для рас­

стояния между точками наблюдения, равного г. Дисперсия законо­ мерной составляющей находится из равенства

При наличии в изменчивости изучаемого свойства закономер­ ной составляющей в статистические формулы для расчета интер­ вальных оценок целесообразно вводить поправки на связь.

Оценивая величины поправок на связь для различных расстоя­ ний между точками наблюдений, можно выявить эффект, получае­ мый от разрежения сети наблюдений.

Пример. С помощью корреляционной функции, изображенной на рис. 61, определим долю случайной составляющей в изменчиво­ сти линейного запаса по падению рудной залежи для расстояний 15, 75 и 120 м:

/ = 75 м, а^,уч = (l - 0,252)S 0,94а2;

/= 120 м,а2^ =Oo(l-0,102)=0,99ao.

Таким образом, при расстоянии между соседними разведоч­ ными пересечениями, равном 15 м, более 60 % дисперсии линейного запаса обусловлено закономерными изменениями, поэтому в данном случае при расчете интервальной оценки поправка за связь будет весьма существенной. Однако разрежение сети наблюдений в три раза приводит к резкому снижению доли закономерной состав­ ляющей (до 6 %), в результате чего точность вычисления среднего значения линейного запаса значительно снизится даже в том слу­ чае, если количество наблюдений останется постоянным. Начиная с расстояния 120 м, точность расчета среднего значения линейно­ го запаса практически полностью будет зависеть только от коли­ чества наблюдений.

Отношения дисперсий случайной и закономерной составляю­ щих наблюдаемой изменчивости могут служить также показателя­ ми степени разведанности месторождений.

При использовании характеристик стационарных случайных функций для описания изменчивости геологоразведочных парамет­ ров необходимо учитывать законы их статистических распределе­ ний. В частности, расчеты эмпирических корреляционных и струк­ турных функций изменчивости логнормально распределенных свойств следует проводить для логарифмов их значений.

В тех случаях, когда геологический объект изучен по несколь­ ким профилям, для решения перечисленных выше задач использу­

ются усредненные корреляционные или структурные функции. При этом неоднородности, присущие каждому единичному профи­ лю, нивелируются, и вид усредненных характеристик приближается к виду стационарных случайных функций.

5.4.Область применения взаимных корреляционных функций

идвумерных автокорреляционных функций в геологии

Для оценки корреляционных свойств двух случайных процес­ сов или последовательностей используются взаимные корреляци­ онные функции (ВКФ). Для эргодических функций ВКФ можно вы­ числить по отдельным реализациям Х\ и Х2. В качестве таких реали­ заций могут быть взяты данные по двум профилям наблюдений одного свойства или замера двух разных свойств по одному профи­ лю. Вычисление ВКФ производится по формуле

п-г

п-\г

где Х и - значение по первой реализации, например, содержание определенного химического элемента по профилю геохимической съемки; дг2(,+Г)- содержание того же элемента по другому профилю в точке, смещенной относительно замера хина г пикетов. Смещение при этом производится как в одну, так и в другую сторону.

В практике геологоразведочных работ ВКФ чаще всеш исполь­ зуются для решения двух типов задач.

1.При анализе геохимических и геофизических полей с помо­ щью ВКФ, рассчитанных по соседним профилям, можно опреде­ лить характер ориентировки линейных геохимических и геофизиче­ ских аномалий.

2.В процессе изучения геохимической зональности метасоматических образований и ореолов рассеяния ВКФ позволяет оценить относительную подвижность химических элементов. Для этого рас­ считывают ВКФ для содержаний разных пар химических элементов по одному профилю. Максимумы концентрации более подвижных элементов удалены от рудоконтролирующих структур (контактов интрузивных пород, тектонических разрушений и др.) на большее

При р = 1 ДАКФ равна усредненной одномерной ВКФ, рассчи­ танной по сумме ВКФ для всех пар соседних профилей:

При р = 2 ДАКФ рассчитывается по сумме ВКФ для всех пар широтных профилей, расположенных через один профиль, при р ——3 —через два профиля и т. д. При р = 0 и /• = 0 значение ДАКФ равно дисперсии признака.

Для ДАКФ справедливо равенство Rx(p,r) = Rx( - p ,- г),то есть она симметрична, поэтому при расчетах обычно вычисляют значе­ ния либо только для Rx(p, ±г), либо для Лх(±р, г).

ДАКФ изображается либо в виде матрицы, либо в виде графика в изолиниях. Графическое изображение более наглядно отражает основные свойства геологических полей. По графику ДАКФ можно определить направления максимальной и минимальной изменчиво­ сти изучаемого поля, которые совпадают с направлениями макси­ мального и минимального градиента изменения ДАКФ, а отноше­ ние градиентов по этим направлениям является оценкой коэффици­ ента анизотропии.

В связи с этим ДАКФ используется для выбора формы, ориен­ тировки и густоты сети наблюдений при проектировании геолого­ разведочных работ.

При расчете ДАКФ осредняются данные по всем профилям, поэтому по ней можно получить достаточно надежные количест­ венные характеристики изменчивости изучаемого поля даже в тех случаях, когда количество замеров по каждому профилю невелико.

Обычно ДАКФ нормируют по дисперсии. В этом случае ее значения имеют размерность коэффициентов корреляции.

5.5. Область применения полигармонических случайных

функций в геологии

Многие геологические объекты отличаются периодическим ха­ рактером изменчивости свойств. Периодические колебания уста­ новлены в изменчивости пористости нефтегазоносных осадочных толщ, минеральном составе метаморфических пород. Определенная ритмичность отмечается также в расположении тектонических на­ рушений как в региональном, так и в локальном масштабе. При этом, однако, закономерные периодические колебания обычно осложняются нерегулярными случайными флуктуациями.

В качестве математической модели изменчивости подобных геологических объектов может быть использована полигармоническая случайная функция, то есть случайная функция, математиче­ ское ожидание которой выражается тригонометрическим полино­ мом вида

*=i

где v - количество гармоник; Ак, (£>к,ц>к - соответственно амплиту­ ды, частоты и фазы каждой гармоники; А0—константа.

С помощью этой модели любой ряд значений исследуемого признака при равном расстоянии г между точками наблюдений мо­ жет быть описан функцией

X(r) = Мх(т*) + hx(r),

где hx(r) - случайная составляющая, осложняющая периодические колебания значений изучаемого признака.

Количественное описание изменчивости такого типа представ­ ляет собой широко распространенную в технике задачу выявления скрытых периодичностей на фоне случайных помех. Она заключа­ ется в разделении изменчивости на две составляющие и отыскании периодов и амплитуд гармоник закономерной составляющей.

К настоящему времени разработано большое количество мето­ дов выявления скрытых периодичностей, в которых используются различного вида преобразования исходного ряда наблюдения Х(г),

позволяющие усилить в преобразованном ряде X ’ir) роль периоди­ ческой составляющей. Наиболее приемлемым из них является ме­ тод, основанный на оценке спектральной плотности дисперсии Sx(<£>), получаемой в результате разложения в ряд Фурье корреляционной функции

О

При изучении изменений параметра дискретной сетью наблю­ дений спектральная плотность заменяется линейчатым энергетиче­ ским спектром. Значения энергетического спектра dk показывают, каким образом общая дисперсия признака распределяется между отдельными гармониками.

Энергетический спектр случайной полигармонической после­ довательности, рассчитанный по ограниченному количеству на­ блюдений, представляет собой сочетание резких пиков на частотах, соответствующих закономерным гармоническим колебаниям, с от­ носительно постоянными для всех других частот значениями dk, обусловленными случайной составляющей.

Величину периодов закономерных колебаний можно опреде­ лить по формуле

7* = (N - l)r / о)*,

где N - общее количество замеров по профилю;

г - расстояние между соседними пунктами наблюдений. Значения dk, обусловленные случайной составляющей, имеют

бета-распределение Фишера, плотность которого задается форму­ лой

Р(*) = (и -1 )(1 -* Г 2,

где п - общее число значений спектра.

Математическое ожидание и стандартное отклонение этого распределения соответственно равны

дисперсии линейного запаса обусловлено закономерными колеба­ ниями. Эмпирическая корреляционная функция удовлетворительно аппроксимируется полиномом:

Однако модель, основанная на разделении наблюдаемой из­ менчивости на полигармоническую составляющую и случайную составляющую, отождествляемую со случайной величиной («белым шумом»), является несколько упрощенной. Наряду с периодиче­ скими изменениями для изменчивости геологических объектов обычно характерны закономерные, но непериодические локальные изменения.

Приближенная оценка корреляционной функции составляющей hx(r) может быть получена путем последовательного вычитания из эмпирической корреляционной функции гармонических состав­ ляющих.

Таким образом, с помощью спектра амплитуд наблюдаемую изменчивость любого свойства геологических объектов можно раз­ делить на три составляющие:

-координированную, обусловленную закономерными на всем протяжении изучаемого участка изменениями свойства и описы­ ваемые с помощью тригонометрического полинома;

-коррелированную, описывающую закономерные в локальной области изменения свойства с помощью корреляционной функции, зависящей только от расстояния между точками наблюдений;

-случайную, описывающую незакономерные случайные коле­ баний свойства, которые могут рассматриваться как реализация случайной величины («белый шум»).

Координированная составляющая, описывая общие закономер­ ности изменения свойств в пространстве, отражает главные особен­ ности строения геологических объектов. С помощью координиро­ ванной составляющей можно:

-выделять элементы неоднородности в строении объектов ис­ следования на различных стадиях их изучения;

-предсказывать наиболее вероятные значения свойства в лю­ бой точке исследуемого профиля;

- оценивать степень выявления закономерных пространствен­ ных изменений в зависимости от густоты сети наблюдений.

Коррелированную закономерную составляющую нельзя ис­ пользовать для геометризации элементов неоднородности, так как она характеризует лишь средний градиент изменений изучаемого свойства в пределах расстояния корреляции. Она используется для решения задач, связанных с распространением эмпирических дан­ ных на сравнительно малый объем изучаемого объекта.

Случайная составляющая отражает незакономерные флуктуа­ ции параметров и должна учитываться при расчете точности сред­ них значений параметров.

Способ выражения закономерностей координированной со­ ставляющей изменчивости свойств геологических объектов с по­ мощью спектрального разложения имеет ряд существенных пре­ имуществ по сравнению с наиболее распространенными способами сглаживания и тренд-анализа:

- математическая модель изменчивости, на которой основан этот способ, отвечает интуитивному представлению о наличии в изменчивости реальных геологических объектов закономерностей различного порядка;

-способ не требует априорных допущений о количестве этих порядков, так как их число определяется самим методом;

-спектральное разложение корреляционной функции является эффективным селективным преобразованием для выделения зако­ номерностей любого масштаба;

-спектр амплитуд позволяет разделить закономерные измене­ ния параметров на периодические и непериодические, а обусловли­ вающие их геологические факторы на общие и частные;

-спектр амплитуд показывает, каким образом общая дисперсия признака распределяется между закономерностями разного масшта­ ба, и позволяет оценить значимость выявленных закономерностей.

Повышенное значение dk отмечается также на частоте 4, соот­ ветствующей колебаниям с периодом 11 м.

Эмпирические спектры амплитуд позволяют находить вероят­ ность и величину возможных ошибок в определении средних зна­ чений за счет периодических колебаний, кратных или равных шагу основной сети наблюдений, а также выявлять запрещенные разве­

дочные сети, шаг которых близок к периодам колебаний, домини­ рующим на том или ином уровне строения месторождения.

Для более глубокого ознакомления с математическим аппара­ том теории случайных функций может быть рекомендована книга М. Кендалла и А. Стьюарта; математический аппарат гармониче­ ского анализа подробно рассмотрен в книге А. А. Никитина. При­ меры практического использования случайных функций при геоло­ гическом картировании приведены в [20]. Опыт использования дан­ ной модели при решении задач разведки месторождений обобщен в работе А. Б. Каждана.

Контрольные вопросы

1.Что такое случайный процесс, случайная последовательность

ислучайное поле?

2.Почему случайные функции можно использовать для описа­ ния свойств геологических объектов и процессов?

3.Какие свойства геологических образований и процессов опи­ сывают автокорреляционные функции?

4.Какие геологические задачи можно решать с помощью авто­ корреляционных функций?

5.Что такое расстояние предельной корреляции? Для чего ис­ пользуется этот показатель?

6. Какие геологические задачи можно решать с помощью вза­

имных корреляционных функций (ВКФ)?

7. Какие геологические задачи можно решать с помощью дву­ мерных автокорреляционных функций (ДАКФ)?

8 . Свойства каких геологических объектов можно описывать полигармоническими случайными функциями?

9. Что такое энергетический спектр и спектральная плотность дисперсии?

10.Как можно выявить аномальные значения энергетического спектра?

11.Как можно с помощью энергетического спектра разделить наблюдаемую изменчивость на случайную и закономерную состав­ ляющие?

12.Какие геологические задачи можно решать с помощью гар­ монического анализа?