r=Po + PlX, + p 2*2-

Значимость поверхности тренда или уравнения регрессии мож­ но проверить с помощью дисперсионного анализа, который основан на разделении общей дисперсии набора наблюдений на компонен­ ты, соответствующие определенным источникам изменчивости.

4.10. Сравнение карт

Обычная задача большинства геологических исследований за­ ключается в сравнении друг с другом двух или более карт некото­ рой территории. Это могут быть карты петрографических и мине­ ралогических составляющих, различных физико-химических пара­ метров, а также структурные карты.

По-видимому, простейший путь сравнения двух карт состоит в вычислении коэффициента корреляции между картируемыми пе­ ременными. Если две карты построены для переменных, измерен­ ных в одних и тех же точках, то этот метод состоит просто в вычис­ лении коэффициента корреляции между картируемой переменной 1 и картируемой переменной 2 , при этом расположение точек во вни­ мание не принимается. Коэффициент корреляции вычисляется по известной формуле.

Труднее сравнивать карты с переменными в разных точках. Один из возможных способов получения меры общего сходства - оценка значений двух переменных на множестве точек сетки, об­ щей для двух карт. Однако никакого статистически значимого ко­ эффициента корреляции по этим данным получить невозможно. Очевидно, надежность корреляции повышается с увеличением плотности контрольных точек.

Сравнение карт с помощью корреляции между оценками в кон­ трольных точках легко осуществить в том случае, если карты стро­ ить с помощью ЭВМ.

Примером простейшего сравнения двух карт переменной одно­ го типа в одной и той же области является карта изопахит, получен­ ная по двум структурным картам.

Если карты построены в одних и тех же единицах, то сравнение можно провести с помощью простого вычитания. Однако задача

нении фактического значения числа точек смены знака t, получен­ ного по исследуемому графику, с теоретическим его значением М(0- Поскольку в таблицах приводятся значения нормированной функции нормального распределения, разницу между фактическим и теоретическим числом точек смены следует разделить на yjo2(t) для получения вероятностного критерия

z'-M (Q

^( i ) '

Внеслучайной последовательности значения t и М(/) не долж­ ны существенно отличаться. Следовательно, вероятность больших по абсолютной величине значений критерия Z будет мала. Так как значения критерия Z распределены нормально с параметрами 0 и 1, то по его величине с помощью таблиц нормированного нормально­ го распределения можно оценить вероятность полученного по ис­ следуемому ряду отклонения фактического числа точек смены зна­ ка от теоретического при условии, что ряд случаен. Если эта веро­ ятность мала (например, меньше 0,05), то гипотеза о случайном характере исследуемого ряда отвергается и считается, что он имеет тренд.

Пример. Проверим гипотезу о наличии тренда в изменении объемной массы угля по продольному профилю из 30 буровых сква­ жин, ориентированному по простиранию угольного пласта (см. рис. 14). Математическое ожидание числа точек смены знака для N = 30 будет

а дисперсия о2 (t) =-----—-----» 5,0. Фактическое число точек сме­

ны знака по профилю 13, следовательно, значение критерия Z со­ ставит

_ 13-18,7

-2,55,

=V?

что соответствует вероятности 0,0054. Вероятность полученно­ го отклонения фактического числа точек смены знака от теоре­ тического для случайного ряда настолько мала, что гипотезу о случайном характере изменения объемной массы угля по простира­ нию угольного пласта следует отвергнуть.

Способ проверки гипотезы о наличии тренда по количеству скачков используется в случае, когда упорядоченная последова­ тельность состоит из двух типов элементов, которые условно мож­ но обозначить знаками плюс (+) и минус (-). Скачком называется интервал последовательности, в пределах которого наблюдаются

Последовательности такого типа могут быть получены путем разделения всех значений исследуемого свойства на две группы по их отношению к медианному значению. Все значения больше меди­ анного обозначаются знаком (+), а меньше - знаком (-). Число скачков в случайных последовательностях зависит от количества элементов первого п\ и второго п2 типа. Статистическое распреде­ ление количества скачков и в случайных последовательностях асимптотически нормальное с математическим ожиданием

и дисперсией

2и,л2(2и,л2- и, - п 2)

(/JI +«2)2(«,+/J2 - 1)

Как и в предыдущем способе, фактическое значение числа скачков и сравнивается с теоретическим по исследуемому ряду М(и) по критерию

и- М (и )

Спомощью таблиц нормального распределения определяется вероятность полученного значения Z в случайной последовательно-

ристости исследуемых пород по данному направлению следует от­ вергнуть. Тренд в данном случае устанавливается визуально по тенденции к увеличению пористости по направлении вулканическо­ го потока.

Каждый из рассмотренных способов применим для выяснения закономерностей определенного типа. Способом «смены знака» лучше улавливаются локальные закономерности, проявленные плавными изменениями исследуемых свойств, в то время как спо­ собом «скачков» отчетливее устанавливаются общие тенденции, присущие всему исследуемому ряду. Поэтому для принятия гипоте­ зы о наличии тренда достаточно, чтобы она подтверждалась хотя бы одним из этих способов.

Оба способа можно использовать и для проверки гипотезы о характере изменения свойств геологических образований в дву­ мерном пространстве, то есть по площади. Для этого необходимо построить графики изменения свойств по различным направлениям.

4.12.Аппроксимация поверхностей тренда полиномами

ианализ остатков

Выделение региональных закономерностей путем аппроксима­ ции эмпирических данных функцией координат пространства свя­ зано с довольно сложными вычислениями, обычно требующими применения ЭВМ. В качестве аппроксимирующих функций исполь­ зуются ортогональные полиномы различных степеней, уравнение Лапласа, тригонометрические полиномы и др.

Ортогональные полиномы обычно применяются в случае рав­ номерной прямоугольной сети наблюдений. При этом тренд опре­ деляется как линейная функция географических координат, постро­ енная по совокупности наблюдений таким образом, что сумма квадратов отклонений значений признака от плоскости тренда ми­ нимальна. Такая модель представляет собой вариант статистическо­ го метода множественной регрессии, в котором функция Ф(х, у) = и, описывающая поверхность тренда, рассматривается как и = Ро + Pi* + Р2У (где х\ у - координаты пространства; р0> Pi, Р2 - полиномиальные коэффициенты). Для оценки трех указанных ко­ эффициентов используются уравнения

На рис. 16 показана схема расположения пробуренных скважин и условные координаты площади, которые сведены в табл. 7. Для построения плоскости тренда вычисляются:

Эти значения записываются в матричной форме:

Таблица 7

Координаты скважин, абсолютные отметки подошвы меловых отложений и оценки плоскости тренда

и = Р0 + PTJC+ р2у, можно вычислить значения отметок плоскости

тренда (ы) для каждой скважины и разности, которые характеризу­ ют составляющие случайной изменчивости гипсометрической по­ верхности. Оценка степени приближения плотности тренда к на­

блюдаемым результатам, то есть средняя изменчивость их отклоне­

тренда удовлетворительно решается с применением ортогональных полиномов первой степени. В случаях, когда доля случайной из­ менчивости остается все же достаточно большой после аппрокси­ мации линейными функциями, для выявления закономерной изменчивости более высокого порядка применяются полиномы второй, третьей и реже - более высоких степеней.

Поверхность тренда второго порядка будет описываться урав­ нением и = Р0 +р,х + р2у + Р3х2 +Р4у 2 +Ps*y, а число неизвестных полиномиальных коэффициентов увеличится до пяти. Для перехода к уравнению следующего, более высокого порядка каждая геогра­ фическая координата возводится в заданную степень и добавляются соответствующие смешанные произведения.

Выбор степени аппроксимирующего полинома и оценка значи­ мости выявленных закономерностей могут осуществляться с помо­ щью дисперсионного анализа. Для этого подсчитываются средние квадраты отклонений эмпирических значений исследуемого при­ знака в точках замера от среднего арифметического и от аппрокси­ мирующих поверхностей разного порядка, а также средние квадра­ ты отклонений от среднего арифметического самих аппроксими­ рующих поверхностей. Значимость закономерностей, описываемых полиномами определенного порядка, проверяется с помощью кри­ терия Фишера.

Высокие значения критерия Фишера для линейной и квадра­ тичной модели указывают на реальность описываемых ими законо­ мерностей.

Вто же время для кубической поверхности F= 0,15, что свиде­ тельствует о несущественном влиянии компоненты третьего по­ рядка.

Вгеологической практике региональные закономерности

обычно удовлетворительно описываются полиномами не выше третьей степени.

Аппроксимация тригонометрическими полиномами позволяет описывать закономерные периодические колебания свойств геоло­ гических объектов.

Из всех возможных аппроксимирующих функций выбирается та, которая точнее описывает имеющиеся данные и содержит наи­ меньшее число параметров. Однако вид такой функции нельзя предсказать заранее, что существенно затрудняет практическое ис­ пользование данных моделей. Аппроксимирующие функции коор­ динат пространства как модели геологических объектов имеют и некоторые другие недостатки:

-допускают существование нереальных значений изучаемых переменных, например отрицательных значений содержания хими­ ческих элементов в породах или мощностей рудных тел;

- не учитывают резких, скачкообразных изменений значений изучаемого свойства по геологическим границам, вследствие чего при моделировании рудных тел высокие содержания полезного компонента иногда распространяются на заведомо безрудные поро­ ды, например, на пострудные дайки;

-непригодны к использованию для описания прерывистых объектов (например, рудных тел с прерывистым характером оруде­ нения), так как происходит сглаживание исходных данных и иска­ жается представление о степени прерывистости (увеличивается ко­ эффициент рудоносности).

Выделение аномальных значений изучаемого свойства имеет в геологии большое практическое значение, так как с «аномалиями» часто связаны тела полезных ископаемых и другие наиболее инте­ ресные геологические объекты.

Задача отделения аномальных значений от фоновых не имеет строгого математического решения. В каждом конкретном случае используются различные эмпирические подходы, основанные на опыте изучения аналогичных объектов. Существенную помощь при выявлении аномалий и установлении их геологической природы могут оказать карты «остатков» от тренда, которые строятся путем вычитания вычисленных значений тренда из наблюдаемых значений поля в каждой точке. Карты могут быть построены и для случайной составляющей после сглаживания исходных данных скользящим ок­ ном или с помощью преобразования какого-либо другого вида.

4.13. Трансформация геологических

пространственных переменных

При изучении изменчивости непрерывных геологических по­ лей часто возникают задачи описания их структур с учетом не толь­ ко тренда, но также влияния всей совокупности аномалий. В конеч­ ном итоге они сводятся к описанию статистических свойств ло­ кальных отклонений от фона с использованием частотных и амплитудных статистических характеристик. Конкретные харак­ теристики степени изменчивости полей выбираются в зависимости от целей и задач исследований.

Они служат основой для построения новых трансформирован­ ных геологических переменных, наиболее ярко и наглядно отра­ жающих особенности структуры, характер изменчивости или ани­ зотропию изучаемых геологических полей.

Например, когда размеры аномалий близки к размерам ячейки сети наблюдений, а их количество велико, исследуются обычно не отдельные аномалии, а их совокупность, определяющая характер изменчивости изучаемого поля пространственной переменной. Для описания изменчивости предложен ряд произвольных характери­ стик. Для оценки степени «изрезанности» поля используют коэф­ фициент «аномалийности», который определяется по относитель­ ной разнице между длиной графика изучаемого свойства на участке профиля постоянной длины и длиной этого участка.

При прослеживании геологических границ по геофизическим данным применяются горизонтальные градиенты или энтропия поля.

Горизонтальные градиенты определяются по числу изолиний поля, попадающих на единичный отрезок, перпендикулярный к преобладающему в пределах этого отрезка направлению изоли­ ний. Для расчета энтропии с помощью палетки подсчитываются доли каждого интервала между изолиниями, попадающими в пре­ делы элементарной площадки трансформации.

4.14.Области применения горно метрических моделей

итренд анализа в геологии

Большинство геологических задач относятся к числу простран­ ственных исследований и имеет цель выявить особенности разме­ щения изучаемых геологических объектов в структурах земной ко­ ры или элементов ее строения. Поэтому методы количественного описания и математического моделирования пространственных геологических закономерностей являются ведущими во всех отрас­ лях геологических наук.

В геологической практике издавна исключительно широко рас­ пространены методы горно-геометрического моделирования геоло­ гических тел и свойств горных пород и полезных ископаемых.

Графические модели различных свойств природных геологиче­ ских тел широко используются в структурной геологии, геологии полезных ископаемых, рудничной геологии и методике поисков и разведки полезных ископаемых. Методы горно-геометрического моделирования изучаются в курсе геометризации недр. На принци­ пах П. К. Соболевского были разработаны различные аналитиче­ ские методы описания изменчивости, использующие для этих целей первые или вторые последовательные разности значений показате­ лей изменчивости по смежным пунктам наблюдений.

С помощью горно-геометрических моделей можно выразить особенности пространственной изменчивости свойств геологиче­ ских образований, установить значение изучаемого свойства в лю­ бой точке исследуемого объекта, получить представление о его морфологии и внутреннем строении.

Однако требование непрерывности и плавности изменения изучаемого свойства ограничивает область их практического при­ менения объектами с весьма выдержанными в пространстве свойст­

вами. К таким объектам относятся пласты осадочных пород, грани­ цы интрузивных образований, рудные тела с простой морфологией

иотносительно равномерным характером оруденения и т. п.

Всвязи с бурным внедрением вычислительной техники и ЭВМ, в последние десятилетия все шире и многообразнее становится ис­ пользование в геологической практике методов тренд-анализа ис­ ходных данных, в числе которых особенно широкое развитие полу­ чили методы сглаживания и аппроксимации поверхностей тренда. Исключительное разнообразие предложенных методов тренданализа объясняется стремлением их создателей подобрать в каж­

дом конкретном случае такую модель аппроксимации, которая не только обладала бы минимальными отклонениями наблюдаемых значений признаков от поверхности тренда, но и, по возможности, не смещала бы их выявленные экстремальные значения. Однако здесь не учитывается тот факт, что при достаточно сложном харак­ тере природной изменчивости признака, ограниченности числа на­ блюдений и редкой их сети высокая степень приближения аппрок­ симирующей поверхности ко всей совокупности наблюдений явля­ ется иллюзорной.

Ранее уже упоминалось, что с помощью любой модели тренданализа можно выявить кажущиеся «закономерные» составляющие изменчивости даже в совокупностях заведомо случайных данных (например, подобранных по таблицам случайных чисел). Поэтому выявление истинных закономерностей пространственной изменчи­ вости сложно построенных геологических объектов возможно толь­ ко путем последовательного сгущения сети наблюдений. По редкой их сети выявление многочисленных высокочастотных колебаний значений признака невозможно, и никакая, даже самая сложная мо­ дель аппроксимации здесь не поможет.

С позиций системного подхода значительно важнее сначала обеспечить густоту сети наблюдений, достаточную для выявления заданных высокочастотных колебаний признака, а затем выбрать оптимальные размеры сглаживающего окна, ориентируясь на уве­ ренную геометризацию элементов неоднородности заданного ие­ рархического уровня строения изучаемого объекта. Нельзя забы­ вать, что достоверные значения «скользящей средней» будут обеспечены лишь при достаточном числе наблюдений в окне