3.10.Метод главных компонент

Сувеличением размерности признакового пространства воз­ растают трудности изучения геологических объектов и возникает проблема замены многочисленных наблюдаемых признаков мень­ шим их числом без существенной потери полезной информации. Одним из наиболее распространенных методов решения этой зада­ чи является метод главных компонент.

Основой метода главных компонент является линейное преоб­ разование т исходных переменных (признаков) в т новых пере­ менных, где каждая новая переменная представляет собой линейное сочетание исходных. В процессе преобразования векторы наблю­ даемых переменных заменяются новыми векторами (главными компонентами), которые вносят резко различные вклады в суммар­ ную дисперсию многомерных признаков. Сокращение пространства признаков достигается путем отбора нескольких наиболее инфор­ мативных компонент, обеспечивающих основную долю суммарной дисперсии, что приводит к заметному уменьшению их общего чис­ ла за счет наименее информативных компонент, отражающих ма­ лые доли суммарной дисперсии.

Главные компоненты - это собственные векторы ковариацион­ ных матриц исходных признаков. Число собственных векторов ко­ вариационной матрицы определяется числом изучаемых признаков, то есть равно числу ее столбцов (или строк). Каждый собственный вектор (главная компонента) характеризуется собственным значе­ нием и координатами.

Собственные значения ковариационной матрицы (Я.у) - это

длины ее собственных векторов, то есть их дисперсии. Суммы соб­ ственных значений ковариационной матрицы равны ее следу, то есть сумме ее диагональных элементов.

Координаты собственного вектора ковариационной матрицы (ооу ) - это числовые коэффициенты, характеризующие его положе­ ние в ш-мерном признаковом пространстве. Число точечных коор­ динат каждого собственного вектора (соу)ш, ,оэ2,...,со„, определяется размерностью пространства, а их численные значения - это коэф­ фициенты линейных уравнений данного собственного вектора.

Собственные значения ковариационной матрицы находятся как характеристические корни полиномиальных уравнений путем их решения. Однако осуществить это для больших значений т очень сложно. Поэтому в вычислительной практике их определяют мето­ дами матричных преобразований (путем последовательных при­ ближений к собственным значениям), которые могут быть реализо­ ваны только с помощью ЭВМ. Методы отыскания координат собст­ венных векторов симметричных матриц также сложны и требуют применения ЭВМ.

Поскольку ковариационные матрицы исходных признаков симметричны, их собственные векторы всегда ортогональны, а со­ ставляющие их переменные взаимонезависимы, то есть не коррели­ руют друг с другом.

В методе главных компонент координаты собственных векто­ ров рассматриваются как нагрузки соответствующих переменных на тот или иной фактор. Они используются для расчета матриц нового множества совокупностей путем проектирования векторов исход­ ных данных (признаков х\, хг, .... хт) на оси собственных векторов (Yl,Y2v>Ym) :

т

Ys =

>1

где соу(- - нагрузки у'-й компоненты в /-й переменной признака. Ис­

ходная матрица наблюдаемых признаков размерности п х т пере­ считывается в матрицу новых переменных (той же размерности), учитывающих собственные значения каждой из компонент. Если статистические (корреляционные) связи между наблюдаемыми при­ знаками многомерного пространства проявляются достаточно от­ четливо, то разложение исходной матрицы наблюдений на т новых компонент приводит к заметному возрастанию контрастности рас­ пределения дисперсий по новым компонентам по сравнению с ис­ ходными векторами. Как правило, дисперсия одной из главных компонент достигает половины и более от суммарной дисперсии признаков, а в совокупности с дисперсиями еще одной-двух после­ дующих компонент их общий вклад в суммарную дисперсию пре­ вышает 90 %.

ные ореолы рассеяния многих элементов отличаются сложным строением и нечеткими границами.

Результаты изучения корреляционных связей дают возмож­ ность предполагать значительное влияние фактора удаленности от рудного тела на содержание всех указанных химических элементов в пробах вмещающих пород. Компонентный анализ позволил вы­ явить пять главных компонент, из которых существенной является только первая. Ее дисперсия составляет 67 % от суммарной диспер­ сии. Первая главная компонента отрицательно связана с удаленно­ стью. Эта компонента отражает общий характер размещения эле­ ментов-индикаторов редкометалльного оруденения в первичных ореолах рассеяния и может быть с успехом использована для их вы­ деления.

Метод главных компонент используется в качестве основы факторного анализа многомерных совокупностей. В практике ис­ пользуются два метода факторного анализа: /?- и <3«метод. Сущ­ ность Л-метода, основанного на использовании не ковариационной, а корреляционной матрицы, близка к задаче метода главных компо­ нент, но в отличие от него факторный анализ считается статистиче­ ским методом. Обычное допущение состоит в том, что связи между т переменными ставятся в зависимость от корреляционных связей каждой из переменных с р взаимно некоррелированными фактора­ ми при р < т. Поэтому дисперсия для т переменных вычисляется как сумма дисперсии р , так называемых «общих факторов» и неза­ висимой от них суммарной добавки от т случайных переменных - «фактора специфичности».

Вычисление нормализованных собственных значений и собст­ венных векторов корреляционной матрицы имеет свои специфиче­ ские особенности. Процедура стандартизации позволяет считать собственные векторы корреляционной матрицы факторами, а их нагрузки, полученные умножением каждой компоненты нормализо­ ванного собственного вектора на квадратный корень из соответст­ вующего собственного значения, факторными нагрузками. Суммы квадратов факторных нагрузок по одному фактору равны их собст­ венным значениям. Суммы квадратов факторных нагрузок по каж­ дой переменной (признаки) называются «общностями», которые обеспечивают одинаковые суммы вкладов переменных в факторы.

Поскольку значения общностей зависят от числа сохраненных фак­ торов /?, этот вопрос приобретает в факторном анализе принципи­ альное значение (хотя и не имеет строгого однозначного решения).

Для более содержательной интерпретации результаты фактор­ ного анализа подвергаются процедуре «вращения» вокруг центра координат для выявления наиболее контрастных сочетаний фактор­ ных нагрузок.

Использование метода главных компонент для целей фактор­ ного анализа рассмотрим на примере Нерюндинского железорудно­ го месторождения - крупнейшего месторождения Ангаро-Катского района Иркутской области. В его геологическом строении прини­ мают туфогенные отложения корвучанской свиты, песчано-аргил­ литовые породы буркуглинской свиты и аргиллиты катской свиты. На месторождении широко развиты интрузии траппов. В структуре месторождения главную роль играет крупный разлом широтного простирания, пересекающий вулканические трубки, картируемые по наличию витро- и литокластических туфов, прослеживающихся до глубины 800 м. Рудные тела месторождения, представленные метасоматическими залежами брекчиевидно-вкрапленных руд и магнетитовыми жилами, залегают в породах, существенно изме­ ненных пневмогидротермальными растворами и преобразованных в скарны и скарноподобные или скарнированные породы.

Значительная часть руд месторождения подвергнута окисле­ нию, что осложняет изучение качества руд. Качество руд месторо­ ждения в значительной степени определяется многочисленными природными факторами: конкретной геолого-структурной позицией месторождения, интенсивностью развития дорудных и пострудных метасоматических процессов, геохимической обстановкой и др.). Чтобы установить, какие факторы сыграли решающую роль в фор­ мировании железорудного месторождения, мы обратились к методу главных компонент, позволяющему разложить ковариационную или корреляционную матрицу и сопоставить эти составляющие с реальной обстановкой и существующими генетическими пред­ ставлениями.

Исходным материалом для решения поставленной задачи яви­ лись результаты химических анализов групповых проб, проведен­ ных на 12 элементах и оксидах.

По общепринятой схеме факторного анализа были получены парные корреляционные коэффициенты, главные компоненты, фак­ торные нагрузки, дисперсии и значения главных компонент во всех точках наблюдений.

Первая компонента, учитывающая 42 % от суммарного воздей­ ствия на изученные признаки всей совокупности, определяет общий характер оруденения. Положительные значимые факторные нагруз­ ки, являющиеся коэффициентами корреляции между параметрами и главной компонентой, характеризуют привнос железа и марганца. В то же время отрицательные значения факторных нагрузок свиде­ тельствуют о выносе ряда оксидов.

Вторая и третья компоненты раскрывают роль кальциево­ магниевого и калиевого метасоматоза, предшествующего рудообразованию.

Построенная на разрезе тренд-поверхность первой главной компоненты отражает особенности размещения железного орудене­ ния.

g -метод факторного анализа предназначен для исследования соотношений не между переменными, а между наблюдениями. Его цели сводятся к размещению последовательностей наблюдений

вразумном порядке, то есть к установлению связей между ними. Таким образом, цель g -метода факторного анализа, по существу, совпадает с целью кластер-анализа, однако для его выполнения тре­ буется значительно больше машинного времени.

Сущность R- и g -методов факторного анализа изложена в ра­ боте Дж. Дэвиса, а с методикой их проведения можно ознакомиться

вработах У. Крамбейна и Ф. Грейбилла, Д. А. Родионова.

3.11. Область применения многомерных

статистических моделей в геологии

Возможности применения многомерных статистических моде­ лей для изучения взаимозависимостей комплексов самых различ­ ных геологических признаков практически не ограничены для лю­ бой отрасли геологии. В палеонтологии они используются для ста­ тистического описания морфологических признаков ископаемых форм организмов и сопоставления их групп с литолого-фаци-

альными разрезами осадочных пород с целью оценки достоверности их стратиграфического положения (или установления групп руко­ водящих ископаемых). Корреляционные методы парагенетического анализа химических элементов и минералов находят широкое при­ менение в геохимии и минералогии. Различные методы многомер­ ного описания самых различных физических свойств, химического и минерального состава осадочных и магматических пород исполь­ зуются в литологии и петрографии для разделения их по фациаль­ ным или формационным признакам или для оценок их перспектив на выявление самых различных полезных ископаемых. С каждым годом все шире применяются методы «распознавания образов» ру­ доносных территорий или месторождений полезных ископаемых, которые основаны на статистических описаниях сочетаний благо­ приятных элементов геологического строения, влияющих на кон­ центрации полезных ископаемых. В настоящее время алгоритмы «распознавания образов», использующие самые различные стати­ стические, логические и эвристические многомерные модели, реа­ лизуются в человекомашинных информационно-прогнозирующих системах, нашедших широкое применение в геологоразведочной отрасли.

Многомерные статистические описания связей геологических переменных с последующими оценками степени их взаимозависи­ мости, используются в геологической практике с целью идентифи­ кации (отождествления), дискриминации (разделения), классифика­ ции (группирования) изучаемых объектов или в поисках наиболее информативных комбинаций признаков для решения прогнозных задач.

Задачи идентификации геологических объектов, например оценка коллекторских свойств или газоносности пород по совокуп­ ности скважинно-геофизических характеристик, обычно выполня­ ются с помощью моделей множественной регрессии. В целях дис­ криминации геологических объектов на два заранее заданных клас­ са, например, разделение кимберлитовых пород на алмазоносный и неалмазоносный типы по данным их силикатных анализов, может быть использована модель линейной дискриминантной функции. Классификация геологических объектов, например иерархическое группирование парагенетических ассоциаций элементов метасома­

8 . На чем основаны «методы распознавания образов» и каковы возможности их использования для решения геологических задач?

9. Какие многомерные статистические модели применяются для оценки параметров рудоносности территорий?

10.В чем заключаются основные сложности оценки информа­ тивности геологических признаков?

11.Для решения каких геологических задач могут быть ис­ пользованы модели линейных дискриминантных функций?

12.В чем смысл использования метода главных компонент?

13.Какие виды факторного анализа основаны на положениях метода главных компонент?

14.Какие геологические задачи решаются с применением фак­ торного анализа?

15.К чему сводятся задачи идентификации, дискриминации

иклассификации изучаемых геологических объектов и какие мате­ матические модели пригодны для их решения?