Способы, основанные на сглаживании или преобразовании ис­ ходных данных, просты и наглядны, но обладают существенными недостатками:

-они не дают объективных количественных критериев для оценки значимости выявленных закономерностей. Вопрос о нали­ чии закономерностей решается по виду сглаженных поверхностей или графиков. При этом «закономерности» могут быть отмечены даже в заведомо случайных данных, так как процесс сглаживания обусловливает корреляцию между соседними значениями;

-результаты сглаживания существенно изменяются в зависи­ мости от вида преобразования и размера площадки трансформации. Выбрать оптимальный способ преобразования можно либо путем перебора множества вариантов, либо с помощью привлечения до­ полнительной информации о характере изменчивости изучаемого свойства;

-любое преобразование обладает селективными свойствами только по отношению к закономерностям, близким по размеру с площадкой трансформации. Поэтому для выделения в наблюдае­ мой изменчивости закономерностей разного масштаба необходимо использовать различные варианты преобразований.

4.7. Анализ карт

Геологи проводят свои исследования в реальном трехмерном мире, однако представления о нем в значительной степени остаются двухмерными. Это является следствием того, что третье измерение, роль которого в геологии обычно играет глубина, нередко бывает лишь частично доступно для изучения по сравнению с другими из­ мерениями.

Несмотря на то, что карты являются важнейшим средством обучения и работы геологов, вопросы механизации и некоторые математические вопросы изучены весьма слабо.

Построение геологической карты - своего рода искусство, в ко­ тором проявляется талант исследователя. Однако иногда на геоло­ гических выводах сказывается влияние персонального фактора, от­ ражающего взгляды исследователя, что значительно снижает объ­ ективность построения карт на ЭВМ препятствует действию персонального фактора при их интерпретации.

Анализ поверхностей тренда - один из широко применяемых в геологии математических методов.

Существующие схемы расположения точек на картах удобно разделить на три категории:

-равномерные;

-случайные;

-групповые.

Схема точек на карте называется равномерной, если плотность точек в любой другой подобласти того же размера и точки образуют какой-либо вид сети.

Случайная схема возникает в том случае, если любая подоб­ ласть одного размера обладает одной и той же вероятностью появ­ ления в ней точки и появление одних точек не влияет на появление других.

Равномерность расположения точек является важным услови­ ем, необходимым для применения многих видов анализов, в частно­ сти тренд-анализа. Достоверность карты находится в прямой зави­ симости от плотности и равномерности, расположения точек на­ блюдения. Однако большинство геологов оценивают распределение точек наблюдения лишь с качественных позиций. Критерии, приме­ няемые для определения равномерности очень просты, но, к сожа­ лению, многие геологи не подозревают об их существовании.

Всю карту можно разбить на множество подобластей равного размера так, что каждая подобласть (квадрат) будет содержать не­ которое множество точек. Если точки наблюдения расположены равномерно, то каждый квадрат будет содержать одно и тоже число точек. Эту гипотезу об отсутствии существенных различий в числе точек для каждой подобласти можно проверить с помощью крите­ рия х2, который теоретически не зависит от формы и ориентировки подобластей.

Данный критерий эффективен, когда число квадратов доста­ точно велико, и в каждом из них содержится не более 5 точек. Ожи­ даемое число точек в каждой подобласти (Е) будет равно отноше­ нию общего числа точек наблюдения к числу подобласти.

Критерий х2 для проверки гипотезы о равномерности распреде­ ления точек определяем по формуле

1= &

где 0 - наблюдаемое число точек в подобласти.

Критерий х2соответствует Р - т - 2 степеней свободы, где т - число подобластей; Р - доверительная вероятность.

Если плотность точек на карте невелика и точки обладают тен­ денцией к группировке, а число участков на карте большое (больше 100), то возникает групповая схема точек. При проверке гипотезы о случайности расположения в таком случае можно воспользоваться распределением Пуассона (законом редких явлений).

4.8. Метод ближайшего соседа

Существует еще один способ исследования подобластей, на которые разбита область, и называется он методом ближайшего соседа.

Анализируемые в этом случае данные представляют собой не множество точек, расположенных внутри некоторой области, а расстояние между наиболее близкими парами точек. В условиях случайного распределения точек на плоскости математическое ожидание между каждой точкой и ближайшей к ней соседней точ­ кой определяется по формуле

I = 2 V P ’

где Р - плотность точек в изучаемой области.

Плотность точек определяется как число точек, приходящихся на единицу площади, причем площадь измеряется квадратами еди­ ниц, используемых для измерения расстояний между точками. На­ пример, если расстояние между точками измеряется в километрах, то Р подсчитывается как число точек, приходящихся на квадратный километр.

Можно также измерить расстояние между каждой точкой и со­ ответствующей ей ближайшей соседней точкой и вычислить на­

блюдаемое среднее значение этих расстояний D :

х

Это отношение представляет собой статистику метода бли­ жайшего соседа, которая принимает значение в интервале от 0 до 2,15, где 0 соответствует случаю, когда все точки сведены в одну и расстояние между ними равно 0. Если критерий равен 1, это соот­ ветствует случайному расположению точек, а максимальное значе­ ние 2,15 характеризует распределение точек, имеющих тенденцию к рассеиванию.

Если точки расположены случайно, то теоретическое значение статистического отклонения оценки среднего расстояния между ближайшими точками будет определено следующим выражением:

0,26136

" г = W P ’

где N - число измерений расстояний между парами точек. Располагая значениями х , D , стг , можно построить критерий

для проверки гипотезы о случайном распределении рассматривае­ мого набора точек:

стг

Нулевая гипотеза должна быть отклонена, если Z превышает допустимое значение, соответствующее заданному уровню значи­ мости.

4.9. Поверхности тренда

Для построения карт достаточно часто испОЛЬзуется тренданализ. Это чисто геологическое понятие математического метода разделения двух компонентов - систематического Ч случайного - по эмпирическим данным. Систематическая составляющая отража­ ет региональную или общую геологическую обстановку, случайная - мелкие локальные отклонения от региональных закономерностей-

где Рь Рг. ... x„ - географические ко­ ординаты.

Ранее была рассмотрена линия регрессии Y на X, которая явля­ ется наилучшей оценкой Y для любого заданного значения X.

Уравнение прямой Y = po+Pi* находилось путем решения сис­ темы так называемых нормальных уравнений:

пп

«Po+Pi Z * = Z ^

P o Z x + P i Z x 2 = t ^ / .

/-1 М /-1

относительно неизвестных коэффициентов р0 и Рь Эту систему уравнений легко приспособить, если имеются какие-либо два аргу­ мента, например географические координаты. В результате полу­ чим уравнение линейной поверхности тренда:

Y= p0+Pi*i+Par2.

В данном случае результат геологического наблюдения рас­ сматривается как линейная функция двух координат JCI и х2 при ко­ эффициентах ро, Pi и р2; оценить эту функцию можно с помощью уравнений.

Z * = Р0« + PiZ * i + Р2 Z *2;

/-1

Решив эти уравнения относительно Ро. Pi и Рг найдем их оценки.

Метод наименьших квадратов может быть применен не только к уравнению прямой, но и к уравнению кривой второго (более вы­ сокого) порядка путем добавления соответствующих компонент: