5.МОДЕЛИРОВАНИЕ ГЕОЛОГИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ

СПОМОЩЬЮ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ

5.1.Принципы моделирования свойств геологических объектов

При решении многих геологических задач возникает необхо­ димость количественной оценки пространственной изменчивости свойств геологических объектов. Методы статистики случайных величин для этих целей малопригодны, так как все статистические модели не учитывают пространственного расположения точек на­ блюдений. Для оценки пространственной изменчивости геологиче­ ских признаков может быть использован математический аппарат теории случайных функций, широко применяемый в различных об­ ластях науки и техники.

Случайной называется такая функция, которая в результате опыта может принять тот или иной конкретный вид, причем какой именно, заранее неизвестно. Аргументами при этом могут быть время (случайные процессы) или координаты пространства (слу­ чайные поля или последовательности). Случайные процессы ис­ пользуются в качестве моделей прибрежно-морских гидродинами­ ческих процессов, для описания сезонных колебаний уровней грун­ товых вод, при изучении гидродинамических свойств пород, при опытных откачках из скважин и т. п. Гораздо чаще геологу прихо­ дится иметь дело с моделями случайных полей и последовательно­ стей, описывающих пространственную изменчивость самых раз­ личных геологических признаков в одномерном, двумерном или трехмерном пространствах.

Конкретный вид, который принимает функция в результате опыта, называется ее реализацией. Так, например, каротажная диа­ грамма по скважине может рассматриваться как реализация случай­ ной функции, описывающей изменение изучаемого физического свойства пород на пробуренном интервале. Совокупность несколь­ ких контрольных каротажных диаграмм образует семейство или ансамбль реализаций случайной функции. Каждая реализация от­ ражает общие тенденции в изменении изучаемого свойства, но они

несколько отличаются друг от друга. В данном примере это обу­ словлено аппаратурными погрешностями, некоторым несовпадени­ ем точек замеров и другими случайными факторами.

Совокупность значений случайной функции Х{1) при любом фиксированном значении аргумента / называется сечением случай­ ной функции и является обычной, случайной величиной, то есть такая функция совмещает в себе черты случайной величины и функции. Если зафиксировать значение аргумента, она превраща­ ется в обычную случайную величину, а отдельная реализация мо­ жет рассматриваться как обычная (неслучайная) функция.

Модель типа случайной функции, как и статистическая, осно­ вана на положениях теории вероятностей. Процесс моделирования сводится в конечном итоге к получению выборочных значений и к их статистической оценке путем проверки статистических гипо­ тез с помощью критериев согласия. При оперировании случайными функциями широко используются основные понятия математиче­ ской статистики о функциях и моментах распределения, уровнях значимости и доверительных вероятностях событий.

Главными характеристиками случайной функции являются ее математическое ожидание Мдс(/), дисперсия Д(/) и корреляционная функция Кх(1). В отличие от числовых характеристик случайных величин, представляющих собой определенные числа, характери­ стики случайных функций представляют собой не числа, а функции.

Математическим ожиданием случайной функции Х(Г) называ­ ется неслучайная функция Мх(/), которая при каждом значении ар­ гумента / равна математическому ожиданию соответствующего се­ чения случайной функции. Оценка математического ожидания по ансамблю из N реализаций рассчитывается по формуле

т = ^ х к(1)ш

*=1

и является геометрическим местом точек средних значений изучае­ мого свойства по сечениям.

Дисперсией случайной функции Х{1) называется неслучайная функция Ас(/), значения которой для каждого / равны дисперсии соответствующего сечения случайной функции. Она характеризует

ширину полосы разброса возможных реализаций случайной функ­ ции относительно ее математического ожидания. Оценка дисперсии случайной функции рассчитывается по формуле

N - 1

Для описания основных свойств случайной функции математи­ ческого ожидания и дисперсии недостаточно. Ни одна из данных характеристик не отражает особенностей внутренних связей между отдельными сечениями такой функции. С этой целью используется специальная характеристика-корреляционная функция, отражаю­ щая степень зависимости между сечениями случайной функции при различных /.

Корреляционной функцией случайной функции Х(1) называется неслучайная функция двух аргументов Я*( (/',/"), которая при каж­ дой паре значений аргумента равна корреляционному моменту со­ ответствующих сечений случайной функции

AT,(/',0 = M [i(/W )],

В этом выражении х{1')и х(Г) -значения центрированной слу­ чайной функции при значениях аргумента /' и /". Центрирование случайной функции осуществляется путем вычитания из значений случайной функции ее математического ожидания

i(/) = JC(/)-M JC(/).

В частном случае, когда оба аргумента случайной функции совпадают, т. е. /' = корреляционная функция Кх(Г,Г) обраща­ ется в дисперсию случайной функции

При использовании случайных функций для целей геолого­ математического моделирования геологические объекты рассмат­ риваются как случайные поля, состоящие из элементарных участ­ ков, каждый из которых соответствует зоне экстраполяции единич­

ного наблюдения. В пределах каждого элементарного участка изу­ чаемое свойство рассматривается как случайная величина, изме­ няющаяся относительно некоторого ее среднего значения. Измене­ ния математических ожиданий и дисперсий этих случайных вели­ чин можно описать неслучайными функциями координат центров элементарных участков и рассматривать эти функции как матема­ тическое ожидание и дисперсию случайной функции.

Упорядоченный ряд значений признака, полученных путем оп­ робования по заданному направлению в определенных точках внут­ ри данного поля, представляет собой одну из возможных реализа­ ций случайной функции, аргументом которой является расстояние между точками наблюдений. Группа точечных значений параметра, расположенных в одной плоскости, представляет собой реализацию плоскостного сечения случайного поля, а вся совокупность точеч­ ных замероводну из его объемных реализаций.

Принципиальная особенность данной модели заключается в том, что она отражает не только специфику природной изменчи­ вости геологических объектов, но и методику их изучения. Модели одного и того же участка недр, построенные по совокупности экс­ периментальных данных, могут существенно различаться в зависи­ мости от объема проб и густоты сети наблюдений. Для описания изменчивости любого свойства практически достаточно знать ха­ рактеристики случайных функций по трем взаимно ортогональным направлениям, совпадающим с осями анизотропии природных гео­ логических тел.

Для описания характера изменчивости двумерных дологиче­ ских полей используют двумерную автокорреляционную функцию

(ДАКФ), которая выражает силу корреляционной связи между зна­ чениями признака в точках поля, расположенных на разном рас­ стоянии друг от друга относительно двух координат пространства X

и Y.

Использование аппарата теории случайных функций для реше­ ния геологических задач сопряжено с рядом сложностей и ограни­ чений. Главное из них заключается в том, что такая функция, по­ добно случайной величине, является совокупностью частных реали­ заций, в то время как результаты геологических наблюдений чаще всего представляют собой одну-единственную реализацию случай­

ной функции. Оценка случайной функции по одной реализации возможна только в том случае, если она обладает свойствами ста­ ционарности и эргодичности. Функции же, характеризующие на­ блюдаемую изменчивость свойств природных геологических обра­ зований, как правило, не обладают этими свойствами. Поэтому при использовании моделей типа случайных функций вводится ряд до­ пущений.

Для расчета важнейших характеристик эмпирических случай­ ных функций необходимо обеспечить массовость исходных экспе­ риментальных данных. Поэтому широкое применение модели ра­ ционально только в тех случаях, когда количество единичных на­ блюдений достаточно велико, а их плотность обеспечивает отчетливое проявление автокорреляции наблюдаемых значений признака.

Моделирование геологических явлений и процессов является примером дедуктивного метода научного исследования и использу­ ется для изучения процессов (явлений) по результатам их проявле­ ний. Модели можно разделить на качественные (понятийные, или концептуальные) и количественные (математические).

Построение качественной модели и выявление главных дви­ жущих факторов изучаемого геологического процесса или явле­ ния - очень сложный и ответственный этап. В общем случае по­ строение качественной модели включает выявление исходных ком­ понент, главных (определяющих) факторов и результата изучаемого процесса.

Исходные данные имеют сложную структуру. По своему на­ значению они делятся на три группы: эталонную, прогнозную

и контрольную.

Эталонные данные наиболее представительны и содержат обычно в небольшом объеме исходные данные и соответствующий им результат. Эти данные используются для выявления закономер­ ностей связи между качественной или математической формами.

Прогнозная группа содержит только исходные данные. Исполь­ зуя выявленную связь, по эталонным данным и можно прогнозиро­ вать результат.

Контрольные данные составляют часть эталонной группы; это данные, сознательно не используемые для выявления связи и слу­ жащие для контроля эффективности модели.

При поисках структур часто возникает необходимость опреде­ ления характера поведения пласта в разрезе нижней (слабо изучен­ ной) границы пласта, но на его мощность влияют часто постседиментационные изменения, связанные с последующими размывами и дислоцированностью пород. В зонах размыва мы наблюдаем со­ кращенную, а на изгибах - увеличенную мощность пласта. Влияние каждого из постседиментационных факторов можно представить в виде количественной модели.

Построим количественную модель на примере качественного соотношения глубин залегания кровли и подошвы пласта.

В качестве исходных данных примем глубину залегания пласта hi, а результатом будем считать глубину на подошве А2; тогда име­ ем

Л2(х) = Л,(х) + Я ,

где Н —мощность пласта постоянная. Если нет размыва пласта, то

h2(x)<hx(x) +H.

Если по результатам сопоставления удается определить глуби­ ну размыва ДА, то

Нг(х)> h{(x) + Н.

По данным выражениям можно количественно определить A2(JC) разными методами. В соответствии с ними математические

модели, основанные на законах физики, геометрии и т.д., называ­ ются детерминированными', модели, использующие вычислитель­ ный аппарат теории вероятности и математической статистики, - статистическими. В некоторых задачах отсутствие точных дан­ ных о характере связи между параметрами не позволяет построить детерминированную модель, но не является препятствием для по­ строения модели статистической.

Одним из наиболее широко используемых при изучении земли многомерных методов является дискриминантный анализ. Мы рас­ смотрим его по двум причинам: во-первых, он является мощным статистическим методом, во-вторых, его можно поставить в один

ряд с одномерными задачами, поэтому он позволяет установить дополнительную связь между одномерной и многомерной стати­ стикой.

Предположим, что мы собрали две группы проб сланца, о кото­ рых заранее известно, что они образовались в пресноводном и мор­ ском бассейнах (это можно определить на основании исследования ископаемых останков). В пробах измерено некоторое число геохи­ мических переменных, а именно - содержание ванадия, бора, желе­ за и т.д. Задача состоит в нахождении такой линейной комбинации этих переменных, которая даст максимально возможное различие между двумя ранее определенными группами. Если нам удастся найти такую функцию, то мы сможем использовать ее для размеще­ ния новых образцов в той или иной исходной группе. Иными сло­ вами, новые образцы сланца, не содержащие диагностических ос­ татков, можно будет разделить на морские и пресноводные на осно­ ве линейной дискриминантной функции.

Простая линейная дискриминантная функция осуществляет преобразование исходного множества измерений, входящих в вы­ борку, в единственное дискриминантное число. Это число, или пре­ образованная переменная, определяет положение образца на пря­ мой, определенной дискриминантной функцией. Поэтому дискри­ минация представляет собой «сжатие» многомерной задачи в одномерную.

Основой дискриминантного анализа является нахождение пре­ образования, которое дает минимум отношения разности много­ мерных средних значений для некоторой пары групп к многомер­ ной дисперсии в пределах двух групп. Один из методов нахождения линейной дискриминантной функции - построение уравнения рег­ рессии, где зависимыми переменными являются разности между многомерными средними значениями двух групп. В матричном

обозначении необходимо решить уравнение вида [&*][A.]= [D ],

где [&^] - т хт матрица дисперсий и ковариаций объединенной

выборки; [к] - вектор-столбец коэффициентов дискриминантной функции; [D] - вектор-столбец разностей между средними значе­ ниями признаков групп.

Дискриминантную функцию запишем в виде

/? = V , + ^ 2-*2 + - + 4.-*m-

Это линейная функция; суммируя ее слагаемые, получаем чис­ ло, которое называется дискриминантной меткой:

V _ Л +В.

~ 2 ~ ‘

Подставляя в уравнение дискриминантной функции среднее арифметическое, полученное из средних значений для двух выбо­ рок, находим значение дискриминантного индекса /?0, который со­ ответствует точке, разделяющей прямую, и эта точка лежит в точ­ ности посередине между центром группы А и центром группы В.

Подставление в уравнение многомерного среднего значения А даст нам RA, а многомерного среднего значения В - RB.

Точки, попавшие из группы А в группу В и наоборот, непра­ вильно расклассифицированы дискриминантной функцией, и полу­ ченную функцию нельзя применять для классификации новых объ­ ектов.

Дискриминантная функциия применима при следующих усло­ виях:

1.Наблюдения в каждой группе выбираются случайно.

2.Вероятно, что неизвестные наблюдения, принадлежащие лю­ бой из групп, равны между собой.

3.Переменные распределены нормально.

4.Ковариационные матрицы различных групп имеют одинако­ вый порядок.

5.Ни одно из наблюдений, используемых для построения дис­ криминантной функции, не было ложно расклассифицировано.

Критерий значимости для дискриминантной функции строится на основании ^-статистики. Производится вычисление «расстоя­ ния» между двумя многомерными средними значениями, то есть просто вычитаем RAиз /?д, и это расстояние называется расстоянием Махалонобисса, или обобщенным расстоянием D2

Если средние значения двух групп очень близки друг к другу, то их трудно разделить, особенно когда обе группы имеют большой

разброс. Наоборот, если два средних значения легко разделяются и рассеяние вокруг них мало, разделение осуществляется относи­

и исключить их из дальнейшего рассмотрения.

Математическая статистика использует ряд терминов, заимст­ вованных из электротехники. Наблюдаемые значения имеют два компонента: основной сигнал, или главную составную часть измен­ чивости, и случайные помехи, то есть шум. Шум - это короткодей­ ствующая составляющая, сигнал - наоборот, долгодействующая составляющая исходных данных. Иными словами, последователь­ ные значения сигнала обычно взаимокоррелированы, тогда как шум в одной точке совсем не зависит от шума в соседних точках. Так как сигнал от точки к точке почти не меняет своего вида, в то время как шум имеет обратную тенденцию, то среднее значение по несколь­ ким промежуточным точкам стремится к значению только одного сигнала.

Предположим, что измеряется переменная у; каждое измерение будет состоять из сигнала у, и случайной или шумовой компоненты 8/. В качестве оценки сигнала у, в точках наблюдения можно вы­ брать среднее значение нескольких наблюдений у в соседних точках.

Последовательность оценок у образует более плавную кри­ вую, чем исходная последовательность у. Поэтому методическая часть называется сглаживанием данных, или фильтрацией.

Наиболее простой способ сглаживания - это метод скользяще­ го среднего. Сглаживание значения у вычисляют по формуле

j=i~k

т

, т -1

где к = —-—;

т - длина интервала, в котором производится сглаживание, или число точек, по которым вычисляются средние значения.

5.2.Использование энтропии для решения задач

внефтяной геологии

Разрабатываемые системы количественных показателей долж­ ны охватывать не только отдельные геологические явления и объек­ ты, различные их свойства и признаки, но и естественные сочетания объектов и явлений, образующие системы. Эта задача является осо­ бенно трудной.

Теория информации используется во многих случаях для реше­ ния задач, общих с математической статистикой, и отличается од­ ним активным свойством: несмотря на разнообразие, стремится вы­ яснить, чего можно достичь именно благодаря разнообразию.

Одним из основных понятий, которыми оперирует теория ин­ формации, является энтропия. Энтропия - это внесение хаоса в упорядоченную систему. Ее можно рассматривать не только как меру неопределенности наших знаний относительно системы собы­ тий, но и как меру разнообразия самой этой системы.

Для дискретной системы событий энтропию можно вычислить по формуле Шеннона

H =-^P(i)logP(i),

/

где P(i) - вероятность наступления события / в изучаемой системе. Вычисление значений энтропии отличается простотой, особен­

но при использовании данных, приведенных в специальных табли­ цах, и вся операция в этом случае сводится к суммированию таб­ личных значений.

Энтропия как мера неоднородности лишена многих недостат­ ков, присущих дисперсии, коэффициенту вариации; ее размерность зависит только от выбранного основания логарифмов; она не связа­ на с величиной среднего значения и более полно, чем дисперсия, характеризует асимметричные и сложные виды распределения. При нормальном распределении и использовании натуральных лога­ рифмов энтропия связана с сг-зависимостью:

И(х) = 0,916 + 1п-^-, Ах

где Ах - величина классового интервала, которую определяют по формуле Стерджеса: