2.Механические свойства горных пород

трех взаимно перпендикулярных площадок в одной точке; nt — единичный вектор, нормальный к соответствующей рассматри­ ваемой площадке.

Вэтом тензоре любые два касательных напряжения т, лежащие

водной плоскости и направленные противоположно, должны

быть равны, поскольку тело находится в равновесии и, следо-

Рис. 2.1. Компоненты напряжений о элементарном кубике породы, находящемся в сложно­ напряженном состоянии

Рис. 2.2. Построение диаграммы напряжений (кругов Мора)

вательно, полный момент сил относительно центра элементарного кубика должен быть равен нулю. Поэтому

Таким образом, напряженное состояние твердого тела в лю­ бой плоскости можно охарактеризовать действующими в ней нормальными и касательными напряжениями. Они взаимосвя­ заны и могут быть рассчитаны методом сложения векторов. Так, если образец испытывает плоское напряженное состояние (боль­ шее ох и меньшее аь напряжения), то в плоскости под утлом а будут действовать:

нормальные напряжения

Связь между о и г может быть также представлена графически с помощью так называемых к р у г о в н а п р я ж е н и й Мора, которые строятся следующим образом. По оси абсцисс (рис. 2.2) откладывают максимальное и минимальное значения нормаль­ ных напряжений, действующих на образец; на разности отрезков, как на диаметре, строят круг.

Значения касательного и нормального напряжений в любой точке образца могут быть найдены, если задан угол плоскости, в которой определяются напряжения. Под этим углом из точки пересечения окружности с абсциссой проводят прямую до ее пересечения с окружностью. Ордината точки пересечения окруж­ ности с прямой численно равна значению отыскиваемых касатель­ ных напряжений, абсцисса — значению нормальных напряжений.

Каждому частному значению напряженного состояния соот­ ветствует свой круг напряжений.

Напряжения в породах могут создаваться не только действием внешних нагрузок, но и различными физическими полями. Это,

возникают, например, при неравномерном распределении напря­ жений из-за местной текучести материала.

породе еще больше, чем вычисленные по формуле (2.6), из-за

Деформации, соответствующие нормальным напряжениям, вы­ ражаются через относительное изменение е линейных размеров

Деформации, соответствующие касательным напряжениям, вы­ ражаются через угол сдвига у граней образца. Величина д е ф о р ­

Линейные и сдвиговые деформации можно разложить на соста­ вляющие по осям координат и написать т е н з о р д е ф о р м а

Рис. 2.3. Типичные графики дефор­ маций пород:

где и —- общее обозначение любой деформации; i и j — индексы, обозначающие соответствующие оси координат (они могут при­ нимать значения осей х , у, z).

Тензор деформаций симметричный, так как противоположные сдвиговые деформации (например, уху и уух) равны между собой.

Характер и значение деформации зависят от приложенных напряжений и их типа. Увеличение нагрузок приводит к воз­ растанию деформаций и в пределе возникает р а з р у ш е н и е — порода теряет свою сплошность, разделяется на части. Деформации,

порциональность между величинами напряжений и соответству­ ющих деформаций. При этом в породе накапливается потенциаль­ ная энергия, которая после прекращения действия внешних сил возвращает деформированный объем в исходное состояние.

Пластические деформации находятся в значительно более сложной зависимости от напряжений. Характерной чертой пласти­ ческих деформаций является их необратимость после снятия нагрузки — форма и размеры тела полностью не восстанавли­ ваются.

В зависимости от этих деформаций горные породы могут быть подразделены на у п р у г о - х р у п к и е (пластическая зона практически не наблюдается вплоть до разрушения), у п р у г о ­ п л а с т и ч н ы е (разрушающей деформации предшествует зона

навливать исходную форму и размеры после снятия нагрузки. Полное восстановление размеров и формы возможно только в пределах упругих деформаций. Минимальные напряжения,

из параметров упругости пород. Остальные параметры, численно оценивающие упругие свойства пород, — коэффициенты про­ порциональности между напряжениями и соответствующими им упругими деформациями.

Если порода испытывает объемное напряженное состояние, то, очевидно, необходимо учитывать все действующие напряжения и возникающие деформации. Такое состояние пород наиболее полно может быть записано в виде т е н з о р а у п р у г о с т и . Так как каждая из девяти компонент деформаций связана с каж­ дой из девяти компонент напряжений, то всего для описания

то каждый из них включает в себя только шесть различных эле­ ментов и число коэффициентов снижается до 36. Из них неза­ висимы только 21. С повышением симметрии кристалла число независимых коэффициентов снижается. Так, кристаллы ромби­ ческой сингонии имеют только 9 коэффициентов, тетрагональной и тригональной — по 6, а кубической — только 3.

Для случая полностью изотропного тела связь между напря­ жениями и деформациями может быть выражена системой шести уравнений (обобщенный закон Гука), куда входят три пара­

метра упругости Е, G и v, из которых независимы только два:

е;/ — -jrlGy — v {QZН- сг^)];

вг=='Г [.<г* — v K + a*)];

(2.10)

Уху — ~Q ^xy'l

у- J _ T .

Yzx ~ ^гд:»

где E — коэффициент пропорциональности между действующим нормальным напряжением о (сжимающим и растягивающим) и соответствующей ему относительной продольной упругой де­

G — м о д у л ь с д в и г а — коэффициент пропорциональ­ ности между касательным напряжением т и соответствующей де­ формацией сдвига у (см. рис. 2.4):

v — коэффициент пропорциональности только между дефор­ мациями — относительными продольными AZ/Z и относительными поперечными A did (см* рис. 2.4), называемый к о э ф ф и ц и е н ­ т о м П у а с с о н а:

Величина v безразмерная, теоретически не выходящая за пре­ делы 0—0,5.

Модуль продольной упругости Е и модуль сдвига- G соответ­ ствуют основным видам напряжений и деформаций и поэтому счи­ таются основными характеристиками упругости породы.

Они связаны с коэффициентом Пуассона следующей зависи­ мостью:

В случав равномерного трехосного сжатия породы пропорцио­ нальная связь между давлением Ра и относительным изменением

носит название коэффициентов соответствующей деформируемо­ сти (например, ПК — коэффициент объемного сжатия).

В зависимости от целей использования параметры упругости определяют либо статическим, либо динамическим способом. Ста­ тические свойства характеризуют породу при довольно длитель­ ных процессах воздействия на нее нагрузки, динамические — при мгновенных воздействиях (взрывание, ударное бурение и т. п.).

Рис. 2.5. Соотношение чис­ ленных значений парамет­ ров упругости пород при разных значениях коэффи­ циента Пуассона

2.3. Влияние состава и строения пород на их упругие свойства

Наличие в породе минералов, обладающих повышенными зна­ чениями параметров упругости (см. приложение 5), в общем слу­ чае увеличивает их значения и для породы в целом.

Действительно, объем породы, сложенной в основном из жест­ ких зерен минералов, деформируется под действием всесторон­ него давления в меньшей степени, чем породы, в которой этих зерен немного. Так как модуль объемного сжатия К обратно пропорционален AVIV, то, следовательно, в первом случае К будет больше, чем во втором.

В первом приближении зависимость К от минерального состава пород может быть представлена как арифметическое средневзве­ шенное K t минералов, слагающих породу.

Известно, что темноцветные минералы обычно имеют увели­ ченные модули упругости. Поэтому при переходе от кислых пород

косновным и ультраосновным наблюдается возрастание К и Е.

Втакой же последовательности происходит рост, и плотности пород (см. раздел 1.4). Это, в свою очередь, приводит к часто на­

блюдаемому возрастанию модулей упругости пород с увеличением их плотности.

Модуль Юнга большинства горных пород имеет порядок от 109 до 10й Па (см. приложение 4). F

Высокими значениями модуля Юнга (до 2,7-10и Па) обладают железисто-магнезиальные и рудные минералы (оливин гпанат пирит). Модуль Юнга кварца равен примерно 1011 Па’

Показатель 10/1п характеризует форму порового пространства. Так, если 10/1п = 1, то поры могут быть представлены как каналы, вытянутые

вдоль направления действия нагрузки, и формула приобретает вид арифме­ тического средневзвешенного:

5

Рис. 2.8. Зависимость модуля Юнга пород от пористости:

а — по экспериментальным данным: 1 — £7 = 8,1* 1010(1— 3,2Р)2; 2—jE = 8,l* 10хо(1—Р1/ *);

1_р

б — по эмпирическим формулам: 1 — £7 = £70 (1 — Р); 2 — £7 = ■7 £70; 3—Е =

1 " Or

= £70 (1 — 2Р)2; 4 — £7 = £70 (l — Р1/*); й — £7 = £70е”5Р

Если Zo/Zn > 1, влияние пористости на значение модуля Юнга пород увеличивается. Так, если J0/Zn = 4, то

Поры в этом случае — плоские широкие, ориентированные перпенди­ кулярно к направлению действия нагрузки.

Однако уравнение (2.32) не всегда позволяет получить значение модуля Юнга, близкое к экспериментальным.

Обработка экспериментальных данных показывает, что наи­ большее приближение к реальным данным дает квадратичная зависимость между Е и Р типа

где а — параметр формы порового пространства (а = 1,5 -f- 4). Предложено много других уравнений для расчета модулей Юнга пористых пород (рис. 2.8). Однако все они дают лишь близ­ кие к истинным значения Е. Различия в поровом пространстве пород, их трещиноватости и структурной неоднородности позво­ ляют вывести пригодные для практических расчетов зависимости

только для частных случаев — конкретных пород конкретных ме­ сторождений.

Объединяя расчетные зависимости модуля Юнга от минерального состава с зависимостями от пористости, можно произвести расчет Е реальной горной породы при различных значениях Р. Например, для пород подгрупп строения 2.1 и 3.1

Горные породы групп строения 2.1 и 3.1 только приближенно можно отнести к упругим твердым телам прежде всего из-за их пористости.

Поэтому для таких пород (известняки, песчаники, гипсы) модуль упругости, полученный при первом нагружении, меньше, чем при последующих нагружениях. Этот показатель, вычислен­

Установлено, что коэффициент Пуассона с увеличением по­ ристости может либо увеличиваться, либо уменьшаться. Таким образом, определенной связи между v и Р не существует. Однако во многих случаях величина v с увеличением пористости умень­ шается.

2.4.Пластические свойства пород

Вобласти пластических деформаций полностью нарушается прямая пропорциональная зависимость между деформациями породы и нагрузкой и деформации становятся иеобратимыми. При

этом наблюдается увеличение скорости роста деформаций с по­ вышением нагрузки.

Наиболее вероятный механизм пластической деформации в гор­ ных породах — межзеренное скольжение (сдвиг зерен по опреде­ ленным плоскостям и направлениям под действием напряжений).

Пластическая деформация происходит без нарушения сплош­ ности вещества. В горных породах наряду с этим наблюдается взаимное перемещение довольно больших объемов, обжатие, смятие и т. п. Таким образом, довольно часто явления пластич­ ности, рассматриваемые в породах, не совпадают с понятием пла­ стичности, существующим в физике твердого тела, так как, строго говоря, ряд явлений, вызывающих в породах остаточные дефор­ мации, следует отнести к разрушающим (квазипластичность).

Для описания связей между деформациями и напряжениями в пластической области пользуются различными механическими моделями деформирования тел.

Большинство горных пород относится к упрочняющимся те­ лам — в них для поддержания пластических деформаций необ­ ходимо повышать напряжения. Однако это возрастание напряже­

но

ний происходит с убывающей скоростью и всегда значительно меньше, чем в области упругих явлений.

Такое поведение породы может быть смоделировано при по­ мощи комбинации идеально упругого тела Гука (пружины) и идеально вязкого тела Ньютона. Последнее представляет собой поршень с отверстиями, движущийся в цилиндре, наполненном вязкой жидкостью. Параллельное соединение этих тел дает

дб е д е

■OiK?:

д— пластичная (Сеп-Венана); е — вязко­ пластичная (Бингама—Шведова)

Рис. 2.10. Схема в расчету модулей деформации и пластичности горных пород: tg a Е \ tg a ' = Ядеф; tga" = Е пЛ

модель тела Кельвина — Фойгта, последовательное — тела Макс­ велла (рис. 2.9).

Если упрощенную связь между напряжением о и относитель­ ной деформацией е в области пластической деформации выразить

Предельный секущий модуль деформации — отношение при­ роста напряжений в пластической зоне (до момента разрушения породы) к полной относительной деформации в области пластиче­ ской зоны (до момента разрушения) — называется модулем пла­

Если на рис. 2.10 соединить прямой линией конечную точку графика (момент разрушения образца) с началом координат, то

тангенс такого угла будет называться модулем полной деформа­ ции:

В результате этого на дополнительное деформирование пластиче­ ской породы с целью ее разрушения тратится больше энергии, чем на разрушение упругой (хрупкой) породы, обладающей тем же пределом прочности. Это видно из рис. 2.11, где площадь OCD равна работе А р, затраченной на разрушение реального образца, а площадь АВО — работе, затраченной на разрушение идеально хрупкой породы А у с той же величиной асж. Отношение Л р/Лу

называется коэффициентом пластичности кпл. Данный коэффи­ циент определяется по формуле

Из формулы (2.37) видно, что для оценки пластичности пород

Обычно с ростом прочности пород коэффифициент пласти­ чности уменьшается.

Пластичность горных пород зависит от их минерального со­ става.

Наличие жестких кварцевых зерен и полевого шпата в породе уменьшает ее пластичность.

В углях наблюдается зависимость пластичности от содержа­ ния в них углерода. При переходе от мало метаморфизованпых углей к антрацитам пластичность углей уменьшается в 30 раз.

Пластические свойства пород чувствительны к внешним воз­ действиям. Обычно пластичность пород повышается с их увлаж­ нением. Исключительно высокими пластическими свойствами обла­ дают связные породы (группа строения 3. п). В зависимости от сте­ пени увлажнения глинистые породы могут быть хрупкими, пла­ стичными или текучими (см. раздел 6.1).

Пластичность скальных пород увеличивается с повышением температуры и всестороннего давления. С повышением темпера­ туры количество дислокаций в породах не изменяется, но значи­ тельно увеличивается их подвижность, что способствует пдастиче-