- •1.1. Характерные особенности современных НИ
- •1.2. Типовая структура АСНИ
- •1.3. Задачи, решаемые АСНИ
- •1.3.1. Задачи автоматизации экспериментальных исследований
- •1.3.2. Автоматизация этапов НИ, носящих творческий характер
- •1.5. Экономический эффект от автоматизации НИ
- •1.6.1. Экспериментальные исследования
- •1.6.2. Цели автоматизации экспериментальных исследований
- •1.6.3. Назначение АСНИ-Э
- •1.6.5. Структуры АСНИ-Э
- •1.6.6. Функциональная структура АСНИ-Э
- •1.6.7. Основные направления работ по созданию АСНИ-Э
- •Контрольные вопросы
- •2. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ИССЛЕДУЕМОГО ОБЪЕКТА
- •2.3. Второй способ оценки спектральной плотности
- •2.4. Получение вторым способом сглаженной оценки спектральной плотности
- •2.5. Оценка взаимных корреляционных функций двух эргодических случайных процессов
- •Контрольные вопросы
- •3. ПРИМЕНЕНИЯ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА ИССЛЕДУЕМОГО ОБЪЕКТА
- •3.1. Оценка частотной характеристики исследуемого объекта, представляющего собой линейную динамическую систему
- •1 GAfk)
- •Контрольные вопросы
- •ГЛАВА 4. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
- •4.1. Генеральная и выборочная совокупность случайной величины X
- •4.2. Задачи, решаемые при статистической обработке результатов измерений случайной величины X
- •4.3. Оценивание по выборке статистических характеристик случайной величины X
- •4.4. Общие свойства точечных оценок
- •4.5. Методы получения точечных оценок параметров закона распределения случайной величины X
- •4.5.1. Метод моментов
- •4.5.2. Метод максимума правдоподобия
- •4.6. Законы распределения, наиболее широко используемые при статистической обработке результатов измерений
- •4.6.1. Нормальное распределение
- •4.6.2. Распределение %2
- •4.6.3. Распределение Стьюдента
- •4.6.4. Распределение Фишера
- •4.7. Доверительный интервал и доверительная вероятность
- •4.8. Корреляционный анализ
- •Контрольные вопросы
- •ГЛАВА 5. ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ИССЛЕДУЕМОГО ОБЪЕКТА С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
- •5.1. Статистические математические модели исследуемого объекта
- •5.2. Метод наименьших квадратов
- •5.2.1. Постановка задачи
- •5.2.2. Решение задачи определения математической модели исследуемого объекта
- •5.2.4. Ошибки при выборе вида математической модели исследуемого объекта
- •5.2.5. Проверка адекватности математической модели исследуемого объекта
- •Контрольные вопросы
- •ГЛАВА 6. ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА
- •6.1. Теория эксперимента
- •6.2. Основные понятия планирования эксперимента
- •6.3. Общие требования к плану эксперимента. О критериях планирования эксперимента
- •6.4. Планы для моделей, описываемых полиномами первого порядка
- •6.4.1. Вид модели
- •6.4.2. Полные факторные планы
- •6.4.3. Дробные факторные планы
- •6.5.1. Вид модели
- •6.5.2. Применение полных факторных планов для моделей типа (6.40)
- •6.5.3. Применение дробных факторных планов для модели типа (6.40) и порядок смешивания оценок коэффициентов
- •6.5.4. Вычислительные формулы и свойства планов 2" р
- •6.6. Планы для квадратичных моделей
- •6.6.1. Вводные замечания
- •6.6.2. Ортогональные центральные композиционные планы
- •Контрольные вопросы
- •ЗАКЛЮЧЕНИЕ
- •Файзрахманов Рустам Абубакирович, Липатов Иван Николаевич
- •АВТОМАТИЗАЦИЯ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ
2.СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ИССЛЕДУЕМОГО ОБЪЕКТА
2.1.Определение оценок математического ожидания
икорреляционной функции эргодического случайного
процесса по одной реализации
На рис. 2.1 показана схема измерения одной реализации х(() эрго
дического случайного процесса X (/) на выходе исследуемого объекта.
Исследуемый
объект
Датчик |
*(/) |
W |
W |
Рис. 2.1
Оценки математического ожидания и корреляционной функции случайного процесса X(t) на основании эргодического свойства мож но определить по записи одной какой-либо реализации на достаточно большом интервале времени Т как средние по времени [11]:
^ ’ = 7 ^ ( 0 ^ ; |
(2.1) |
= —— }[х(/)-т*Дх(/ + т)-т*]<Л, |
(2.2) |
T - t о |
|
где x(t) - заданная реализация случайного процесса X(t) ; т - время. На практике интегралы в формулах (2.1), (2.2) заменяют суммами.
При этом весь интервал записи Т разбивают на п равных участков:
At = — (рис. 2.2).
п
Формулы для оценок /и*, К'х{т,„) = K'x(mAt) принимают вид [12]:
т\ = 7 Д'Ё * ( 0 ; |
|
|
I |
/=1 |
|
А/ |
п~т |
- m\ ] |
к (т.) = К > Д < ) = ----- -- 1 W O - |
||
Т - mAt |
(=-i |
|
или |
|
|
w* = - ! > ( ',) ; |
(2.3) |
|
п |
м |
|
|
|
i |
п -т |
mx][x(tl+m) - т]], |
(2.4) |
|
|
|
£[*(/,) - |
||||
|
|
п - т /=1 |
|
|
|
|
где |
ti =(i-\)At +~ -, т = 0,\,2,...,т* |
т |
\ m=mAt\ |
|||
^i+m |
/• |
. At . |
|
|
|
|
(г + т - 1 ) + — ; А/ - интервал дискретности измерении реали |
||||||
зации x(t).
x{t)
Оценку дискретности Д* случайного процесса X (() можно опре
делить по К*х (mAt) при т = 0.
2.2. Определение оценки спектральной плотности
через оценку корреляционной функции
Для выборки из преобразованной реализации x(t) стационарного
случайного процесса со средним значением гпх = 0 первичная оценка
Gx( f ) истинной спектральной плотности G,x( f ) определяется для
произвольных значений / диапазона 0 < / < f c в виде [2]
m -I |
|
Gx(f) = 2At < (0 ) + 2 2% (rA/)cosfnrf^ + |
|
Г—1 |
fc |
К'х(тп Ai) cos
fc j
где Kl(rAt) - оценка корреляционной функции Kx(rAt) ; / - частота, Гц; f e = X ^ ) - частота среза.
Уравнение (2.5) есть дискретный аналог теоретической зависимости
со оо
<?,(/) = 4 jA^(T)cos(27t/r)dT = 2 J^(x)cos(2n/r)^T,
О -со
где максимальное значение г определяется по формуле т . = ти*А/ Таким образом,
|
<?,(/) = 2 }/:;(т)со5(2л/т)Л . |
( 2.6) |
|
Следовательно, уравнение (2.5) есть дискретный аналог соотно |
|||
шения (2.6). |
|
|
|
|
|
А |
только для |
Рекомендуется рассчитывать значения функции Gx(f) |
|||
тп +1 дискретных частот: |
|
|
|
|
f k =-^т, к =0,1,2,...,т* |
(2.7) |
|
|
m |
|
|
В результате будет получено |
тп +1 независимых оценок спек |
||
тральной плотности. На этих дискретных частотах [2] |
|
||
|
f L-f \ |
=2Д(|Х(0) + |
|
G»=G,(/,) = G, & |
|
||
m-1 |
\m |
|
(2.8) |
nrk\ |
|
||
+ (-l)4 -IcKmAt)]. |
|
||
+ 2 2^(rA/)cod 2Ц- |
|
||
r-1 ' |
Vm ) |
|
|
Индекс к называется порядком гармоники, a Gk - первичной оценкой спектральной плотности для гармоники порядка к, т.е. на
Сглаженные оценки Gk, к = 0,1,2,...,m’ спектральной плотности находятся в виде [2]:
G0= 0,5G0 +0,5G,; |
|
Gk = 0,25<J A._I + 0,5Gk + 0,25Gi+|, к = 1 , 2 - 1 ; ► |
(2.9) |
G . = 0,5G , + 0,5G |
|
2.3. Второй способ оценки спектральной плотности
Рассмотрим реализацию x(t) длиной Тг, принадлежащую стацио нарному случайному процессу X(t) и имеющую нулевое среднее значение гпх =0. Разобьем её, как показано на рис. 2.3, на nd смеж ных отрезков длиной Т каждый и обозначим эти отрезки через *,((* - 1)Г < / < гТ), где i = 1,2,..., nd.
Рис. 2.3
Оценка Sx( f ) двухсторонней спектральной плотности Sx( f) на произвольной частоте / определяется соотношением [3]
S ,(/) = - L r i ; ^ , ( / , r ) |, |
(2.10) |
где
о
При дискретном временном параметре каждая реализация х,(/)
представлена N значениями временного |
ряда |
хш= х, (nAt) |
(п = 0,1,...,N - \ , i = 1,2,...,nd). Преобразование |
Фурье, |
отвечающее |
формуле (2.10), даст значение спектральной плотности на дискретных частотах:
/ =А = -^ _ , * = 0,1,...,./V-1. |
(2.11) |
кТ NAt
При этом коэффициенты Фурье для каждого отрезка определяются равенством [3]:
Х Ш =AtXlk = At^x,,, ехр |
- j2nkn |
(2.12) |
л=О |
N |
|
Оценка двухсторонней спектральной плотности (2.10) принимает вид
■ Ш ) = - 4 - £ X (Л )|!. * = 0.1,..., N -1. |
(2.13) |
|
ndNAt ,=i |
|
|
Односторонняя спектральная плотность Gx(f) определяется со |
||
отношением (рис. 2.4) |
|
|
1) = |2 5 ,(/),0 < /< с с |
(2.14) |
|
\о, при других / , |
||
|
||
где |
|
|
•?,(/) = S ,(-/). |
(2.15) |
|