Следовательно, согласно (5.82)

М[а0] = а0+ Ц + Ь2; М[а,] = а ,; М[а2] = а2.

Несмотря на то, что линейная модель неадекватна (не соответст­ вует действительности), оценки а, и а2 получаются несмещенными.

5.2.5. Проверка адекватности математической модели исследуемого объекта

После того как в разд. 5.2.4 были проанализированы последствия неправильного выбора вида модели, обсудим теперь метод, который дал бы нам возможность принимать решения о том, адекватной или неадекватной является принятая модель исследуемого объекта.

Проверка адекватности модели означает проверку того, согласу­ ется ли модель (5.9) вида

y(a,x) = a0f 0(x) + a j x(х) +... + akf k(х)

с данными эксперимента.

Для проверки гипотезы об адекватности модели необходимо со­ поставить достигнутую точность модели с величиной, характеризую­ щей точность наблюдений. Если ошибки, характеризующие точность модели, превосходят ошибки наблюдений, то гипотеза об адекватно­ сти модели отклоняется. В этом случае уже нельзя оценивать ошибку наблюдений путем нахождения разности между результатом наблю­ дения выходной переменной исследуемого объекта и результатом ее расчета по модели, так как в случае неправильного выбора вида моде­ ли определяемая по модели величина у, уже не может служить доста­ точно хорошей оценкой среднего значения наблюдений, поскольку

М[у‘ ] ф у' Поэтому дисперсия ошибок наблюдений может быть оце­ нена лишь путем сравнения результатов нескольких параллельных опытов, проведенных в каждой экспериментальной точке.

Опишем методику проверки адекватности модели, полагая, что в каждой из N точек х',/ = 1,2,...,N реализуется v экспериментов.

Результаты этих экспериментов для каждой точки х' представляются рядом

Для расчета оценок коэффициентов будем использовать средние зна­ чения у' ряда наблюдений для каждой точки х‘, определяемые со­ гласно (5.17) по формуле

Для проверки гипотезы адекватности модели необходимо сравнить две суммы квадратов:

1 ) сумму квадратов, характеризующую неадекватность (дефект)

Эта сумма зависит от разности между рассчитанными по модели и на­ блюдаемыми значениями выходной переменной исследуемого объекта; 2 ) сумму квадратов, характеризующую ошибки наблюдения,

(5.90)

/=1 ] = \

Сумма SD состоит из N слагаемых, между которыми имеет ме­

сто (к +1 ) линейных связей, определяемых формулой (5.37). Поэтому с суммой SDсвязано

степеней свободы.

Сумма Sc состоит из Nv слагаемых, между которыми согласно

(5.17) существует N линейных связей. При этом сумма Se имеет

(5.60) в силу приведенных выше соображений не может быть исполь­ зовано. Оценка а 2 получается теперь с помощью суммы квадратов Se

по формуле

Заметим, что а 2 в (5.93) является оценкой дисперсии величины у , которая представляет собой среднее по v параллельным наблюдениям.

Это означает, что с 2 в данном случае не является оценкой дисперсии ошибки единичного наблюдения, а определяет величину дисперсии среднего, рассчитанного по v наблюдениям. Оценка дисперсии <т2

ошибки единичного наблюдения равна va2

Перейдем теперь к проверке адекватности математической моде­ ли исследуемого объекта. Частное от деления оценки дисперсии не­ адекватности на оценку дисперсии ошибки единичного наблюдения

_ Sp /Ф1

" 2 S./ф

в случае, когда модель адекватна, является случайной величиной, подчиненной распределению Фишера с числами степеней свободы (р, и ф2 (рис. 5.5).

ния Фишера (определяется по таблице распределения Фишера (см. [13], с. 273) при известных ср,,ф2;а).

Выдвигается гипотеза Н0: имеет место адекватная модель иссле­ дуемого объекта. При этом формулируется альтернативная гипотеза

# ,: имеет место неадекватная модель исследуемого объекта. На рис. 5.5 область SQесть область принятия гипотезы Н0. Область S', есть область отклонения гипотезы Н0 или область принятия гипотезы Я ,.

Для этого используется таблица распределений Фишера. Например, при ср, = 1;ф2 = 4 для а = 0,01 из таблицы находим

то гипотеза Н0 принимается, т.е. модель исследуемого объекта адек­ ватна, и это дает основание исследователю остановиться на выбран­ ных факторах х,,дг2 ,...,хп. В противном случае число учитываемых факторов нужно увеличить или заменить линейные уравнения (5.9)

то гипотеза Н0 отклоняется, т.е. имеет место неадекватная модель исследуемого объекта.

Пример 5.4. Для пояснения процедуры проверки адекватности модели вернемся к примерам 5.1 и 5.2, сняв, разумеется, предположе­ ние о том, что линейная модель является адекватной. Чтобы прове­ рить адекватность линейной модели, необходимо добавить по край­ ней мере еще по одному эксперименту в каждой точке примера 5.1. После проведения этих опытов (табл. 5.3) получим следующие ре­ зультаты.

ивыберем модель в виде квадратичного уравнения [см. (5.4) и (5.13)]:

у= а0 +а,х, + а2х2 + а3(х, ) 2 + а4(х2) 2 + а5х,х2.

Линейная модель здесь уже оказывается недостаточной, так как целевая функция в окрестностях оптимума имеет существенную кри­ визну. В каждой из указанных точек поставим по два эксперимента (табл. 5.4).

ср = ф2 = 9 из таблицы распределения Стьюдента находим

(р;а/2 — ^9;0,025 —2,26 .

Согласно (5.13), (5.21), (5.37) и (5.38) имеем