Имеем |
|
|
|
|
е-е„ < е У= 1- а |
(4.64) |
|
или |
|
|
|
/Ч 0/,- 8 < 0 < 0л + Б У= 1 - а , |
(4.65) |
||
т.е. вероятность того, что |
интервал |
0 ,,-е,0 „ + 8 |
заключает в себе |
неизвестный параметр 0, равна 1 - а . Интервал |
0 ,,-е,0 „+Е назы- |
||
вается доверительным интервалом (рис. 4.15). |
|
||
6 |
|
|
|
- к - |
|
|
|
J___ 1 |
L |
|
|
0 м Б |
0м |
0 Н + Б |
|
Рис. 4.15
Длина доверительного интервала равна 2 s.
4.8. Корреляционный анализ
Задача корреляционного анализа заключается в исследовании свя зи между двумя случайными величинами X и У ,в исследовании сте пени близости этой связи к функциональной зависимости у = / (х).
На рис. 4.16 показана схема измерения случайных величин X и У Задача корреляционного анализа решается с помощью определе
ния коэффициента корреляции вида
(4.66)
где
Кху= М [ { Х - т х){У-т>)\-
тх =М[Х\,ту =М[У\,
ах=Щ х\-,оу=^Ъ[У]-
D[X] = М[(Х - тх)2];ЦУ] = М[(У - ту)2].
Здесь mx,mv - математические ожидания случайных величин X и Y ;
<Ух,ау - среднеквадратические значения случайных величин I и F;
D[X],D[Y] - дисперсии случайных величин X и Y
Исследуемый |
У |
> |
Датчик |
объект |
|
> |
Датчик |
Рис. 4.16
Коэффициент корреляции р принимает значения от - 1 до +1, т.е. (4.68)
При статистической обработке результатов измерений мы опреде
л
ляем не сам коэффициент рху, а оценку коэффициента корреляции ptl, по выборке (х1,.у1),(х2,>'2),...,(хп,^п). Здесь х,,/ = 1,2,...,и - элементы выборки случайной величины X ; yt,i = 1,2 ,...,и - элементы выборки случайной величины Y
Оценка коэффициента корреляции определяется по формуле
л-ХО< - т*)(у, -ту)
(4.69)
Л Л
Or Or
где
(4.70)
<у.г~ = - Ц х, ~тхУ\ о / =~2,(У, ~ту)2.
Формула (4.69) может быть приведена к виду
пЛ Л
Y,x,y, -пт<ту
(4.71)
По формуле (4.71) удобнее вести расчеты вручную. На рис. 4.17
л
показана зависимость Y от X при р =1 (см. рис. 4.17, а) и при
л
Pv =-1 (см. рис. 4.17, б).
Рис. 4.17
На рис. 4.18 показана зависимость Y от X при рТ1.« 0,8 (см. рис. 4.18, а)
д
и при р * -0,8 (см. рис. 4.18, б).
|
W . |
|
.• «• |
\ |
\ |
|
||
|
Рх, 550.8 |
|
|
P.W~ ~0,8 |
|
|
+Х |
-+Х |
Рис. 4.18
На рис. 4.19 показана зависимость Y от X при 0 < р х>. <1
(см. рис. 4.19, а и 4.19, б).
На рис. 4.19,б имеет место нелинейная корреляция между X и У
••• •••<
о < р < 1
0 < р„ < 1
Рис. 4.19
Р,, «О
О |
-> |
X |
|
|
Рис. 4.20 |
На рис. 4.20 показана зависимость Y от X при рху ~ 0, а также
видно отсутствие корреляции между X и Г
4.9.Проверка гипотезы о равенстве нулю коэффициента корреляции рТ).
Выдвигается гипотеза Н0: ptv = 0 против альтернативной гипоте
зы Н, :pv;, *0 .
Рассмотрим случайную величину
л
Z = —In 1 + р.„
2
1-Р,
Случайная величина Z при небольших п (п< 50) и при совокуп ности случайных величин X, Y , имеющих нормальный закон распре деления, приближенно подчиняется нормальному закону распределе ния с математическим ожиданием
m,=M[Z) =- In |
1 + Рлху |
(4.73) |
|
|
2 |
1 ~ Р * у |
|
|
|
|
|
и дисперсией |
|
|
|
D[Z] = а] = |
1 |
(4.74) |
|
|
|
п - 3 |
|
Введем в рассмотрение случайную величину £,, |
|
||
Z - m . |
|
(4.75) |
|
4 = - |
а. |
|
|
|
|
||
где |
|
|
|
МШ = 0 ; |
Щ ] = 1 . |
|
|
Случайная величина £, имеет нормальный закон распределения (рис. 4 .2 1 ):
1 £
№ ) = л/2 л
где £> - возможные значения случайной величины £,.
Рис. 4.21
При справедливости гипотезы Н0 имеем т2 - 0. Тогда
5- ^ - .
а.
е 2