Дисперсия o?(jr) в этом случае зависит не только от расстояния

между точкой х и центром плана; следовательно, план X не является ротатабельным.

План X называется ненасыщенным, если N > к +1, и насыщен­ ным, если N = к + ]. Здесь N - число экспериментов в плане; (к +1) - число оцениваемых коэффициентов.

6.3. Общие требования к плану эксперимента. О критериях планирования эксперимента

В главе 5 мы при определении оценок параметров модели иссле­ дуемого объекта исходим из того, что результаты наблюдений полу­ чены в некотором заданном множестве точек. На практике, однако, часто оказывается возможным свободно выбирать условия проведе­ ния опытов в пределах некоторых границ. Выбор числа и условий проведения экспериментов, обеспечивающих получение наилучшего в определенном смысле результата исследования, составляет цель планирования эксперимента. Разработан ряд критериев оптимально­ сти планов эксперимента, важнейшие из которых будут рассмотрены ниже. Следует отметить, что оптимальный выбор плана эксперимента существенным образом зависит от конкретных особенностей иссле­ дуемого объекта, таких как вид его модели, стоимость отдельных опытов, области варьирования независимых переменных и т.п.

Одной из важнейших характеристик плана, влияющей, с одной стороны, на стоимость и длительность исследования, а с другой - на точность результатов, является число экспериментов N

Заметим, что план с минимально возможным числом эксперимен­ тов N = к + \ (насыщенный план) не позволяет проверить адекват­ ность модели. Поэтому обычно выбирают N > к +1, где к +1 - число оцениваемых параметров модели исследуемого объекта.

Важное значение для оценки качества плана эксперимента имеет вид информационной матрицы плана

М = FTF.

Матрица М должна быть невырожденной, г.е. |м| Ф0, где |м| - оп­ ределитель матрицы М . Только в этом случае формула (6.2) имеет

Перечислим теперь некоторые критерии планирования экспери­ мента, используемые в практических исследованиях.

1. Критерий ортогональности плана. Этот критерий требует та­ кого выбора плана X для оценки коэффициентов модели заданного вида, при котором информационная матрица плана диагональная.

Использование критерия ортогональности имеет целью упроще­ ние вычислений и получение независимых оценок коэффициентов. Нетрудно увидеть, что при ортогональном планировании матрица

(FTF)~' является диагональной, и, следовательно, ковариации оценок коэффициентов равны нулю. Это значит, например, что замена нулем любого коэффициента в уравнении модели не изменит значений оце­ нок остальных коэффициентов. Такое свойство ортогональных планов оказывается очень полезным, когда точный вид модели исследуемого объекта неизвестен и исследователь использует экспериментальные данные для отбора переменных, существенно влияющих на выходную величину.

2. Критерий ротатабельности. Этот критерий требует такого расположения экспериментальных точек в области планирования Qx,

при котором дисперсия <т?(х) оценки значений зависимой переменной

в точке х зависит только от расстояния от этой точки до центра пла­ на. Такой критерий хорошо согласуется с требованием равнозначно­ сти (с точки зрения точности оценки зависимой переменной) всех на­ правлений от центра плана.

Названные критерии обеспечивают некоторые полезные и удобные свойства оценок коэффициентов, однако они никак не связаны с требо­ ванием максимальной точности построения модели. Критерии, приво­ димые ниже, обеспечивают оптимальность планов эксперимента с точки зрения точности оценки параметров модели или зависимой переменной.

3. Критерий А-оптималыюсти. Этот критерий требует такого выбора плана, при котором матрица С = (FTF y ] имеет минимальный след (т.е. сумма диагональных элементов матрицы С минимальна). Поскольку в соответствии с (5.40) диагональный элемент сп матрицы

С пропорционален дисперсии оценки z-го коэффициента, то критерий А-оптимальности, по существу, требует минимизации средней дис­ персии оценок коэффициентов модели исследуемого объекта.