4.5.2. Метод максимума правдоподобия

Функция правдоподобия определяется соотношениями (4.14),

(4.15). Если значения элементов выборки х,,х2,...,хп фиксированы, то функция правдоподобия L(x],x2,...,xn,Q) является функцией неиз­

вестного параметра 0. Сущность метода максимума правдоподобия

л

заключается в том, что в качестве оценки 0 параметра 0 принимает­ ся такое значение 0, которое обращает функцию L(x],x1,—,xn,Q)

в максимум. Это значение является функцией от х^,х2,...,хп и называ­ ется оценкой максимального правдоподобия для параметра 0. Для нахождения оценки максимального правдоподобия необходимо ре­ шить относительно 0 уравнение правдоподобия

и отобрать то решение 0, которое обращает L(x],x1,...,xn,Q) вмаксимум.

Точки максимума функций Z,(x,,x2,...,x(),0) и 1п/,(х,,х2,...,х(1,0)

Если надо оценить к параметров 0,,02,...,0*, то оценки макси­

мального правдоподобия для этих параметров находятся из системы уравнений

Положительные свойства оценок максимального правдоподобия следующие:

1 ) решение уравнения правдоподобия является состоятельной оценкой параметра 0 ;

2 ) решение является при п —>оо асимптотически эффективной оценкой параметра 0 ;

3) закон распределения полученной оценки при п —>оо является нормальным;

4) если для параметра 0 существует эффективная оценка, то уравнение правдоподобия имеет единственное решение, совпадающее с этой оценкой.

Недостатки метода максимума правдоподобия следующие:

1 ) оценка максимального правдоподобия может оказаться сме­ щенной;

2 ) метод максимума правдоподобия может привести к сложной системе уравнений.

Пример 4.3\ Определим оценки неизвестных параметров тх и с 2

нормального закона распределения случайной величины X (рис. 4.8) по методу максимума правдоподобия.

Имеем