определяется из соотношения

Область применения гипотезы Н0 о равенстве нулю коэффициен­ та корреляции определяется неравенством

—^а/2 —£ —£а/2 •

На рис. 4.21 S0 обозначает область принятия гипотезы Н0, S', - область отклонения гипотезы Н0.

Из соотношений (4.76), (4.72), (4.74) имеем

л

(4.77)

Контрольные вопросы

1 . Что понимается под генеральной совокупностью и выборочной совокупностью случайной величины X ?

2.Какими свойствами должна обладать выборка случайной вели­ чины X ?

3.Какие задачи решаются при статистической обработке резуль­ татов измерений случайной величины X ?

4.Какие статистические характеристики случайной величины X оцениваются по выборке?

л

5. Какая оценка 9 „ параметра 0 является несмещенной?

л

6 . Какая оценка 0„ параметра 0 является состоятельной?

л

7. Какая оценка 0„ параметра 0 является эффективной?

л

8 . Какая оценка 0„ параметра 0 является достаточной?

9.Какие достоинства и недостатки присущи методу моментов

иметоду максимума правдоподобия?

10.От какого параметра зависит закон распределения % 2 ?

11.Какой формулой определяется случайная величина, подчи­ няющаяся закону распределения Стьюдента?

12.Какой формулой определяется случайная величина, подчи­ няющаяся закону распределения Фишера?

13.Что понимается под понятиями «доверительный интервал»

и«доверительная вероятность»?

14.Что понимается под задачей корреляционного анализа?

15.Какое неравенство должно выполняться при справедливости

гипотезы о равенстве нулю коэффициента корреляции рtv ?

ГЛАВА 5. ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ИССЛЕДУЕМОГО ОБЪЕКТА С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

5.1. Статистические математические модели исследуемого объекта

В некоторых отраслях производства, в частности в химической промышленности, производственные и исследовательские системы являются особенно сложными. Многие проблемы недостаточно про­ работаны, так что экспериментальные исследования на лабораторных, опытных и промышленных установках играют особую роль. На соз­ дание экспериментальных установок и на проведение экспериментов здесь приходится тратить много времени и средств.

С помощью традиционных методов не удается обеспечить тре­ буемые темпы развития ни в фундаментальных, ни в прикладных ис­ следованиях. Поэтому в науке, технике и производстве при решении разнообразных задач во все больших масштабах применяются новые эффективные методы исследования. При этом особое внимание уде­ ляется моделям процессов, протекающих в исследуемом объекте, и способам построения этих моделей.

Для эффективного анализа механизма явлений и управления про­ изводственными процессами необходимо выявить взаимосвязь между факторами, определяющими ход процесса, и представить их в коли­ чественной форме - в виде математической модели. Математическая модель является математическим отображением наиболее существен­ ных сторон процесса. Модель позволяет получать информацию

опроцессах, протекающих в исследуемом объекте.

Взависимости от источника информации, используемого при по­ строении математической модели, различают физико-химические мо­ дели, называемые также иногда аналитическими или теоретическими,

истатистические модели. В первом случае за основу берутся физико­ химические закономерности моделируемых процессов. Построение теоретических моделей сопряжено с проведением обширных и дли­ тельных исследований. Статистические модели получаются в резуль­ тате статистической обработки экспериментальных данных, собран­ ных на исследуемом объекте.

Статистические модели имеют относительно простую структуру. После установления структуры модели необходимо численно оценить

по экспериментальным данным параметры модели. В зависимости от того, как эти параметры входят в модель, говорят о линейных и нели­ нейных по параметрам моделях. Кроме того, различают модели ли­ нейные и нелинейные по независимым переменным.

Все переменные, определяющие состояние исследуемого объекта, можно разделить на три группы (рис. 5.1)

Рис. 5.1

В группу X = (хрх2,...,х;|) входят контролируемые входные факто­ ры или независимые переменные на входе объекта. Переменные группы

Y = {У\.у1,-.-,ут) называют выходными. Группу D = (d{,d2,...,dr) обра­

зуют неконтролируемые факторы. Они характеризуют действующие на объект возмущения, которые не могут бьггь измерены количественно. Временные характеристики, точки приложения и интенсивность дейст­ вия этих возмущений носят случайный характер.

Часто задача состоит в том, чтобы определить зависимость между выходными и входными переменными исследуемого объекта или найти значения входных факторов, обеспечивающие достижение экс­ тремума (максимума или минимума) некоторой выходной перемен­ ной (возможно, при каких-то ограничениях). Это означает, что пере­ менные группы Y часто выступают в качестве целевых величин при оптимизации исследуемог о объекта.

На практике встречаются процессы в исследуемом объекте, харак­ тер протекания которых детерминированным образом зависит от опре­ деленных величин Х|,х2,...,хп. Например, выходу некоторого иссле­ дуемого объекта (химический реактор) может определяться значением давления Р , температуры Т и времени протекания реакции t . Пере­ менные х,,х2,...,хл называют, как уже говорилось выше, входными контролируемыми или независимыми переменными, и их возможные