- •1.1. Характерные особенности современных НИ
- •1.2. Типовая структура АСНИ
- •1.3. Задачи, решаемые АСНИ
- •1.3.1. Задачи автоматизации экспериментальных исследований
- •1.3.2. Автоматизация этапов НИ, носящих творческий характер
- •1.5. Экономический эффект от автоматизации НИ
- •1.6.1. Экспериментальные исследования
- •1.6.2. Цели автоматизации экспериментальных исследований
- •1.6.3. Назначение АСНИ-Э
- •1.6.5. Структуры АСНИ-Э
- •1.6.6. Функциональная структура АСНИ-Э
- •1.6.7. Основные направления работ по созданию АСНИ-Э
- •Контрольные вопросы
- •2. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ИССЛЕДУЕМОГО ОБЪЕКТА
- •2.3. Второй способ оценки спектральной плотности
- •2.4. Получение вторым способом сглаженной оценки спектральной плотности
- •2.5. Оценка взаимных корреляционных функций двух эргодических случайных процессов
- •Контрольные вопросы
- •3. ПРИМЕНЕНИЯ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА ИССЛЕДУЕМОГО ОБЪЕКТА
- •3.1. Оценка частотной характеристики исследуемого объекта, представляющего собой линейную динамическую систему
- •1 GAfk)
- •Контрольные вопросы
- •ГЛАВА 4. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
- •4.1. Генеральная и выборочная совокупность случайной величины X
- •4.2. Задачи, решаемые при статистической обработке результатов измерений случайной величины X
- •4.3. Оценивание по выборке статистических характеристик случайной величины X
- •4.4. Общие свойства точечных оценок
- •4.5. Методы получения точечных оценок параметров закона распределения случайной величины X
- •4.5.1. Метод моментов
- •4.5.2. Метод максимума правдоподобия
- •4.6. Законы распределения, наиболее широко используемые при статистической обработке результатов измерений
- •4.6.1. Нормальное распределение
- •4.6.2. Распределение %2
- •4.6.3. Распределение Стьюдента
- •4.6.4. Распределение Фишера
- •4.7. Доверительный интервал и доверительная вероятность
- •4.8. Корреляционный анализ
- •Контрольные вопросы
- •ГЛАВА 5. ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ИССЛЕДУЕМОГО ОБЪЕКТА С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
- •5.1. Статистические математические модели исследуемого объекта
- •5.2. Метод наименьших квадратов
- •5.2.1. Постановка задачи
- •5.2.2. Решение задачи определения математической модели исследуемого объекта
- •5.2.4. Ошибки при выборе вида математической модели исследуемого объекта
- •5.2.5. Проверка адекватности математической модели исследуемого объекта
- •Контрольные вопросы
- •ГЛАВА 6. ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА
- •6.1. Теория эксперимента
- •6.2. Основные понятия планирования эксперимента
- •6.3. Общие требования к плану эксперимента. О критериях планирования эксперимента
- •6.4. Планы для моделей, описываемых полиномами первого порядка
- •6.4.1. Вид модели
- •6.4.2. Полные факторные планы
- •6.4.3. Дробные факторные планы
- •6.5.1. Вид модели
- •6.5.2. Применение полных факторных планов для моделей типа (6.40)
- •6.5.3. Применение дробных факторных планов для модели типа (6.40) и порядок смешивания оценок коэффициентов
- •6.5.4. Вычислительные формулы и свойства планов 2" р
- •6.6. Планы для квадратичных моделей
- •6.6.1. Вводные замечания
- •6.6.2. Ортогональные центральные композиционные планы
- •Контрольные вопросы
- •ЗАКЛЮЧЕНИЕ
- •Файзрахманов Рустам Абубакирович, Липатов Иван Николаевич
- •АВТОМАТИЗАЦИЯ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ
ошибок наблюдений с числом степеней свободы ср [см. формулы (5.92) и (5.93)]:
Ф = Ф2 = N (y - l) .
Для проверки гипотезы Н можно воспользоваться величиной
У- а о
'ф=' ln0 +vN
которая при условии нормальности распределения и независимости
ошибок |
наблюдений подчинена |
закону |
распределения |
Стьюдента |
||
с числом степеней свободы ф . |
|
|
|
|
||
Гипотеза Н : М[а0] = М[у°] отклоняется, если |
|
|||||
|
\У - а |
о > / |
•а |
п0 +vN |
(6.43) |
|
|
|
«оN ~ ’ |
||||
|
|
|
|
|
|
|
где |
- критическое |
распределение |
Стьюдента при |
выбранном |
||
уровне значимости а и числе степеней свободы ф . Если гипотеза Н отклоняется, то в модели следует ввести квадраты факторов.
6.5.4. Вычислительные формулы и свойства планов 2" р
Информационная матрица планов 2" р для моделей, содержащих (к +\) подлежащих оценке коэффициентов, в случае, когда оценки всех коэффициентов не смешаны, т.е. матрица F не имеет совпадаю
щих столбцов, имеет вид |
|
М = FrF = 2”~р • 1А.+| = М А+, . |
(6.44) |
Для С получаем |
|
С = ^ 1 ,„ . |
(6.45) |
Планы типа 2"~р являются ортогональными для моделей вида (6.40). Для вычисления оценок коэффициентов получаем формулы:
в, = ~ ^ xl y J■>/ = 0,1,...,п, |
(6.46) |
N ,=1
(6.47)
™ И
(6.48) Здесь (к +1) - общее число коэффициентов модели (6.40). Из (6.48)
следует, что все коэффициенты оцениваются с одинаковой точно стью. Планы типа 2"~р для моделей, содержащих взаимодействия, не являются ротатабельными (см. пример 6 .1 ).
Как и в случае линейных моделей, планы 2п~р для моделей вида (6.40) являются A-,D- и G-оптимальными, если областью планирова ния эксперимента является гиперкуб с координатами вершин, прини мающими значения +1 и -1. Эти свойства справедливы в тех случаях, когда возможно получение несмешанных оценок всех коэффициентов модели.
Пример 6.6. При предварительных исследованиях было установ лено, что на удельную теплопроводность возгона, получаемого при
хлорировании титановых шлаков, влияют следующие факторы: х, - плотность засыпки; х2 - содержание хлора в возгоне; х3 - отношение концентраций Si02 и ТЮ2 в возгоне; х4 - температура.
Требуется экспериментальным путем найти формулу, с помощью которой можно описать зависимость удельной теплопроводности от перечисленных четырех факторов и их парных взаимодействий:
у(а,х) = а0+ а,х, + а2х2+ а3х3+ аАх4 + а]3х]х3+ а23х2х3+ а34х3х4. (6.49)
В табл. 6.6 представлены интервалы варьирования факторов. Ана лиз механизма реакции показывает, что на теплопроводность возгона могут оказывать влияние следующие два взаимодействия: х2х3 и х3х4.
Таблица 6 .6
Параметры |
*i |
*2 |
*3 |
*4 |
|
||||
Основной уровень ( xj = 0 ) |
0,87 |
40,0 |
1,00 |
250 |
Интервал варьирования |
0,15 |
5,0 |
0,25 |
50 |
Верхний уровень ( х, = +1) |
1,02 |
45,0 |
1,25 |
300 |
Нижний уровень ( JC#- = —1) |
0,72 |
35,0 |
0,75 |
200 |
Для построения модели был выбран дробный факторный план ти па 24"' с генератором х4 =х,х2. Контрастом для этого плана является соотношение I = х,х2х4. Получаем:
.Х| Х| Х2* 4 Xj *4 , * 2 х , X , х 4 — XjX4 ,
х3 =х3х,х2х4 = х3, х4 = х, * 2* 4 = х,х2, Х3Х4 = Х3Х4Х!Х2Х4 = х3х4, х,х3 = х|х3х,х2х4 = х,х3,
х2х3 =х2х3х,х2х4 = х2х3.
Оценки смешаны следующим образом:
Оу —^ О ) + 0 2 4 , Я2 —►0 2 + 0 \ 4 , Л3 —>О ъ , л4 —>0 4 + 0 \ 2 ,
<334 —>0 2 4 , а)3 —►Д13 , #23 ^23 •
План эксперимента и его результаты представлены в табл. 6.7.
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 6.7 |
|
№ |
|
|
|
|
|
|
|
|
у (с р е д н е е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о п ы |
*0 |
|
х 2 |
х 3 |
* 4 |
х ,* з |
* 2 * з |
* 3 * 4 |
п о д в у м |
т а |
|
н а б л ю д е |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
+1 |
+1 |
|
|
|
+1 |
|
|
н и я м ) |
1 |
+1 |
+1 |
+ 1 |
+ 1 |
+ 1 |
2 9 6 |
|||
2 |
+ 1 |
+ 1 |
- 1 |
+1 |
- 1 |
+ 1 |
- 1 |
- 1 |
122 |
3 |
+ 1 |
- 1 |
- 1 |
+ ) |
+ 1 |
- 1 |
- 1 |
+ 1 |
2 3 9 |
4 |
+ 1 |
- 1 |
+1 |
+1 |
- 1 |
- 1 |
+ 1 |
- 1 |
5 8 6 |
5 |
+ 1 |
+1 |
+1 |
-1 |
+ 1 |
- 1 |
^ - 1 |
- 1 |
2 3 2 |
6 |
+ 1 |
+ 1 |
-1 |
- 1 |
- 1 |
- 1 |
+ 1 |
+1 |
2 9 2 |
7 |
+ 1 |
- 1 |
- 1 |
- 1 |
+ 1 |
+ 1 |
+ 1 |
- 1 |
5 3 9 |
8 |
+ 1 |
- 1 |
+1 |
- 1 |
- 1 |
+ 1 |
- 1 |
+ 1 |
3 8 3 |
|
3 3 6 ,1 2 |
- 1 0 0 ,6 2 |
3 8 ,1 2 |
- 2 5 ,3 8 |
- 9 ,6 2 |
- 1 ,1 2 |
9 2 ,1 2 |
- 3 3 ,6 2 |
|
а,
Внижней части таблицы приведены рассчитанные оценки коэффици ентов. Видно, что взаимодействия х2х3 и х3х4 оказывают существен
ное влияние на выходную величину. Формула (6.49) имеет вид j>(*) = 336,12-100,62х, +38,12х2 -25,38х3 -9,62*4 -
- 1,12х,х3 + 92,12х2Хз ~ З3,62*3*4.
Имеем: а = 20; а, = 7,1; ср = 8; Выполним проверку значимости ко эффициентов a,,i = 0,4,а13,а23,а34. По формуле (5.72) найдем величи ны t'9,i = 0,4,^ 3,t f , / 34 Получим: