На рис. 4.7 обозначено: Dmin - минимальное значение дисперсии

лл

оценки £>[0 „]; 0 „Эфф - эффективная оценка параметра 0 .

А л

Если для несмещенных оценок 0„,i и в„ , 2 параметра 0 справед­ ливо неравенство вида

то оценка 0 „,i является более эффективной, чем оценка 0 „,2 . Свойство 4 точечных оценок заключается в следующем: оценка

Л

0 л = ф(х,,х2,...,хп) называется достаточной, если она содержит всю информацию об оцениваемом параметре 0 , содержащуюся в выбор-

л

ке. Оценка 0Яявляется достаточной тогда и только тогда, когда мож­ но найти две неотрицательные функции g] и g2 такие, что

Здесь 1(х,,х2,...,х„,0) - функция правдоподобия; /,(х,,х2,...,х(,,0) - совместная плотность распределения вероятностей элементов выбор­ ки х,,х2,...,хп, которая определяется соотношением

Наилучшей оценкой из тех оценок, которые можно найти, являет-

л

ся оценка 0 И, которая одновременно является несмещенной, состоя­ тельной, эффективной и достаточной.

4.5. Методы получения точечных оценок параметров закона распределения случайной величины X

Предполагается, что вид закона распределения случайной вели­ чины X известен, а числовые значения параметров закона распреде­ ления неизвестны.

Существуют следующие методы получения точечных оценок па­ раметров закона распределения случайной величины X

1 ) метод моментов;

2 ) метод максимума правдоподобия;

3) метод Пирсона или метод минимума yj. Рассмотрим первые два метода.

л

где тх - оценка математического ожидания случайной величины X. Приравнивая (4.16) к (4.17), получим уравнение для оценки неиз­

вестного параметра 0 вида

пы

иприравнять их. Получим систему к уравнений с к неизвестными:

вестных параметров 0 |;0 2,...,0 *.

Преимущество метода моментов - простота его применения. Недостатки метода следующие:

1 ) оценки не обеспечивают наименьший возможный разброс; 2 ) оценки при п —><х>не являются асимптотически эффективными;

3)оценки при п -> сюне являются асимптотически несмещенными;

4)закон распределения оценок при п —>оо является асимптотиче­ ски нормальным.

Пример 4.2. Найти методом моментов по выборке х,,х2 ,...,хя слу­

чайной величины X точечную оценку X неизвестного параметра X показательного закона распределения, плотность распределения веро­ ятностей которого имеет вид

Приравнивая (4.23) к (4.24), получим уравнение для оценки неизвест­ ного параметра X вида