На рис. 3.7 показан примерный график оценки функции коге рентности.
Формула (3.42) для дискретных частот
т
примет вид
с,Д Л ) Г
(3.44)
Gxi f K)-Gy(fK)
Контрольные вопросы
1.При решении каких задач используется спектральный анализ исследуемого объекта?
2.По каким формулам методом спектрального анализа определя ется оценка АЧХ исследуемого объекта?
3.По каким формулам методом спектрального анализа вычисля ется оценка ФЧХ исследуемого объекта?
4.Как записывается частотная характеристика исследуемого объ екта в показательной формуле?
5.Как выглядят графики оценок АЧХ и ФЧХ исследуемого объекта?
6.Как используются оценки спектральных плотностей в задаче фильтрации для определения качества работы фильтра?
7.Какими формулами определяется оценка оптимальной частот ной характеристики фильтра?
8.В чем заключается смысл операции «расщепления» в задаче синтеза оптимального фильтра?
9.Как выглядит формула для оценки частотной характеристики оптимального фильтра с учетом условия физической реализуемости?
10.По какой формуле определяется оценка функции когерентности?
11.Какие выводы можно сделать после определения оценки функции когерентности?
ГЛАВА 4. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
4.1. Генеральная и выборочная совокупность случайной величины X
Случайной величиной X называется величина, которая в результа те опыта (измерения, эксперимента) принимает то или иное конкретное значение, причем заранее неизвестно, какое именно значение. Важ нейшее значение дня описания некоторой случайной величины X имеет функция распределения вероятностей
F{x) = Р{Х < х}, |
(4.1) |
где Р - вероятность выполнения неравенства, заключенного в скоб ки; х - конкретное значение случайной величины X.
На рис. 4.1 показана схема измерения случайной величины X.
Исследуемый |
Датчик |
|
объект |
||
|
Рис. 4.1
Случайная величина X на рис. 4.1 описывает какое-то случайное явление, происходящее в исследуемом объекте.
Генеральной совокупностью случайной величины X называется множество Q возможных значений случайной величины X. Объем генеральной совокупности - это число элементов множества £2.
Выборочной совокупностью или выборкой объема п случайной величины X называется последовательность хг х2,...,хп независимых
наблюдений (значений) случайной величины X. Выборка х,,х,
взята из генеральной совокупности. Значения x,,x2,...,x„ называются
элементами выборки.
Выборка должна обладать рядом свойств. Требуемые свойства выборки следующие:
1)выборка должна быть представительной, т.е. она должна дос таточно хорошо отражать свойства генеральной совокупности, т.е. свойства случайной величины X ;
2)все элементы выборки должны иметь тот же закон распределе ния, что и случайная величина X ;
3)все элементы выборки есть независимые наблюдения случай ной величины X.
4.2. Задачи, решаемые при статистической обработке результатов измерений случайной величины X
Перечислим некоторые задачи, решаемые при статистической об работке результатов измерений случайной величины X Эти задачи следующие:
1) нахождение оценок для функции распределения вероятностей F(x) или для плотности распределения вероятностей /|(х) случай ной величины X, т.е. нахождение оценки для закона распределения случайной величины X ;
2)нахождение точечных и интервальных оценок для параметров закона распределения случайной величины X , вид которого известен;
3)проверка статистических гипотез о значениях параметров зако на распределения случайной величины X, вид которого известен;
4)проверка статистических гипотез о виде неизвестного закона распределения случайной величины X ;
5)задачи корреляционного анализа, т.е. исследование связи меж ду двумя случайными величинами X и Y, исследование степени бли
зости этой связи к функциональной зависимости у = /( х ) .
Кроме того, могут рассматриваться задачи дисперсионного анали за, регрессионного анализа и т.п.
4.3. Оценивание по выборке статистических характеристик случайной величины X
Оценки статистических характеристик случайной величины X могут быть следующими:
1) оценка функции распределения вероятностей случайной вели чины X;
2)оценка плотности распределения вероятностей случайной ве личины X;
3)оценка математического ожидания случайной величины X;
4)оценка дисперсии случайной величины X ;
5)оценка начальных моментов порядка v = 1,2,... случайной ве личины X;
6)оценка центральных моментов порядка v = 1,2,... случайной
величины X.
В табл. 4.1 приведены формулы для определения статистических характеристик и оценок статистических характеристик случайной ве личины X.
Таблица 4.1
Статистическая характеристика случайной величины X
1. Функция распределения вероятностей
F (x ) = P { X < х )
2. Плотность распределения вероятностей
Ах\ |
Дх2 |
Axv |
|
Ахг |
|
__ I__ ь ы _ _ _ |
_ |
_ b_ i_r_ d ______► |
|
|
|
|
|
X |
|
р |
|
|
|
f v — |
\ f i ( . x ) d x ; |
v = 1,2,...,г, |
Ру |
- вероятность |
|
Дгу |
|
|
|
попадания случайной величины X |
в интервал Axv |
|||
3. Математическое ожидание
0 0
т.т= \xfi<X)dx
-0 0
4.Дисперсия
со
o l = ^ { x - m xf f ^ x ) d x
-0 0
5.Начальный момент порядка v = 1,2,...
mv = *\xvf ,( x )d x
- о с
6. Центральный момент порядка v - 1,2,...
о с
Pv= \ { x - m :ry f ^ x ) d x
- 0 0
Оценка статистической характеристики случайной величины X
1. Оценка функции рас пределения вероятностей
Лп
F„(x) = — ; где п х - число
п
х ,, / = 1,2,..., меньшие х
2. Оценка |
|
плотности |
рас |
|||
пределения вероятностей |
||||||
Л |
|
Л |
|
л |
|
|
_ |
Р |
1 |
п |
_ |
||
г |
|
V |
"v. .о |
|||
J V |
|
Дху |
|
- |
» |
|
|
|
|
|
п |
|
|
«у |
- |
число |
* , , ( / = 1,2,...), |
|||
попавших в интервал Дху,
v = 1,2,..., г ;
Л
Л- - частота попадания в
интервал Axv
3. Оценка математическо-
Л J И го ожидания т* = — У х,
Я /=1
4.Оценка дисперсии
П/=!
5.Оценка начального мо мента порядка v = 1,2,...
Л1 П
Wv= - £ T,V
Я,=|
6. Оценка центрального
момента порядка
v = 1,2,...
Л |
п |
1 |
Л |
я