ГЛАВА 6. ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА

6.1.Теория эксперимента

Внастоящее время возрастает необходимость рационального ис­ пользования в науке труда ученых. Одно из направлений повышения производительности научного труда заключается в применении со­ временных математических методов и технических средств, таких как планирование эксперимента, исследование операций, математическое моделирование, вычислительная техника.

Вразделе 5.1 рассмотрены статистические математические модели исследуемого объекта, которые получаются в результате статистической обработки данных эксперимента, собранных на исследуемом объекте.

Многие задачи и проблемы неразрешимы без проведения экспе­ риментов. Под экспериментом понимаются любые действия, связан­ ные с наблюдением и измерением свойств, параметров, характеристик исследуемого объекта. Эксперимент занимает главенствующее место среди способов получения информации о внутренних взаимосвязях явлений, происходящих в исследуемом объекте.

Значительная часть усилий по выявлению взаимосвязи между факторами, определяющими ход процесса, протекающего в исследуе­ мом объекте, связана с затратами на эксперименты. Эксперименты по выяснению механизма явлений дают возможность получить пред­ ставление (формализованное в виде адекватной математической мо­ дели) о поведении исследуемого объекта в целом.

Широкое применение экспериментальных методов привело к соз­ данию теории эксперимента.

Эта теория призвана дать экспериментатору ответы на следующие вопросы:

1.Как нужно организовать эксперимент, чтобы наилучшим обра­ зом решить поставленную задачу в смысле затрат времени и средств или точности результатов?

2.Как следует обрабатывать результаты эксперимента, чтобы полу­ чить максимальное количество информации об исследуемом объекте?

3.Какие обоснованные выводы можно сделать об исследуемом объекте по результатам эксперимента?

Основой теории эксперимента является математическая статистика, которая применима для анализа эксперимента в тех случаях, когда ре­ зультаты эксперимента могут рассматриваться как случайные величины

или случайные процессы. Это условие выполняется в большинстве ис­ следований, поскольку, как правило, результаты эксперимента связаны с некоторой неопределенностью. Среди прочих причин такой неопре­ деленности можно назвать случайный характер исследуемых процес­ сов, влияние неконтролируемых факторов на исследуемый объект, не­ контролируемые изменения условий эксперимента и ошибки наблюде­ ний. Сюда же относятся измерительные ошибки, причины которых кроются в несовершенстве приборов, методов измерений и устройств передачи данных. Влияние этих возмущений на результат наблюдений может во многих случаях рассматриваться как случайное.

Математическая статистика предоставляет в распоряжение экспе­ риментатора методы анализа данных и решений, принятых относи­ тельно исследуемого объекта на основании обработанных результатов эксперимента. Эти методы учитывают случайный характер результа­ тов и основываются на статистической проверке гипотез.

Вотношении статистических выводов необходимо всегда иметь

ввиду следующее обстоятельство: положительные результаты про­ верки некоторой статистической гипотезы означают лишь то, что вы­ двинутая гипотеза не противоречит результатам эксперимента. Ре­ зультаты проверки гипотезы никогда не могут служить доказательст­ вом абсолютной справедливости и правильности гипотезы.

Аналогичная ситуация возникает при построении математической

модели исследуемого объекта. Исследователь может выдвинуть це­ лый ряд гипотез о виде модели и экспериментальным путем выбрать среди этих моделей ту, которая наилучшим образом соответствует результатам экспериментов.

Большое значение имеет концепция использования области варьи­ рования условий эксперимента при проведении исследования с целью построения математической модели объекта. Как уже отмечалось в разделе 5.1, построение математической модели по эксперименталь­ ным данным выполняется следующим образом: выбирается вид моде­ ли, проводятся эксперименты в некотором числе N точек; на основании результатов экспериментов рассчитываются оценки неизвестных пара­ метров модели и проверяется правильность выбранной модели. Стати­ стический анализ характеристик экспериментальных моделей показы­ вает, что точность модели существенным образом зависит от выбора условий проведения экспериментов, т.е. является функцией плана экс­ периментов. Это означает, что с помощью целенаправленного выбора

условий проведения эксперимента, требуемая точность решения может быть достигнута при минимальном числе экспериментов. Отсюда сле­ дует, что с помощью планирования эксперимента во многих случаях могут быть снижены затраты времени и средств и повышена эффек­ тивность эксперимента. Целенаправленный выбор условий проведения экспериментов предполагает возможность активного воздействия на исследуемый объект, т.е. возможность активного эксперимента.

Преимущества активного эксперимента, позволяющего применять целесообразно составленные планы, достаточно очевидны. Кроме всего прочего, при активном эксперименте можно оценить дисперсию ошибки оценивания параметров модели исследуемого объекта, строго проверить адекватность модели и принять необходимые меры для выполнения условий, необходимых для применения метода множест­ венного регрессионного анализа (глава 5), используемого для обра­ ботки результатов эксперимента. Концепция оптимального выбора условий проведения эксперимента имеет основополагающее значение в теории планирования эксперимента.

Развитие статистических методов планирования эксперимента связано с именем Р.А. Фишера. Развитие современных идей планиро­ вания эксперимента для оценивания параметров регрессионных урав­ нений связано с именем американского математика Кифера.

Рис. 6.1

Теория эксперимента дает исследователю точную логическую схему и способ решения задач на разных этапах исследования. Каж­ дое экспериментальное исследование состоит из ряда следующих друг за другом этапов (рис. 6 .1 ): формулирование цели, выдвижение гипотезы об исследуемом объекте, планирование экспериментов, про­ ведение экспериментов, обработка и анализ результатов эксперимен­ та, проверка правильности выдвинутой гипотезы, выдвижение новой

гипотезы, проверка условий окончания эксперимента, планирование нового эксперимента.

Из рис. 6.1 ясно, что исследование объекта состоит из повторяю­ щихся циклов, причем от цикла к циклу растет объем знаний об ис­ следуемом объекте, следовательно, можно предположить, что выдви­ гаемые гипотезы (например, гипотеза о виде математической модели исследуемого объекта) все более приближаются к действительности. Вместе с тем возрастает также эффективность планирования экспе­ римента и всего исследования.

Область применения методов планирования эксперимента весьма обширна. Эти методы оказываются очень эффективными при прове­ дении физико-химических исследований в лабораторных условиях, при проведении экспериментов на опытных, полупромышленных и промышленных установках.

Задачи и методы этой главы непосредственно связаны с описан­ ным в главе 5 методом наименьших квадратов.

В главе 5 мы исходим из того, что целевая величина у (выходная

величина, зависимая переменная или отклик исследуемого объекта) следующим образом зависит от вектора независимых переменных

в определенных точках х' поставлен эксперимент и получен его ре­ зультат у' Оценки а вектора коэффициентов рассчитываются с по­