- •1.1. Характерные особенности современных НИ
- •1.2. Типовая структура АСНИ
- •1.3. Задачи, решаемые АСНИ
- •1.3.1. Задачи автоматизации экспериментальных исследований
- •1.3.2. Автоматизация этапов НИ, носящих творческий характер
- •1.5. Экономический эффект от автоматизации НИ
- •1.6.1. Экспериментальные исследования
- •1.6.2. Цели автоматизации экспериментальных исследований
- •1.6.3. Назначение АСНИ-Э
- •1.6.5. Структуры АСНИ-Э
- •1.6.6. Функциональная структура АСНИ-Э
- •1.6.7. Основные направления работ по созданию АСНИ-Э
- •Контрольные вопросы
- •2. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ИССЛЕДУЕМОГО ОБЪЕКТА
- •2.3. Второй способ оценки спектральной плотности
- •2.4. Получение вторым способом сглаженной оценки спектральной плотности
- •2.5. Оценка взаимных корреляционных функций двух эргодических случайных процессов
- •Контрольные вопросы
- •3. ПРИМЕНЕНИЯ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА ИССЛЕДУЕМОГО ОБЪЕКТА
- •3.1. Оценка частотной характеристики исследуемого объекта, представляющего собой линейную динамическую систему
- •1 GAfk)
- •Контрольные вопросы
- •ГЛАВА 4. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
- •4.1. Генеральная и выборочная совокупность случайной величины X
- •4.2. Задачи, решаемые при статистической обработке результатов измерений случайной величины X
- •4.3. Оценивание по выборке статистических характеристик случайной величины X
- •4.4. Общие свойства точечных оценок
- •4.5. Методы получения точечных оценок параметров закона распределения случайной величины X
- •4.5.1. Метод моментов
- •4.5.2. Метод максимума правдоподобия
- •4.6. Законы распределения, наиболее широко используемые при статистической обработке результатов измерений
- •4.6.1. Нормальное распределение
- •4.6.2. Распределение %2
- •4.6.3. Распределение Стьюдента
- •4.6.4. Распределение Фишера
- •4.7. Доверительный интервал и доверительная вероятность
- •4.8. Корреляционный анализ
- •Контрольные вопросы
- •ГЛАВА 5. ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ИССЛЕДУЕМОГО ОБЪЕКТА С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
- •5.1. Статистические математические модели исследуемого объекта
- •5.2. Метод наименьших квадратов
- •5.2.1. Постановка задачи
- •5.2.2. Решение задачи определения математической модели исследуемого объекта
- •5.2.4. Ошибки при выборе вида математической модели исследуемого объекта
- •5.2.5. Проверка адекватности математической модели исследуемого объекта
- •Контрольные вопросы
- •ГЛАВА 6. ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА
- •6.1. Теория эксперимента
- •6.2. Основные понятия планирования эксперимента
- •6.3. Общие требования к плану эксперимента. О критериях планирования эксперимента
- •6.4. Планы для моделей, описываемых полиномами первого порядка
- •6.4.1. Вид модели
- •6.4.2. Полные факторные планы
- •6.4.3. Дробные факторные планы
- •6.5.1. Вид модели
- •6.5.2. Применение полных факторных планов для моделей типа (6.40)
- •6.5.3. Применение дробных факторных планов для модели типа (6.40) и порядок смешивания оценок коэффициентов
- •6.5.4. Вычислительные формулы и свойства планов 2" р
- •6.6. Планы для квадратичных моделей
- •6.6.1. Вводные замечания
- •6.6.2. Ортогональные центральные композиционные планы
- •Контрольные вопросы
- •ЗАКЛЮЧЕНИЕ
- •Файзрахманов Рустам Абубакирович, Липатов Иван Николаевич
- •АВТОМАТИЗАЦИЯ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ
|
f0= 336J2 = 47 |
= -10062 = _ 1 4 Д7 |
; , 2 = |
^ 1 2 |
= 5,37; |
|||||
|
ф |
7,1 |
|
9 |
7,1 |
|
ф |
7,1 |
|
|
|
,3 = Z |
^ |
= _3 ,57; |
ф |
= 2 ^ |
,,з= ^ |
_ |
0 д6; |
||
|
9 |
7,1 |
|
7>1 |
|
ф |
7,1 |
|
|
|
|
|
|
92,12 |
|
|
= "33,62 |
|
|
|
|
|
|
23- ~ ,1Л= 12,97; /34 |
= -4,73. |
|
|
|||||
|
|
г |
= |
|
|
7Д |
|
|
||
|
|
41 |
7,1 |
|
|
|
|
|
|
|
При а = 0,05;ср = 8 имеем из таблицы распределения Стьюдента |
||||||||||
|
|
|
|
^ а/ _ ^8,0,025 —2,31. |
|
|
|
|
||
|
Имеем следующие неравенства: |
Г34| > tГ |
• / 4 |
|
|
|
||||
С |
> \,у2 ПРИ *= 0,1,2,3; |
|t f |
> t |
< г |
,• / ,3 |
<t |
||||
|
р;%’ |
фЛ<’ гф |
- |
1 ф |
’ /2 |
|||||
Эти неравенства показывают, что коэффициенты а4 и а]3оказывают ся незначимыми, т.е. могут быть исключены из модели исследуемого объекта.
Окончательно получим:
К*) = 336,12-100,62л, +38,12х2 -25,38х3 +92,12х2*3 -33,62х,х4. Выполним проверку значимости квадратичных эффектов. Прове
рим гипотезу Н : М[у° - а0] = 0. Имеем:
v = 2, а 2 = 400, п0= 2, М = 8,ср = 8,а 0 =336,12.
По формуле (6.42) вычисляем у 0 |
= 350. |
|
При а = 0,05;ср = 8 имеем 7 а// =2,31. |
|
|
Проверяем условие (6.43): |
|
|
\У ~ ас = |350 - 336,12| = 13,88 < 7 |
а/а |
= 2,3i J 40Q(2 + 16) * 4 9 . |
|
nN |
2-8 |
Отсюда следует, что разность |5>°-а0| незначительно отличается от нуля и квадратичные члены в модель можно не вводить.
6.6.Планы для квадратичных моделей
6.6.1.Вводные замечания
Вэтом разделе рассматриваются планы для моделей, имеющих вид
у(а,х) = а0+а,*, +... + апхп+ а„+1х2 +... +
(6.50)
+ а2нХя + «2Я+1*1*2 + - + акх„-\х,г
Общее число неизвестных коэффициентов в модели (6.50) определя ется как
(* + 0 = |
п + 2) |
(” + lX» + l) |
(6.51) |
|
|||
|
2 |
||
|
|
|
Композиционный план для квадратичных моделей может быть получен путем добавления некоторого количества специальных точек к «ядру», образованному планом для линейной модели. В качестве «ядра» могут быть использованы планы типа 2” и 2п~р Если к ядру добавить точку в центре плана с координатами 0 ,0 , . . . 0 и 2 п «звезд ных» точек с координатами (± а,,0 ,...,б),...,(0 ,...,0 ,±а,), то получается центральный композиционный план, предложенный Боксом.
|
*2 |
|
X |
|
« 1 |
X |
X - |
- 1 |
*1 |
- 1
X
Рис. 6.4
На рис. 6.4 показаны точки композиционного плана для п = 2. Здесь в качестве ядра использованы точки полного факторного эксперимента (обозначены точками). Крестиками обозначены звездные точки, распо ложенные на координатных осях на расстоянии а, от центра плана.
Матрица планирования X для композиционного плана (п = 3) приве дена в табл. 6 .8 .
Выбором величины плеча а, композиционного плана и числа п0
точек в центре могут быть обеспечены различные свойства получаемо го плана. Ниже мы опишем ортогональные композиционные планы.
6.6.2.Ортогональные центральные композиционные планы
При построении этих планов величина а, (плечо звездных точек) выбирается так, чтобы обеспечить ортогональность получаемого плана.
|
|
|
|
Таблица 6 .8 |
j |
*i |
*2 |
*3 |
|
1 |
+1 |
+ 1 |
+ 1 |
|
2 |
-1 |
+ 1 |
+ 1 |
|
3 |
+i |
-1 |
+1 |
Полный факторный план |
4 |
-1 |
-1 |
-и |
|
5 |
+ 1 |
+ 1 |
-1 |
(2") |
6 |
-1 |
+ 1 |
-1 |
|
7 |
+ 1 |
-1 |
-1 |
|
8 |
- i |
-1 |
-1 |
|
9 |
+ a i |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
10 |
"а . |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
И |
0 |
+а, |
0 |
Звездные точки (2 п ) |
12 |
0 |
- а , |
0 |
|
13 |
0 |
0 |
+а, |
|
14 |
0 |
0 |
- а , |
|
15 |
0 |
0 |
0 |
Центр плана ( п0 точек) |
Число точек в центре плана обычно принимается равным единице. Для обеспечения ортогональности оказывается необходимым преоб разовать модель (6.50) следующим образом:
у(а, х) = Ь0 +а,х, +... + а„х„ + а„+1 (х? - Р) +... +
(6.52)
+ a2n(4 ~ Р) + «2я+.*1*2 + - + «**„-■*„•
Здесь
ш |
у \ - р |
+ осг |
(6.53) |
р = ^ — |
|
||
|
N |
||
N |
|
|
В выражении (6.53) N - общее число точек в плане, 2П~Р - число точек ядра композиционного плана. От модели (6.52) можно перейти к модели (6.50), определяя а0 в (6.50) следующим образом:
ao=bo -$ lL an |
(6.54) |
В общем случае матрица F функций независимых переменных для ортогонального центрального композиционного плана имеет вид, по казанный в табл. 6.9. Через х0 в таблице обозначена фиктивная пе ременная при коэффициенте а0. Общее число точек плана
N = 2”~р + 2я +1. Формула для определения а, имеет вид
|
п - р |
( |
а 1 = *i |
2 2 |
V |
п - р \ 1 (N 1
)
(6.55)
Значения а, для различных п приведены в табл. 6.10.
Информационная матрица плана имеет вид
т0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
0 |
щ 1 „ |
0 |
0 |
|
(6.56) |
|
М = 0 |
0 |
|
0 |
|
||
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
Здесь |
|
Ч |
|
з . |
|
|
|
|
|
|
|
||
mQ= N = Т - рЧ 2и + 1 , |
|
|
|
|
||
щ =2"-p + 2af, |
|
|
|
|
(6.57-6.60) |
|
m2=2"'я(1-р)2 + 2(а? -р )2+ (2«-l)p2, |
||||||
|
||||||
тг = Т - р, |
г„\ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|||
1 „ - единичная матрица размером п; |
число сочетаний из п по 2 : |
|||||
г„\ |
П\ |
_ п{п - |
1 ) |
(6.61) |
||
= С2 = |
||||||
2!(и - 2 ) |
~ 2 |
|
' |
|||
v2 j |
|
|
||||
Из (6.56) ползаем следующее выражение для дисперсионной матри цы плана:
Со |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
с,1 „ |
0 |
0 |
(6.62) |
С = 0 |
0 |
с 21 „ |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
С31. |
|
где
С, = — . |
(6 .63) |
т,
Значения элементов дисперсионной матрицы для различных п указа ны в табл. 6 .1 0 .
Таблица 6.9
Н а
име-
нова нис
Я д- ро плана
Звезд ные то ч ки
Ц ентр плана
|
|
|
|
|
М атрица F |
|
|
Н омер |
|
|
|
|
|
|
|
опы та j |
|
М атрица X плана |
|
*?-р |
*2Я ~Р |
||
|
*о |
*1 |
х 2 |
*1» |
|||
|
|
|
|
||||
1 |
1 |
+ ] |
+ 1 |
+1 |
1 - р |
1-Р |
|
2 |
1 |
-1 |
+ 1 |
+1 |
1 - р |
1-Р |
|
3 |
1 |
+1 |
-1 |
+1 |
1 - р |
1-Р |
|
4 |
1 |
-1 |
-1 |
+1 |
|
|
|
5 |
1 |
+1 |
+ 1 |
+1 |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
2"~р |
1 |
|
|
|
1 - р |
1-Р |
|
|
|
|
|
||||
2п~р +1 |
1 |
-на. |
0 |
0 |
а?-р |
-Р |
|
|
|
|
|||||
2п~р + 2 |
1 |
"<*1 |
0 |
0 |
а?-Р |
-Р |
|
|
|
|
|||||
2 я - ' + 3 |
1 |
0 |
+ а , |
0 |
-Р |
|
|
2п~р + 4 |
1 |
0 |
|
0 |
-Р |
|
|
2п~р + 2 п - \ |
1 |
0 |
0 |
-KXi |
-Р |
а?-Р |
|
|
|
|
|
||||
2”' р +2п |
1 |
0 |
0 |
-а, |
-Р |
а ? - Р |
|
|
|
|
|||||
N = 2Л~Р + |
1 |
0 |
0 |
0 |
-Р |
-Р |
|
+2/Н-1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
*1*2 |
*л-1*„ |
+ 1 |
1 |
-1 |
1 |
-1 |
|
+ 1 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Таблица 6.10
Раз |
|
|
|
|
|
Элементы матрицы С |
|
||
мер |
Ядро |
N |
а, |
Р |
|
|
|
|
|
ность |
плана |
С0 |
с , |
с 2 |
с 3 |
||||
|
|
|
|||||||
п |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
22 |
9 |
1 |
0,6667 |
0,1111 |
0,1667 |
0,5 |
0,25 |
|
3 |
23 |
15 |
1,215 |
0,73 |
0,0667 |
0,0913 |
0,2298 |
0,1250 |
|
4 |
24 |
25 |
1,414 |
0,8 |
0,04 |
0,05 |
0,125 |
0,0625 |
|
5 |
23'1 |
27 |
1,547 |
0,77 |
0,03704 |
0,0481 |
0,0871 |
0,0625 |
|
6 |
2521 |
45 |
1,722 |
0,843 |
0,0222 |
0,0264 |
0,0564 |
0,03125 |
|
7 |
27'1 |
79 |
1,885 |
0,9 |
0,0127 |
0,0141 |
0,0389 |
0,0156 |
|
8 |
2 ^ |
81 |
2,001 |
0,8889 |
0,0123 |
0,0139 |
0,0312 |
0,0156 |
|
Формулы для расчета оценок регрессионных коэффициентов имеют вид
7=1
я, ‘ C22 i\ x i „ f - \ ^ J,i = n + \,...,2n, |
(6.64) |
|
7=1 |
|
|
N |
|
|
Q Z xlxly J’V-’h = 1,2 ,...,п,р Ф X,i = 2п + \,...,к. |
|
|
I 7=1 |
|
|
Оценка b0 рассчитывается по формуле |
|
|
1 N - 7 |
(6.65) |
|
^2> |
||
N м |
|
|
Для а0 в соответствии с (6.54) имеем |
|
|
« о = 4 - Р Ё ^ +, |
(6 .66 ) |
|
<=1 |
|
|
Оценки дисперсий коэффициентов определяются по формулам |
|
|
су2 -С0,/ = 0, |
|
|
/v 2 о 2 - С,,! =1,...,и, |
(6.67) |
|
ст2 -С2 л' = п + \,...,2п, |
||
|
||
о2 ■C3,i = 2п +\,...,к. |
|
|
Для а0 имеем |
|
|
а :о = а 2(с о + « р 2С 2). |
(6.68) |
В (6.67), (6 .68 ) а 2 - оценка дисперсии ошибок наблюдений. С целью получения оценки дисперсии ошибок наблюдений опыты во всех точ ках плана могут проводиться по v раз.
При проведении статистического анализа результатов с целью проверки адекватности модели и значимости коэффициентов может быть использована табл. 6.11. Здесь приняты следующие обозначе ния: п - размерность факторного пространства; v - число параллель ных опытов в каждой точке ортогонального центрального компози ционного плана; а - используемый уровень значимости проверки ги потез (адекватность модели, значимость коэффициентов); ф, - число степеней свободы для остаточной дисперсии [см. (5.59) и (5.60)];
ф2 |
- |
число |
степеней свободы для |
оценки дисперсии наблюдений |
||
(см. |
(5.92) |
и (5.93)); А, Л |
Л |
- |
величины Л/С ^-Г ^> |
|
и |
у[с^ • 7 ^/ |
соответственно; |
7 ^ |
- |
критическое значение распреде |
|
ления Стьюдента при заданном уровне значимости и числе степеней
свободы <р = ср, (при v = 1 ) или ф = ф2 |
(при v = 2,3). |
|
|
|||||
Величины А,,Aj,Aj используются при проверке значимости ко |
||||||||
эффициентов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 6.11 |
|
п |
V |
а |
Ф. |
Фг |
А, |
К |
К |
FФ|.Ф2;а |
2 |
1 |
0,05 |
3 |
- |
1,299 |
2,250 |
1,591 |
|
|
2 |
0,05 |
3 |
9 |
0,923 |
1,599 |
1,131 |
3,86 |
|
3 |
0,05 |
3 |
18 |
0,858 |
1,486 |
1,051 |
3,16 |
3 |
1 |
0,05 |
5 |
- |
0,777 |
1,232 |
0,909 |
|
|
2 |
0,05 |
5 |
15 |
0,644 |
1,022 |
0,753 |
2,9 |
|
3 |
0,05 |
5 |
30 |
0,617 |
0,979 |
0,739 |
2,53 |
4 |
1 |
0,05 |
10 |
- |
0,498 |
0,788 |
0,557 |
|
|
2 |
0,05 |
10 |
25 |
0,460 |
0,728 |
0,515 |
2,24 |
|
3 |
0,05 |
10 |
50 |
0,449 |
0,710 |
0,502 |
2,03 |
5 |
1 |
0,05 |
6 |
- |
0,537 |
0,722 |
0,612 |
|
|
2 |
0,05 |
6 |
27 |
0,450 |
0,606 |
0,513 |
2,46 |
|
3 |
0,05 |
6 |
54 |
0,440 |
0,592 |
0,501 |
2,27 |
6 |
1 |
0,05 |
17 |
- |
0,343 |
0,503 |
0,373 |
|
|
2 |
0,05 |
17 |
45 |
0,327 |
0,480 |
0,356 |
1,86 |
|
3 |
0,05 |
17 |
90 |
0,323 |
0,473 |
0,351 |
1,74 |
7 |
1 |
0,05 |
43 |
- |
0,239 |
0,398 |
0,252 |
|
|
2 |
0,05 |
43 |
79 |
0,236 |
0,393 |
0,249 |
1,53 |
|
3 |
0,05 |
43 |
158 |
0,235 |
0,390 |
0,247 |
1,46 |
8 |
1 |
0,05 |
36 |
- |
0,239 |
0,358 |
0,254 |
|
|
2 |
0,05 |
36 |
81 |
0,235 |
0,352 |
0,249 |
1,56 |
|
3 |
0,05 |
36 |
162 |
0,233 |
0,349 |
0,247 |
1,49 |
Имеем следующее условие значимости: |
|
|а,| > А,а, |
(6.69) |
где а 2 - оценка дисперсии ошибок наблюдений, |
определяемая по |
(5.60) при v = 1 и по (5.93) при v > 1. |
|