Основы биомеханики
..pdfФедеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пермский государственный технический университет»
Ю.И. Няшин, В.А. Лохов
ОСНОВЫ БИОМЕХАНИКИ
Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия
Издательство Пермского государственного технического университета
2007
УДК 531/539:61 Н99
РЕЦЕНЗЕНТЫ д-р техн. наук, профессор И.К. Березин;
д-р физ-мат. наук, профессор М.Б. Гитман
Няшин, Ю.И.
Н99 Основыбиомеханики: учеб. пособие/ Ю.И. Няшин, В.А. Лохов. – Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2007. – 210 с.
ISBN 978-5-88151-979-7
Учебное пособие посвящено основам математического моделирования живых систем. Оно основано на курсах теоретической механики, механики деформируемого твердого тела, а также механики жидкости и газа. Дается общая постановка краевых задач механики, применительно к живым системам. Обсуждается отличие данных задач от аналогичных задач механики неживых систем. Наиболее подробно обсуждаются следующие фундаментальные вопросы биомеханики: моделирование роста, закон Вольфа о перестройке живых тканей, накопление повреждений при циклическом нагружении, вопросы разрушения твердых и мягких живых тканей, остаточныенапряжения вживыхтканях, применение материаласэффектом памяти формы в медицине. Рассматриваются различные примеры применения указанных вопросов.
Книга предназначена для студентов и аспирантов, которые изучают вопросы математическогомоделированияживыхсистем.
Издано в рамках приоритетного национального проекта «Образование» по программе Пермского государственного технического университета «Создание инновационной системы формирования профессиональных компетенций кадров и центра инновационного развития региона на баземногопрофильноготехническогоуниверситета»
|
УДК 531/539:61 |
ISBN 978-5-88151-979-7 |
© ГОУВПО |
|
Пермскийгосударственный |
|
техническийуниверситет, 2007 |
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
ПРЕДИСЛОВИЕ.......................................................................................... |
8 |
ГЛАВА 1. БИОМЕХАНИКА КАК НАУКА. |
|
НЕКОТОРЫЕ ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ.................................... |
9 |
1.1. Основные отличия биомеханических моделей |
|
от механических моделей в неживых системах................................... |
11 |
1.2. Примеры решения задач биомеханики.......................................... |
12 |
1.2.1. Открытие В. Гарвеем круга кровообращения (1615 г.) ........... |
12 |
1.2.2. Прочность и надежность Ахиллова сухожилия.................. |
13 |
1.2.3. Коррекция деформации позвоночника при сколиозе........... |
15 |
1.3. Контрольные вопросы..................................................................... |
19 |
ГЛАВА 2. РОСТ И ПЕРЕСТРОЙКА ОРГАНОВ И ТКАНЕЙ............. |
20 |
2.1. Определения..................................................................................... |
20 |
2.2. Постановка начально-краевой задачи определения |
|
ростовой деформации в упругой системе............................................. |
20 |
2.3. Определяющие соотношения для изотропного растущего |
|
упругого тела........................................................................................... |
22 |
2.4. Модель развития сколиоза.............................................................. |
27 |
2.5. Расчет ростовых деформаций......................................................... |
30 |
2.6. Использование теории ростовых деформаций |
|
для улучшения методов лечения врожденной |
|
расщелины твердого нёба («волчьей пасти») ..................................... |
32 |
2.7. Закон Вольфа о перестройке костной ткани................................. |
46 |
2.8. Задача о поиске оптимальной формы большеберцовой кости....... |
47 |
2.8.1. Математическая постановка задачи..................................... |
48 |
2.8.2. Формулировка ограничений................................................. |
49 |
2.8.3. Решение задачи...................................................................... |
50 |
2.8.4. Выводы ................................................................................... |
55 |
2.9. Периостальное (надкостничное) и эндостальное управление |
|
перестройкой кости при крутильном нагружении ............................. |
55 |
2.9.1. Описание теоретической модели ......................................... |
56 |
2.9.2. Численный расчет.................................................................. |
59 |
2.10. Контрольные вопросы................................................................... |
60 |
3
ГЛАВА 3. ОСТАТОЧНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ И ПЕРЕСТРОЙКА.........61
3.1. Постановка краевой задачи определения остаточных |
|
напряжений.............................................................................................. |
61 |
3.2. Перестройка кости с учетом остаточных напряжений: |
|
эксперимент и теория ............................................................................. |
66 |
3.2.1. Остаточные напряжения в большеберцовой |
|
и малоберцовой костях кролика (эксперимент) ............................ |
66 |
3.2.2. Остаточные напряжения в копчиковых позвонках быка ..... |
67 |
3.3. Контрольные вопросы ..................................................................... |
72 |
ГЛАВА 4. ПОВРЕЖДАЕМОСТЬ И ПЕРЕСТРОЙКА КОСТИ ........ |
73 |
4.1. Накопление повреждений ............................................................... |
73 |
4.2. Приложение модели......................................................................... |
76 |
4.3. Определение повреждаемости........................................................ |
76 |
4.4. Перестройка поверхности диафиза кости при |
|
уменьшении вращательной нагрузки.................................................... |
79 |
4.5. Численное моделирование.............................................................. |
81 |
4.6. Контрольные вопросы ..................................................................... |
82 |
ГЛАВА 5. ПРОЧНОСТЬ И ДЕФОРМИРУЕМОСТЬ ЖИВЫХ |
|
ТКАНЕЙ И БИОМАТЕРИАЛОВ............................................................ |
83 |
5.1. Твердые ткани – повреждаемость (хрупкое разрушение) |
|
биоматериалов, малые деформации...................................................... |
83 |
5.2. Мягкие ткани – ползучесть (вязкое разрушение), |
|
большие деформации.............................................................................. |
85 |
5.3. Контрольные вопросы ..................................................................... |
88 |
ГЛАВА 6. МНОГООСНОЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ |
|
СОСТОЯНИЕ ПРИ ПОЛЗУЧЕСТИ ЖИВЫХ ТКАНЕЙ |
|
И БИОМАТЕРИАЛОВ. ПРИЛОЖЕНИЕ К ИМПЛАНТАТАМ |
|
МЯГКИХ ТКАНЕЙ.................................................................................... |
89 |
6.1. Гипотеза единой кривой.................................................................. |
90 |
6.2. Модель трансплантата сегмента артерии ...................................... |
94 |
6.3. Контрольные вопросы ..................................................................... |
98 |
4
ГЛАВА 7. ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ |
|
ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ СООТНОШЕНИЙ ДЛЯ ЖИВЫХ |
|
ТКАНЕЙ И БИОМАТЕРИАЛОВ ........................................................... |
99 |
7.1. Координатная инвариантность (неизменность) ......................... |
102 |
7.2. Детерминизм.................................................................................. |
102 |
7.3. Локальное действие....................................................................... |
102 |
7.4. Равноприсутствие.......................................................................... |
104 |
7.5. Физическая допустимость............................................................. |
105 |
7.6. Материальная симметрия.............................................................. |
105 |
7.7. Материальная объективность (или материальная |
|
индифферентность) ............................................................................. |
105 |
7.8. Объективная производная в модели Максвелла......................... |
107 |
7.9. Контрольные вопросы................................................................... |
115 |
ГЛАВА 8. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ |
|
ДЛЯ ЖИВЫХ ТКАНЕЙ И БИОМАТЕРИАЛОВ.............................. |
116 |
8.1. Определение модуля Юнга (модуля упругости) |
|
трабекулярной костной ткани.............................................................. |
118 |
8.1.1. Макроскопическая модель.................................................. |
118 |
8.1.2. Мезоскопическая (структурная) модель |
|
из гексагональных элементов....................................................... |
120 |
8.1.3. Трабекула как балка............................................................. |
120 |
8.1.4. Модель из квадратных элементов...................................... |
125 |
8.1.5. Численное вычисление........................................................ |
126 |
8.2. Контрольные вопросы................................................................... |
126 |
ГЛАВА 9. МЕТОД ДЕКОМПОЗИЦИИ В МЕХАНИКЕ |
|
И БИОМЕХАНИКЕ................................................................................. |
127 |
9.1. Дифференциальная постановка основной краевой |
|
задачи механики сплошной среды...................................................... |
129 |
9.2. Решение поставленной краевой задачи....................................... |
131 |
9.3. Условия равновесия внешних сил................................................ |
132 |
9.4. Единственность решения.............................................................. |
133 |
9.5. Условие нулевых собственных напряжений (или условие |
|
собственной деформации, свободной от напряжений) .................... |
136 |
9.5.1. Доказательство необходимости.......................................... |
137 |
9.5.2. Доказательство достаточности........................................... |
137 |
5
9.5.3. Иллюстрация условий для собственной деформации, |
|
свободной от напряжений............................................................. |
138 |
9.6. Теорема о собственной деформации, свободной |
|
от напряжений....................................................................................... |
138 |
9.6.1. Доказательство необходимости ........................................ |
139 |
9.6.2. Доказательство достаточности.......................................... |
139 |
9.7. Условия нильпотентной собственной деформации.................... |
140 |
9.8. Постановки краевых задач для собственных деформаций, |
|
свободных от напряжений, и нильпотентных собственных |
|
деформаций............................................................................................ |
140 |
9.9. Функциональное пространство собственных деформаций........ |
141 |
9.9.1. Подпространство совместных деформаций....................... |
142 |
9.9.2. Подпространства совместных деформаций, |
|
свободных от напряжений, и нильпотентных |
|
собственных деформаций.............................................................. |
143 |
9.10. Теорема о декомпозиции собственной деформации................. |
144 |
9.10.1. Доказательство возможности декомпозиции................. |
145 |
9.10.2. Доказательство единственности...................................... |
146 |
9.11. Пример декомпозиции................................................................. |
147 |
9.12. Управление напряжениями и деформациями в статически |
|
неопределимой («адаптивной») ферме............................................... |
151 |
9.12.1. Решение задачи теории упругости и построение |
|
базиса для нильпотентной собственной деформации.................. |
152 |
9.12.2. Постановка и решение задачи управления...................... |
153 |
9.13. Вывод обобщенной формулы Майзеля...................................... |
155 |
9.14. Следствие из теоремы о собственной деформации, |
|
свободной от напряжений (теоремы 1) .............................................. |
159 |
9.14.1. Формулировка следствия................................................. |
159 |
9.14.2. Доказательство следствия................................................ |
160 |
9.15. Контрольные вопросы ................................................................. |
163 |
ГЛАВА 10. БИОМАТЕРИАЛЫ С ЭФФЕКТОМ ПАМЯТИ |
|
ФОРМЫ. ИНТЕЛЛИГЕНТНЫЕ БИОМАТЕРИАЛЫ..................... |
164 |
10.1. Примеры устройств из биоматериалов с эффектом |
|
памяти формы........................................................................................ |
164 |
10.2. Эффект памяти формы................................................................. |
167 |
10.2.1. Пластическая деформация............................................... |
167 |
10.2.2. Упругая деформация........................................................ |
169 |
6
10.2.3. Механическое двойникование........................................ |
169 |
10.2.4. Магнитные и электрические источники деформации..... |
170 |
10.2.5. Мартенситные переходы................................................. |
171 |
10.2.6. Кинетика мартенситных переходов................................ |
173 |
10.3. Контрольные вопросы................................................................. |
181 |
ГЛАВА 11. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ, ОПИСЫВАЮЩИХ |
|
ДЕФОРМИРОВАНИЕМАТЕРИАЛОВС ПАМЯТЬЮФОРМЫ...... |
182 |
11.1. Задача 1 ......................................................................................... |
182 |
11.2. Решение задачи 1 ......................................................................... |
183 |
11.3. Задача 2 ......................................................................................... |
188 |
11.4. Решение задачи 2 ......................................................................... |
189 |
11.5. Контрольные вопросы................................................................. |
190 |
ГЛАВА 12. ОПТИМАЛЬНОЕ ВОССТАНОВЛЕНИЕ |
|
ПЕРЕЛОМОВ КОСТНОЙ ТКАНИ С ПРИМЕНЕНИЕМ |
|
ФИКСАТОРОВ ИЗ МАТЕРИАЛА С ЭФФЕКТОМ |
|
ПАМЯТИ ФОРМЫ.................................................................................. |
191 |
12.1. Остеосинтез скобками-фиксаторами из никелида титана ....... |
191 |
12.2. Определение напряжений в скобке............................................ |
194 |
12.2.1 Определение силовых факторов...................................... |
194 |
12.2.2. Определение напряжений................................................ |
194 |
12.3. Определение необходимой деформации обратного |
|
превращения.......................................................................................... |
200 |
12.4. Предоперационная подготовка скобки...................................... |
200 |
12.5. Численный расчет........................................................................ |
203 |
12.6. Контрольные вопросы................................................................. |
206 |
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ...................................................................... |
207 |
7
ПРЕДИСЛОВИЕ
Данное учебное пособие является дополнением к существующим учебникам по курсу биомеханики. В зарубежной литературе на английском языке наиболее известны классические монографии
Ю. Фанга (Y.C. Fung. Biomechanics. Mechanical Properties of Living
Tissues. New York: Springer Verlag, 1993. Y.C. Fung. Biomechanics. Circulation. New York: Springer Verlag, 1997). В литературе на рус-
ском языке можно отметить две недавно вышедшие работы П.И. Бегуна (П.И. Бегун, Ю.В. Шукейло. Биомеханика. СПб.: Изд-во Политехника, 2000; П.И. Бегун, П.Н. Афонин. Моделирование в биомеханике. М.: Высшая школа, 2004). Однако в этих и других аналогичных монографиях и учебниках мало внимания уделяется постановкам и методам решения краевых задач механики сплошной среды применительно к биомеханике, в частности компьютерным методам решения задач биомеханики. Данное учебное пособие ставит целью рассмотреть в основном математические постановки и методы решения задач биомеханики.
Учебное пособие предназначено для студентов высших учебных заведений, аспирантов вузов, изучающих математические методы моделирования живых систем с применением вычислительной техники. Авторы полагают, что рассмотренные в данном учебном пособии математические модели должны получить в России существенное развитие в недалеком будущем.
8
ГЛАВА 1. БИОМЕХАНИКА КАК НАУКА. НЕКОТОРЫЕ ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Биомеханика – наука, изучающая механику живых клеток, тканей, органов и живых организмов, а также их заменителей. Слово «биомеханика» происходит от двух греческих слов bios – жизнь, mechane – машина, орудие.
В данном учебном пособии излагаются основы механического моделирования живых систем и процессов в живых системах. При этом не будут рассматриваться отдельные атомы или молекулы, но будут рассматриваться их соединения в живых системах: клетки, ткани, органы и индивидуальные организмы.
Ниже приведены определения биологических понятий. Клетки − элементарные единицы, из которых построены рас-
тительные и животные организмы. В типичной клетке имеются ядро, протоплазма, или цитоплазма и оболочка, или мембрана.
Ткань – группа клеток и межклеточное вещество, выполняющие в организмах одинаковую функцию. В организме животных и человека различают следующие ткани: 1) эпителиальную, 2) опорную, или соединительную, 3) мышечную (мышцу), 4) нервную (нервы).
Орган – часть растения или животного, имеющая свое определенное строение и функцию, например, орган зрения – глаз.
Организм (растительный или животный) – форма соединения органов и тканей в единое целое.
Область объектов, входящих в поле изучения биомеханики, чрезвычайно широка: человек, различные животные (слоны, львы, собаки, рыбы, птицы, киты, насекомые, черви и др.), вирусы, бактерии, растения и т.д.
Основателем биомеханики считается великий ученый и художник эпохи Возрождения Леонардо да Винчи (Leonardo da Vin-ci, 1452–1519). Он работал в различных областях знания: механике, физике, геологии, анатомии и др. Он предвосхитил открытия, сделан-
9
ные на много веков позже (законы статики, учение о волнах, полет птиц и принципы авиации, многие открытия в области анатомии).
Слово «механика» было впервые использовано Галилеем (1638) как подзаголовок в его книге «Две новые науки» для описания силы, движения и прочности материалов.
Основы биомеханики в России заложил замечательный ученый Николай Александрович Бернштейн (1896–1966). Путь Н.А. Бернштейна в науке увенчан радостью побед и в то же время был глубоко трагичен. Еще при жизни его работы получили и высокое признание,
ирезкую критику, его обвиняли в механицизме и космополитизме.
В1926 году Н.А. Бернштейн написал книгу «Общая биомеханика. Основы движения человека» (М., 1926). В 1947 году он получил Сталинскую премию за работу в области биомеханики, а в 1949 году был объявлен биологизатором, механицистом и наглым космополитом.
Втечение длительного времени биомеханику считали частью физиологии или биологии и полагали, что она изучает только локомоции человека и животных. Слово «локомоция» – латинского происхождения и происходит от двух слов: lokus – место и motio – движение. Локомоция есть разновидность движений человека и животных, связанная с их активным перемещением в пространстве. К локомоциям относятся ходьба, бег, прыжки, плавание, полет и т.д. Типы локомоции менялись в процессе эволюции животных, во многом определяя особенности их строения.
Такое понимание функций биомеханики в значительной степени было связано с тем, что из разделов механики в биомеханике первоначально применялись лишь законы Ньютона для материальной точки
иследующие из них общие теоремы динамики для точки и системы материальных точек, в частности абсолютно твердого тела.
Во второй половине ХХ века, в значительной степени в связи с бурным развитием вычислительной техники, механики, математики, физики и других наук, произошло резкое изменение направления развития биомеханики в сторону значительного расширения ее тематики.
Для математического описания биомеханических систем, вообще говоря, могут применяться классическая (ньютоновская) механика, квантовая механика, релятивистская механика, статистическая меха-
10