Основы биомеханики

запас прочности системы. Предполагается, что собственная деформация может быть наложена независимо на каждый стержень системы.

Для данной внешней нагрузки цель управления состоит в сохранении формы фермы с помощью собственной деформации, свободной от напряжений, и независимо от этого перераспределении сил в стержнях путем приложения нильпотентной собственной деформаций.

Нагрузочные деформации с обратным знаком дают решение для собственных деформаций, свободных от напряжения

не требуется. Базис же в подпространстве Hσ , наоборот, должен быть построен, чтобы дать решение задачи управления напряжениями.

9.12.1. Решение задачи теории упругости и построение базиса для нильпотентной собственной деформации

Решение задачи управления напряжениями делится на три этапа. На первом этапе решается изотермическая задача определения упругих напряжений для заданной силовой нагрузки, например для заданной силы F , указанной на рис. 9.12. На втором этапе строится базис в подпространстве нильпотентных собственных деформаций Hσ . Нильпотентные собственные деформации являются деформа-

циями, связанными со статически возможными напряжениями. Поэтому конструирование базиса требует решения задачи о статическом равновесии в узлах в отсутствие заданных внешних сил. На третьем этапе решается задача управления с учетом ограничений, указанных выше.

Мы не рассматриваем здесь в деталях процедуру конструирования базиса нильпотентных собственных деформаций. Детальное описание теоремы о декомпозиции и алгоритмов построения базиса можно найти в работах [17, 23].

Здесь мы лишь упомянем, что каждый элемент подпространства Hσ (или каждая нильпотентная собственная деформация) может

152

и внешней) системы. Эта степень статической неопределимости равна сумме внутренней и внешней неопределимости.

В нашем случае мы имеем sint = 2 , sext =1 и s = sint + sext = 3 . Поэтому мы должны построить три базисных нильпотентных собственных деформации.

9.12.2. Постановка и решение задачи управления

Чтобы перераспределить силы в стержнях фермы с помощью наложенной собственной деформации, необходимо сформулировать ограничения, накладываемые критическими значениями сил встержнях.

Предполагается, что силы выпучивания в диагональных элементах пропорциональны силам выпучивания в недиагональных

элементах и что критические силы S Bj в коротких элементах равны друг другу.

Декомпозиция собственной деформации позволяет найти аналитическое соотношение между силами в стержнях и наложенной собственной деформацией при выполнении условий (9.69−9.71). Также решение задачи позволило оценить максимальную внешнюю нагрузку

153

154

Сравнение аналитического и численного решений показано на рис. 9.13, на котором хорошо видно соответствие.

Нильпотентные собственные деформации могут быть найдены через базисные элементы в Hσ , ε*σj , и значения параметров X j :

j=1

9.13.ВЫВОД ОБОБЩЕННОЙ ФОРМУЛЫ МАЙЗЕЛЯ

Далее приводится вывод формулы, позволяющей вычислить перемещение любой точки тела, на которое наложена собственная деформация. Эта формула полезна для анализа как живых, так и неживых систем. В частности, с помощью этой формулы можно вычислить перемещение произвольной точки тела за счет ростовых деформаций. Первоначально эту формулу вывел советский ученый В.А. Майзель в 1940 году [24] применительно к перемещениям упругого тела при нагреве или охлаждении. Обобщение для произвольной собственной деформации сделали Ф. Циглер и Г. Иршик в 2001 году [24].

В данной работе обобщенная формула Майзеля выводится с помощью принципа возможных перемещений в сочетании с теоремой о декомпозиции собственной деформации.

Рассмотрим одну единичную фиктивную силу (рис. 9.14). Принцип возможных перемещений дает

Здесь применены следующие обозначения: uk (ε) (r) − перемеще-

ние в точке с радиусом-вектором r , вызванное собственной деформацией, в направлении k ; σij (k ) (ξ, r) − напряжение в точке тела ξ , вы-

званное фиктивной единичной силой в точке r в направлении k .

155

Поскольку нильпотентная собственная деформация не создает перемещений, можно записать формулу (9.79) в форме (обобщенной) формулы Майзеля

Если собственная деформация есть температурная деформация, то обобщенная формула Майзеля сводится к формуле, первоначально полученной Майзелем [24].

В самом деле, допустим, что

где α − секущий коэффициент температурного расширения, T − температура, δij − символ Кронекера.

Тогда формула (9.80) принимает вид

157

В данном случае собственная деформация равна температурной деформации

ε*ij = εTij = αT δij .

Тогда из формулы Майзеля (9.82) получим

Если объемные силы не распределены по объему, но являются сосредоточенными силами, то получим формулу (9.85).

158

В рассматриваемом случае

Это верно для любой точки твердого тела произвольной формы. Полученное перемещение направлено по радиусу r . Перпендикулярные компоненты перемещения u равны нулю, так как в этом случае r F = 0 .

9.14. СЛЕДСТВИЕ ИЗ ТЕОРЕМЫ О СОБСТВЕННОЙ ДЕФОРМАЦИИ, СВОБОДНОЙ ОТ НАПРЯЖЕНИЙ (ТЕОРЕМА 1)

9.14.1. Формулировка следствия

Пусть компоненты тензора температурной деформации имеют вторые производные по координатам, т.е. ε* (C 2 (V ))6 .

Обозначение C 2 (V ) говорит о том, что имеется функциональ-

ное пространство, куда входят функции, являющиеся непрерывными и имеющие первую и вторую производную по координатам облас-

ти V , которые тоже непрерывны. Обозначение (C 2 (V ))6 говорит о том,

что рассматриваемая величина ε* имеет шесть компонент, причем каждая из них принадлежит C 2 (V ) .

Тогда единственное распределение температуры

не вызывает появления температурных напряжений в однородном и изотропном твердом теле без опор (свободное твердое тело). Условие (9.91) является также необходимым условием для тела с опорами.

159

Другими словами, в этом случае собственная деформация (в данном случае температурная деформация) является собственной деформацией, свободной от напряжений.

9.14.2. Доказательство

Пусть температурные напряжения в каждой точке твердого тела равны нулю, т.е. σ(r) = 0, r V . Тогда температурная деформация должна удовлетворять условию ε* Hu (или температурная деформация должна принадлежать подпространству совместных собственных деформаций Hu ). Если существуют вторые производные компонент

тензора собственной деформации по координатам, ε* (C 2 (V ))6 , то

условия совместности деформаций имеют вид (условия совместности Сен-Венана)

160