Основы биомеханики

где, как очевидно,

f (Τ) = g(1Η) . (6.6)

Эта кривая не зависит от напряженно-деформированного состояния материала и может быть получена из простейших экспериментов (например, из эксперимента по одноосному растяжению (см. рис. 4.1).

Замечание. Несколько слов более подробно о понятии девиатора тензора. Любой тензор

второго ранга можно единственным способом разложить на два тензора: шаровой тензор (у которого диагональные элементы равны друг другу, а недиагональные элементы равны нулю) и девиатор (у которого сумма диагональных элементов равна нулю).

Следовательно, длялюбоготензора Т имеетместосоотношение

где S − шаровой тензор, а D − девиатор. Или

причем компоненты тензоров Sij и Dij имеют следующий вид:

Для наглядности тензоры Т, S и D можно представить в матричном виде.

91

Разделение тензора на шаровую и девиаторную составляющие во многих случаях имеет физический смысл. Так, если Т есть тензор деформации, то шаровая часть описывает изменение объема элементарного элемента, а девиатор описывает изменения формы элемента.

Разрушение элемента материала наступает тогда, когда параметр Одквиста (степень деформации) достигает предельного значения.

Параметр Одквиста (Odqvist) имеет вид

Здесь введен еще один инвариант: Γ − параметр Одквиста, или степень деформации.

С помощью введенных гипотез можно получить определяющие соотношения теории ползучести.

Из формулы (6.3) после проведения свертки (т.е. суммирования) по индексам i и j получаем

Sij Sij = λ2ξij ξij .

92

Далее используем формулы (6.4)

Учитывая связь g(H) и f (T) согласно (6.6), определяющие соотношения (6.13) можно записать в обращенной форме

Введем обозначения 1 =µ . Тогда m

g(H) = 1µ Hµ-1.

B

В итоге определяющие соотношения теории установившейся ползучести при использовании закона Нортона–Хоффа примут вид

93

6.2. МОДЕЛЬ ТРАНСПЛАНТАТА СЕГМЕНТА АРТЕРИИ

Сегмент артерии моделируется как прямой круговой цилиндр, состоящий из однородного, несжимаемого материала, который деформируется в условиях ползучести. В целях простоты в нашем анализе мы будем игнорировать концевые эффекты вблизи опор трансплантата с естественной артерией. Начальные внутренний

риала и подвержен действию давления крови P = const . Исследование напряженно-деформированного состояния трансплантата в условиях линейной и нелинейной упругости было проведено ранее (см. например, работу [13]).

Рис. 6.2. Трансплантат как полый цилиндр

94

Рассмотрим изменение радиусов b(t) и B(t) в условиях ста-

ционарной ползучести, предполагая, что толщина стенки трансплантата h гораздо меньше, чем длина l ,

В этой ситуации мы можем использовать мембранное уравнение Лапласа (Laplace), которое хорошо известно из курса сопротивления материалов. Это уравнение получается из рассмотрения статического равновесия элемента материала независимо от его физических свойств. В данном случае для цилиндрической тонкостенной оболочки это уравнение имеет вид

Поскольку радиальное напряжение σr изменяется от σr = −P при r = b до σr = 0 при r = B , то, следовательно, σr P , и мы можем пренебречь σr в сравнении с σϕ . Для простоты мы также пренебрегаем продольным напряжением σz . Из-за симметрии задачи

касательные напряжения равны нулю, и в итоге мы имеем относительное напряженное состояние с единственной ненулевой компонентой σϕ .

Вычислим далее компоненты девиатора напряжений

95

Далее используем определяющее соотношение (6.14) и (6.18)

Вычислим скорость окружной деформации ξϕ (под деформацией здесь понимается логарифмическая деформация).

Для решения данного дифференциального уравнения нужно найти связь между толщиной h и радиусом R . Это можно сделать с помощью условия несжимаемости, которое имеет место при деформациях пластичности и ползучести.

96

где ξϕ0 определяется по формуле (6.31).

97

ГЛАВА 7. ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ СООТНОШЕНИЙ ДЛЯ ЖИВЫХ ТКАНЕЙ И БИОМАТЕРИАЛОВ

По определению, определяющие соотношения для сплошной среды вводятся как соотношения между напряженным и деформированным состояниями бесконечно малого элемента среды, зависящие также от ряда других параметров (температура, химический состав, структура, внешние электромагнитные поля и т.д.). Установление определяющего соотношения является важнейшей задачей механики. В ряде случаев эти соотношения хорошо известны, например линейно упругое тело, ньютоновкая жидкость и др. Однако даже для неживых систем, например при сложных нагружениях, эти соотношения до сих пор известны не полностью и являются предметом многочисленных исследований. Еще более сложной задачей является установление определяющих соотношений для живых систем (in vitro и in vivo). Поэтому данная глава будет посвящена этому важному вопросу.

Возможные формы определяющих соотношений ограничены некоторыми фундаментальными постулатами, основанными на физических и интуитивных соображениях. Основные принципы для механических и биомеханических материалов (неживые и живые ткани) формулируются ниже [14, 13, 15].

Прежде всего, введем важные понятия «система отсчета» и «система координат». Часто эти понятия используют как синонимы. Имеются, однако, важные отличия.

По определению, система отсчета – это твердое тело, где неподвижно находится наблюдатель. Система отсчета неподвижна относительно наблюдателя, это тело может двигаться относительно других тел с другими возможными наблюдателями.

В каждой системе отсчета можно ввести одну или больше систем координат, которые можно использовать для локализации точки

99

в этом теле. По определению, система координат в данной системе отсчета фиксирована в этой системе.

На рис. 7.1 системы отсчета А и В имеют прикрепленные к ним системы координат. Система В движется относительно системы А.

Рис. 7.1. Подвижная (справа) и неподвижная (слева) системы отсчета

Рассмотрим вектор a , фиксированный в системе отсчета A , которая содержит декартову систему координат ( x , y , z ) и цилиндрическую полярную систему координат ( r , θ, z ), возможно имеющих различные начала. Относительно декартовой системы координат вектор a имеет компоненты ax , ay , az , и относительно цилиндри-

ческой системы вектор a имеет компоненты ar , aθ , az . Различные компоненты описывают один и тот же вектор a . Преобразование компонент от декартовой к цилиндрической системе есть пример не зависящего от времени преобразования координат.

Далее рассмотрим другую систему отсчета В, которая движется поступательно со скоростью u и вращается с угловой скоростью ω относительно системы отсчета А (см. рис. 7.1). Вектор a фиксирован, т.е. геометрически инвариантен в системе отсчета А, но для наблюдения в системе отсчета В он кажется изменяющимся по направлению. Относительно декартовой системы координат ( x1 , y1 , z1 ), фиксированной в системе отсчета В, компоненты изменяются со време-

100